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小题精练13 电磁感应中的感应电动势、电荷量、热量、单双棒问题
一、求电荷量的三种方法
1.q＝It(式中I为回路中的恒定电流，t为时间)
(1)由于导体棒匀速切割磁感线产生感应电动势而使得闭合回路中的电流恒定，根据电流定义式可知q＝It。
(2)闭合线圈中磁通量均匀增大或减小且回路中电阻保持不变，则电路中的电流I恒定，t时间内通过线圈横截面的电荷量q＝It。
2.q＝n(其中R为回路电阻，ΔΦ为穿过闭合回路的磁通量变化量)
(1)闭合回路中的电阻R不变，并且只有磁通量变化为电路提供电动势。
(2)从表面来看，通过回路的磁通量与时间无关，但ΔΦ与时间有关，随时间而变化。
3.Δq＝CBLΔv(式中C为电容器的电容，B为匀强磁场的磁感应强度，L为导体棒切割磁感线的长度，Δv为导体棒切割速度的变化量)
在匀强磁场中，电容器接在切割磁感线的导体棒两端，不计一切电阻，电容器两极板间电压等于导体棒切割磁感线产生的电动势E，通过电容器的电流I＝＝，又E＝BLv，则ΔU＝BLΔv，可得Δq＝CBLΔv。
二、求解焦耳热Q的三种方法
三、单杆模型
初态 v0≠0 v0＝0
示意图 质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
运动分析 导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止 当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动 当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动 Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv 电流I＝＝CBl＝CBla 安培力F安＝IlB＝CB2l2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动
能量分析 动能转化为内能，mv＝Q 电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q 外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q 外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2
四、双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 质量m1＝m2不 电阻r1＝r2 长度l1＝2l2
运动分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2
运动分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止。若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
能量分析 外力做功转化为动能和内能，WF＝ΔEk＋Q 外力做功转化为动能和内能(包括电热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q电＋Qf
（2024 东湖区校级三模）如图所示，间距为L的平行导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨右端接有定值电阻，阻值为R，垂直导轨的虚线PQ和MN之间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，其中导轨的PM和QN段光滑。在虚线PQ左侧、到PQ的距离为的位置垂直导轨放置质量为m的导体棒，现给处于静止状态的导体棒一个水平向右的恒力作用，经过PQ时撤去恒力，此时导体棒的速度大小，经过MN时导体棒的速度大小。已知恒力大小为3mg，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻为，重力加速度为g，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒与PQ左侧导轨之间的动摩擦因数为0.66
B．导体棒经过磁场的过程中，通过导体棒的电荷量为
C．导体棒经过磁场的过程中，导体棒上产生的热量为
D．虚线PQ和MN之间的距离为
【解答】解：A、对导体棒从开始运动至到达虚线PQ的过程，根据动能定理得
（F﹣μmg）
代入数据解得：μ＝0.44，故A错误；
B、对导体棒经过磁场区域的过程，取水平向右为正方向，由动量定理得
通过导体棒横截面的电荷量
联立解得：，故B错误；
C、导体棒通过磁场过程，整个回路中产生的总热量为
Q
代入数据可得：
根据电阻的串并联关系，导体棒上产生的热量为
，故C错误；
D、设虚线PQ和MN之间的距离为Δx，可得q Δt
解得：，故D正确。
故选：D。
（2024 湖北模拟）如图所示，水平面内放置着电阻可忽略不计的金属导轨，其形状满足方程y＝x2，空间分布者垂直xOy平面向内的匀强磁场。先将足够长的导体棒ab与x轴重合，且关于y轴对称放置，再用沿y轴正向的外力使其由静止开始做匀加速直线运动，导体棒先后经过y＝y0、y＝4y0的位置。若导体棒接入电路的电阻和其长度成正比，运动过程中始终和x轴平行并和导轨接触良好，不计摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒经过y＝y0、y＝4y0的位置时，闭合回路中的电动势之比为1：1
B．导体棒经过y＝y0、y＝4y0的位置时，闭合回路中的电流大小之比为1：4
C．经过y＝y0、y＝4y0的位置时，导体棒所受安培力大小之比为1：1
D．0 y0、y0 4y0过程中，闭合回路中产生的电热之比为1：15
【解答】解：A、设导体棒运动到某一位置时，速度大小为v，其与导轨接触点的坐标为（±x，y），导体棒由静止开始做匀加速直线运动，则有
v2＝2ay
闭合回路中的感应电动势大小为
E＝2Bvx
解得
，则感应电动势之比为1：4，故A错误；
B、由闭合电路欧姆定律得闭合回路中的电流为
其中R＝2kx
解得
，则电流之比为1：2，故B错误；
C、导体棒所受安培力大小为
F＝2BIx
解得
，则安培力之比为1：4，故C错误；
D、由可知，导体棒所受安培力大小F与其位移大小y成正比，作出安培力随着位移变化的图像，如图所示。
图像与横轴所围的面积即导体棒运动过程中克服安培力做的功，等于闭合回路产生的电热，为
解得
则0 y0、y0 4y0过程中，闭合回路中产生的电热之比为Q1：Q2＝12：（42﹣12）＝1：15，故D正确。
故选：D。
（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，用材料、粗细均相同的电阻丝做成ab、cd、ef三种形状的导线，分别放在电阻可忽略的足够长的相同的光滑金属导轨上，匀强磁场的方向垂直于导轨平面且大小相同。在相同的水平外力F作用下，三根导线均向右做匀速运动。已知三根导线接入导轨间的长度关系满足lab＜lcd＜lef，且每根导线与导轨的两个触点之间的距离均相等，则下列说法中正确的是（ ）
A．匀速运动时，三根导线的速度相同
B．匀速运动时，三根导线产生的感应电动势相同
C．匀速运动时，三根导线的热功率相同
D．若撤去外力，从此时直到三根导线停止运动，通过导线ef的电荷量最大
【解答】解：A、三根导线长度不同，故它们连入电路的阻值不同，根据电阻定律：R＝ρ，可得Rab＜Rcd＜Ref
设导轨间距为L，匀速运动时受力平衡，根据拉力F＝FA＝BIL可得：F，解得：v
它们切割磁感线的有效长度L相同，B和F也相同，所以三根导线的速度关系为：vab＜vcd＜vef，故A错误；
B、根据导体切割磁感应线产生的感应电动势的计算公式可得E＝BLv，B和L相同，vab＜vcd＜vef，则Eab＜Ecd＜Eef，故B错误；
C、匀速运动时，三根导线的热功率等于拉力做功功率，即P＝Fv，由于vab＜vcd＜vef，则Pab＜Pcd＜Pef，故C错误；
D、从撤去外力到三根导线停止运动，对任意一根导线，取向右为正方向，根据动量定理可得：
﹣BL Δt＝0﹣mv，其中通过导线的电荷量q，则有：q
三根导线接入导轨间的长度关系满足Lab＜Lcd＜Lef，则有三根导线的质量关系满足mab＜mcd＜mef，且vab＜vcd＜vef，故通过导线ef的电荷量最大，故D正确。
故选：D。
（2024 五华区校级模拟）如图所示，在光滑的水平桌面上有一根长直通电导线MN，通有电流I，方向由M到N，一个边长为L的正方形金属线框在外力的作用下垂直于导线向右以v0的速度做匀速运动，线框电阻为R，已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小B＝k，其中k是常数，I是导线中的电流，r是空间某点到导线的垂直距离，则当线框运动到左边框与导线的距离为L时，线框中的感应电流的大小及方向为（ ）
A．、顺时针 B．、顺时针
C．、逆时针 D．、逆时针
【解答】解：由右手螺旋定则可知导线在右侧产生的磁场方向是垂直于纸面向里，根据磁场大小B＝k 可知，导线右侧磁场的大小为逐渐减小，所以在线框向右运动的过程中磁通量逐渐减小，由楞次定律可知感应电流方向为顺时针；其次，线框产生的总电动势等于左右两边导线切割磁感线产生的电动势叠加而成，即
，
故感应电流的大小 I，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 衡阳县模拟）如图甲所示，列车车头底部安装强磁铁，线圈及电流测量仪埋设在轨道地面（测量仪未画出），P、Q为接测量仪器的端口，磁铁的匀强磁场垂直地面向下、宽度与线圈宽度相同，俯视图如图乙。当列车经过线圈上方时，测量仪记录线圈的电流为0.12A。磁铁的磁感应强度为0.005T，线圈的匝数为5，长为0.2m，电阻为0.5Ω，则在列车经过线圈的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．线圈的磁通量一直增加
B．线圈的电流方向先顺时针后逆时针方向
C．线圈的安培力大小为1.2×10﹣4N
D．列车运行的速率为12m/s
【解答】解：A．列车经过线圈的上方时，穿过线圈的磁通量向下，先增大后减小，故A错误；
B．在列车经过线圈的上方时，由于列车上的磁场的方向向下，所以线圈内的磁通量方向向下，先增大后减小，根据楞次定律可知，线圈中的感应电流的方向为先逆时针，再顺时针方向。故B错误；
C．线圈受到的安培力大小为F＝nBIlL＝5×0.005×0.12×0.2N＝6×10﹣4N，故C错误；
D．导线切割磁感线的电动势为E＝nBlv
根据闭合电路欧姆定律可得
联立解得v＝12m/s
故D正确。
故选：D。
（2024 江苏模拟）如图所示，在光滑水平面上MN右侧区域存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。t＝0时刻，一质量为m、高为a、电阻为R的正三角形金属线框以速度v从边界MN处进入磁场，最终线框恰好完全进入。在线框运动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．线框中的电流始终为逆时针方向
B．t＝0时刻，线框的感应电动势大小为Bav
C．通过导线横截面的电荷量为
D．线框中感应电流产生的焦耳热为
【解答】解：A、根据右手定则，线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流方向为逆时针方向，故A正确；
B、正三角形金属线框的高为a，由几何关系可得其边长：L
根据法拉第电磁感应定律，t＝0时刻，线框的感应电动势大小为：E＝BLv，故B错误；
C、通过导线横截面的电荷量为：，故C正确；
D、根据能量守恒定律，线框中感应电流产生的焦耳热为：Q，故D正确。
本题选择错误的，故选：B。
（2024 济南三模）如图所示，半径为R的半圆形闭合金属线框可绕圆心O在纸面内逆时针匀速转动，过O点的边界上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，初始时线框直径与虚线边界垂直。已知线框的电阻为r，线框匀速转动的角速度为ω，从图示位置开始计时，以顺时针为感应电流的正方向，下列关于线圈中的感应电流i随时间t的变化关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在0时间内，t时刻有效切割长度为L＝2Rsinωt
感应电动势瞬时值为e＝BLBL2BR2ωsin2ωt
感应电流瞬时值为isin2ωt （1﹣cos2ωt）
对i求导数得：i′ωsin2ωt，i随着t增大，i′先增大后减小，则i﹣t图像切线斜率先增大后减小；
在时间内，磁通量不变，没有感应电流；
在时间内，电流大小变化情况与0时间内相同，方向相反；
在时间内，线框在磁场外，没有感应电流，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 浙江模拟）如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、单位长度的质量为m、单位长度的电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置（在左边磁场中的长度为L，在右边磁场中的长度为2L）时，线框的速度为，则下列判断正确的是（ ）
A．此时线框中电流方向为逆时针，线框中感应电流所受安培力为
B．此过程中通过线框截面的电量为
C．此过程中线框产生的焦耳热为
D．线框刚好可以完全进入右侧磁场
【解答】解：AD.根据右手定则，此时线框中电流方向为逆时针，线框中的感应电动势大小为E＝2BL3BLBLv，线框中感应电流大小为I，线框中感应电流所受安培力为F＝2BIL+3BIL＝5BIL＝5BL，根据牛顿第二定律此时线框的加速度大小为a，解得a，故A错误，D正确；
B.设向右为正方向，根据动量定理有﹣2BILΔt﹣3BILΔt＝8Lm8Lmv，q＝IΔt，联立解得q，故B错误；
C.由能量守恒定律有Q，故C错误；
故选：D。
（2024 衡水模拟）如图所示，在一个倾角为θ的导轨MN上面，放置一个长度为L的金属棒PQ，已知两导轨间距为d（d＜L），金属棒的质量为m、阻值为r，导轨与金属棒接触良好，两者间动摩擦因数为μ，导轨下端连接一个阻值为R的定值电阻，整个导轨处在一个垂直导轨所在平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现用一个恒力F拉动金属棒沿导轨斜面运动了x的距离，所用时间为t，此时金属棒的速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒速度为v时，R两端的电压为
B．该过程中生成的焦耳热为
C．该过程中摩擦力做的功为μmgxcosθ
D．该过程中安培力做的功为
【解答】解：A、金属棒速度为v时，产生的感应电动势E＝Bdv，R上的电压为，故A错误；
B、该过程中，生成的焦耳热指电阻生热的总和，由能量守恒定律有：，故B错误；
C、该过程中摩擦力做的功为Wf＝﹣μmgxcosθ，故C错误；
D、设该过程中安培力做的功为W安，根据动能定理有
解得：，故D正确。
故选：D。
（2024 苏州校级二模）如图所示，空间中存在匀强磁场B，方向垂直纸面向里。一长度为l的铜棒以速度v向右匀速运动，速度方向与铜棒之间的夹角为30°，则铜棒ab两端的电势差Uab为（ ）
A．Blv B．﹣Blv C． D．
【解答】解：铜棒ab切割磁感线产生感应电动势，铜棒ab相当于电源，根据右手定则可知a端相当于电源的负极，b端相当于电源的正极，则a端的电势低于b端的电势，根据法拉第电磁感应定律可得，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 中山市校级模拟）如图所示为宽度为3L的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。磁场左侧有一个边长为L的正方形导体线框，其总电阻为R，线框所在平面与磁场方向垂直。线框以速度v向右匀速穿过磁场区域，以线框cd边刚进入磁场的时刻为计时起点，规定电流沿逆时针方向为正，安培力F向左为正。则以下关于线框中的感应电流I、ab两点间的电势差Uab、安培力F和线框的发热功率P随时间变化的图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，线框进入磁场的过程，根据楞次定律可判断电流沿逆时针方向，题目中规定电流沿逆时针方向为正，故进入磁场过程中电流为正，根据法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律有
ab两点间的电势差满足
（a点电势高）
根据安培力表达式，cd边受到的安培力大小为
，根据左手定则判断方向向左
根据焦耳定律，线框的发热功率满足
线框全部进入磁场后，磁通量不变，则没有感应电流，所以线框不受安培力的作用，线框的发热功率为零，ab两点间的电势差满足
U2＝BLv＝4U0（a点电势高）
线框离开磁场的过程，电流沿顺时针方向，与规定电流方向相反，故电流为负，电流大小为
线框受安培力大小为
方向向左，ab两点间的电势差
（a点电势高）
线框的发热功率
综上所述可知
A．时间内，电流为I0，时间内，电流为0，时间内，电流为﹣I0，故A错误；
B．时间内，ab两点间的电势差U0，时间内，ab两点间的电势差4U0，时间内，ab两点间的电势差3U0，故B错误；
C．时间内，cd边受到的安培力F0，时间内，cd边受到的安培力0，时间内，cd边受到的安培力F0，故C正确；
D．时间内，线框的发热功率P0，时间内，线框的发热功率0，时间内，线框的发热功率F0，故D错误
故选：C。
（2024 宁夏模拟）如图，竖直光滑圆弧导轨与水平光滑导轨平滑连接，圆弧部分和左侧水平部分间距相等，为3L，右侧水平部分间距为L，导轨水平部分位于竖直向下的匀强磁场中，ab、cd是质量分别为6m和m的两根导体棒，两导体棒连入两导轨间的电阻相等，cd导体棒静止在右侧水平部分，与两水平导轨垂直。现让ab导体棒从圆弧导轨上由静止释放，释放前ab导体棒与圆弧导轨垂直，距水平面的高度为h，导轨左侧水平部分和右侧水平部分足够长，导轨电阻不计，运动过程中两导体棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大小之比为3：1
B．最终ab、cd两导体棒的动量之比为1：1
C．整个过程在导体棒ab上产生的焦耳热为
D．整个过程通过导体棒ab的电荷量为
【解答】解：A、释放ab导体棒后，ab导体棒沿圆弧导轨向下加速运动，设ab导体棒到达水平导轨时的速度为v0，下滑过程中，根据机械能守恒定律有：
6mgh6，解得：v0
当ab导体棒进入磁场后，切割磁感线会产生感应电动势，由右手定则可知，回路中的感应电流方向为顺时针，由左手定则可知，ab导体棒受到水平向左的安培力，cd导体棒受到水平向右的安培力，ab导体棒做减速运动，cd导体棒做加速运动，回路中的总的电动势为：E＝3BLvab﹣BLvcd，当ab棒和cd棒产生的感应电动势相同，即3BLvab＝BLvcd时回路中的电流为零，安培力为零，此后两导体棒均做匀速直线运动，可得最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大小之比为1：1，故A错误；
B、由A选项的解析可得最终ab、cd两导体棒速度大小关系为：3vab＝vcd，已知ab、cd的质量分别为6m和m，由动量的定义p＝mv，可得最终ab、cd两导体棒的动量之比为：pab：pcd＝6mvab：mvcd＝2：1，故B错误；
CD、从ab导体棒到达水平导轨到开始做匀速直线运动的过程中，以水平向右为正方向，根据动量定理得：
对ab导体棒有：6mvab﹣6mv0
对cd导体棒有：mvcd﹣0
通过导体棒ab的电荷量为：q
联立解得：vabv0，vcdv0，q
两导体棒连入导轨间的电阻相等，两导体棒中的电流时刻相等，通电时间相同，则两导体棒中产生的热量相同，设均为Q。从ab导体棒开始下滑到两棒开始做匀速直线运动的过程中，根据能量守恒定律有：
6mgh62Q，联立解得：Qmgh，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 吉林模拟）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法不正确的是（ ）
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．线框ab边进入磁场瞬间，加速度大小
C．线框ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
D．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量
【解答】解：A、列车进站过程中穿过线框的磁通量变大，由楞次定律可知列车进站过程中电流方向为abcd，故A正确；
BC、列车ab边进入磁场瞬间产生的感应电动势为：E＝BLv0
由闭合电路的欧姆定律得：
对列车由牛顿第二定律得：BIL+f＝ma
联立解得：，故BC正确；
D、列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量与克服空气阻力产生的摩擦生热，故D错误。
本题选不正确的，
故选：D。
（2024 青岛模拟）两根质量均为m的光滑金属棒、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）（ ）
A． B． C． D．mg
【解答】解：设a、b棒达到稳定状态后某一时刻的速度大小分别为v1、v2，c与b棒加速度大小相等，设为ab，a棒加速度大小为aa，回路中的电流为I，回路中的电动势为E，则有：
E＝BLbv2﹣BLav1
La＝2Lb
到稳定状态后，电路中的电流恒定，即电动势恒定，导体棒的加速度关系为：
ab＝2aa
导体棒a的加速度满足：BILa＝maa
设绳子拉力为T，对b棒受力分析，可得：T﹣BILb＝mab
对c受力分析：mg﹣T＝mab
联立解得：T，故C正确、ABD错误。
故选：C。
（2024 下城区校级模拟）在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一闭合金属圆环，面积为S，电阻为R。规定圆环中电流的正方向如图甲所示，磁场向上为正。当磁感应强度B随时间t按图乙变化时，下列说法正确的是（ ）
A．0～1s内感应电流的磁场在圆环圆心处的方向向上
B．1～2s内通过圆环的感应电流的方向与图甲所示方向相反
C．0～2s内线圈中产生的感应电动势为
D．2～4s内线圈中产生的焦耳热为
【解答】解：A、0～1s内磁场向下减小，根据楞次定律可知感应电流的磁场在圆环圆心处的方向向下，故A错误；
B、1～2s内磁场向上增大，根据楞次定律可知感应电流的磁场在圆环圆心处的方向向下，所以感应电流方向与图甲所示方向相同，故B错误；
C、根据法拉第电磁感应定律有：E＝nns，0～2s内线圈中产生的感应电动势为E＝B0S，故C错误；
D、同C选项可知在2～4s内线圈中的感应电动势为E＝B0S，焦耳热Pt，解得：P，故D正确；
故选：D。
（2024 重庆模拟）如图为某同学设计的电磁弹射装置示意图，平行的足够长光滑水平导轨MN、PQ间距为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m，长度为2L导体棒ab垂直放在导轨上。单刀双掷开关先打向c，内阻不计电动势为E的电源给电容为C的电容器充电，充完电后打向d，导体棒ab在安培力的作用下发射出去。阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒达到最大速度前，做加速度逐渐增大的加速运动
B．导体棒以最大速度发射出去后，电容器储存的电荷量为零
C．导体棒能达到的最大速度为
D．导体棒达到最大速度时，电容器放出的电荷量为
【解答】解：A、开关先打向d，则电容器放电，通过导体棒的放电电流方向从a→b，由左手定则可知导体棒ab所受安培力水平向右，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，回路中总感应电动势E总＝UC﹣BLv，随着电容器放电，电容器两端电压UC减小，导体棒速度v增大，则回路中总电动势减小，电流减小，由F＝BIL可知安培力减小，对导体棒由牛顿第二定律有：F＝ma，安培力F减小，则加速度a减小，故A错误；
B、当导体棒产生的感应电动势与电容器两端电压相等时，即UC＝BLv，回路中E总＝0，电流I＝0，导体棒所受安培力F＝0，导体棒加速度a＝0，导体棒速度达到最大，此时电容器电压不为零，则电容器电荷量不为零，故B错误；
CD、电容器开始的电荷量：Q0＝CU＝CE，设导体棒速度最大时电容器的电荷量为Q1，则Q1＝CU1，此时电路中总电动势为零，则有：U1＝BLvm
取水平向右为正方向，导体棒从静止到最大速度过程，对导体棒利用动量定理有：
这一过程中电容器放出的电荷量
联立方程可得：，，故D正确，C错误。
故选：D。
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小题精练13 电磁感应中的感应电动势、电荷量、热量、单双棒问题
一、求电荷量的三种方法
1.q＝It(式中I为回路中的恒定电流，t为时间)
(1)由于导体棒匀速切割磁感线产生感应电动势而使得闭合回路中的电流恒定，根据电流定义式可知q＝It。
(2)闭合线圈中磁通量均匀增大或减小且回路中电阻保持不变，则电路中的电流I恒定，t时间内通过线圈横截面的电荷量q＝It。
2.q＝n(其中R为回路电阻，ΔΦ为穿过闭合回路的磁通量变化量)
(1)闭合回路中的电阻R不变，并且只有磁通量变化为电路提供电动势。
(2)从表面来看，通过回路的磁通量与时间无关，但ΔΦ与时间有关，随时间而变化。
3.Δq＝CBLΔv(式中C为电容器的电容，B为匀强磁场的磁感应强度，L为导体棒切割磁感线的长度，Δv为导体棒切割速度的变化量)
在匀强磁场中，电容器接在切割磁感线的导体棒两端，不计一切电阻，电容器两极板间电压等于导体棒切割磁感线产生的电动势E，通过电容器的电流I＝＝，又E＝BLv，则ΔU＝BLΔv，可得Δq＝CBLΔv。
二、求解焦耳热Q的三种方法
三、单杆模型
初态 v0≠0 v0＝0
示意图 质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定
运动分析 导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止 当E感＝E时，v最大，且vm＝，最后以vm匀速运动 当a＝0时，v最大，vm＝，杆开始匀速运动 Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv 电流I＝＝CBl＝CBla 安培力F安＝IlB＝CB2l2a F－F安＝ma，a＝， 所以杆以恒定的加速度匀加速运动
能量分析 动能转化为内能，mv＝Q 电能转化为动能和内能，E电＝mv＋Q 外力做功转化为动能和内能，WF＝mv＋Q 外力做功转化为电能和动能，WF＝E电＋mv2
四、双杆模型
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 质量m1＝m2不 电阻r1＝r2 长度l1＝2l2
运动分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2
运动分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止。若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同
能量分析 外力做功转化为动能和内能，WF＝ΔEk＋Q 外力做功转化为动能和内能(包括电热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q电＋Qf
（2024 东湖区校级三模）如图所示，间距为L的平行导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨右端接有定值电阻，阻值为R，垂直导轨的虚线PQ和MN之间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，其中导轨的PM和QN段光滑。在虚线PQ左侧、到PQ的距离为的位置垂直导轨放置质量为m的导体棒，现给处于静止状态的导体棒一个水平向右的恒力作用，经过PQ时撤去恒力，此时导体棒的速度大小，经过MN时导体棒的速度大小。已知恒力大小为3mg，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导体棒接入电路的电阻为，重力加速度为g，导轨电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒与PQ左侧导轨之间的动摩擦因数为0.66
B．导体棒经过磁场的过程中，通过导体棒的电荷量为
C．导体棒经过磁场的过程中，导体棒上产生的热量为
D．虚线PQ和MN之间的距离为
（2024 湖北模拟）如图所示，水平面内放置着电阻可忽略不计的金属导轨，其形状满足方程y＝x2，空间分布者垂直xOy平面向内的匀强磁场。先将足够长的导体棒ab与x轴重合，且关于y轴对称放置，再用沿y轴正向的外力使其由静止开始做匀加速直线运动，导体棒先后经过y＝y0、y＝4y0的位置。若导体棒接入电路的电阻和其长度成正比，运动过程中始终和x轴平行并和导轨接触良好，不计摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒经过y＝y0、y＝4y0的位置时，闭合回路中的电动势之比为1：1
B．导体棒经过y＝y0、y＝4y0的位置时，闭合回路中的电流大小之比为1：4
C．经过y＝y0、y＝4y0的位置时，导体棒所受安培力大小之比为1：1
D．0 y0、y0 4y0过程中，闭合回路中产生的电热之比为1：15
（2024 雁塔区校级模拟）如图所示，用材料、粗细均相同的电阻丝做成ab、cd、ef三种形状的导线，分别放在电阻可忽略的足够长的相同的光滑金属导轨上，匀强磁场的方向垂直于导轨平面且大小相同。在相同的水平外力F作用下，三根导线均向右做匀速运动。已知三根导线接入导轨间的长度关系满足lab＜lcd＜lef，且每根导线与导轨的两个触点之间的距离均相等，则下列说法中正确的是（ ）
A．匀速运动时，三根导线的速度相同
B．匀速运动时，三根导线产生的感应电动势相同
C．匀速运动时，三根导线的热功率相同
D．若撤去外力，从此时直到三根导线停止运动，通过导线ef的电荷量最大
（2024 五华区校级模拟）如图所示，在光滑的水平桌面上有一根长直通电导线MN，通有电流I，方向由M到N，一个边长为L的正方形金属线框在外力的作用下垂直于导线向右以v0的速度做匀速运动，线框电阻为R，已知长直导线在其周围空间产生的磁场大小B＝k，其中k是常数，I是导线中的电流，r是空间某点到导线的垂直距离，则当线框运动到左边框与导线的距离为L时，线框中的感应电流的大小及方向为（ ）
A．、顺时针 B．、顺时针
C．、逆时针 D．、逆时针
（2024 衡阳县模拟）如图甲所示，列车车头底部安装强磁铁，线圈及电流测量仪埋设在轨道地面（测量仪未画出），P、Q为接测量仪器的端口，磁铁的匀强磁场垂直地面向下、宽度与线圈宽度相同，俯视图如图乙。当列车经过线圈上方时，测量仪记录线圈的电流为0.12A。磁铁的磁感应强度为0.005T，线圈的匝数为5，长为0.2m，电阻为0.5Ω，则在列车经过线圈的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．线圈的磁通量一直增加
B．线圈的电流方向先顺时针后逆时针方向
C．线圈的安培力大小为1.2×10﹣4N
D．列车运行的速率为12m/s
（2024 江苏模拟）如图所示，在光滑水平面上MN右侧区域存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。t＝0时刻，一质量为m、高为a、电阻为R的正三角形金属线框以速度v从边界MN处进入磁场，最终线框恰好完全进入。在线框运动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．线框中的电流始终为逆时针方向
B．t＝0时刻，线框的感应电动势大小为Bav
C．通过导线横截面的电荷量为
D．线框中感应电流产生的焦耳热为
（2024 济南三模）如图所示，半径为R的半圆形闭合金属线框可绕圆心O在纸面内逆时针匀速转动，过O点的边界上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，初始时线框直径与虚线边界垂直。已知线框的电阻为r，线框匀速转动的角速度为ω，从图示位置开始计时，以顺时针为感应电流的正方向，下列关于线圈中的感应电流i随时间t的变化关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024 浙江模拟）如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、单位长度的质量为m、单位长度的电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置（在左边磁场中的长度为L，在右边磁场中的长度为2L）时，线框的速度为，则下列判断正确的是（ ）
A．此时线框中电流方向为逆时针，线框中感应电流所受安培力为
B．此过程中通过线框截面的电量为
C．此过程中线框产生的焦耳热为
D．线框刚好可以完全进入右侧磁场
（2024 衡水模拟）如图所示，在一个倾角为θ的导轨MN上面，放置一个长度为L的金属棒PQ，已知两导轨间距为d（d＜L），金属棒的质量为m、阻值为r，导轨与金属棒接触良好，两者间动摩擦因数为μ，导轨下端连接一个阻值为R的定值电阻，整个导轨处在一个垂直导轨所在平面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现用一个恒力F拉动金属棒沿导轨斜面运动了x的距离，所用时间为t，此时金属棒的速度为v，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒速度为v时，R两端的电压为
B．该过程中生成的焦耳热为
C．该过程中摩擦力做的功为μmgxcosθ
D．该过程中安培力做的功为
（2024 苏州校级二模）如图所示，空间中存在匀强磁场B，方向垂直纸面向里。一长度为l的铜棒以速度v向右匀速运动，速度方向与铜棒之间的夹角为30°，则铜棒ab两端的电势差Uab为（ ）
A．Blv B．﹣Blv C． D．
（2024 中山市校级模拟）如图所示为宽度为3L的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。磁场左侧有一个边长为L的正方形导体线框，其总电阻为R，线框所在平面与磁场方向垂直。线框以速度v向右匀速穿过磁场区域，以线框cd边刚进入磁场的时刻为计时起点，规定电流沿逆时针方向为正，安培力F向左为正。则以下关于线框中的感应电流I、ab两点间的电势差Uab、安培力F和线框的发热功率P随时间变化的图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024 宁夏模拟）如图，竖直光滑圆弧导轨与水平光滑导轨平滑连接，圆弧部分和左侧水平部分间距相等，为3L，右侧水平部分间距为L，导轨水平部分位于竖直向下的匀强磁场中，ab、cd是质量分别为6m和m的两根导体棒，两导体棒连入两导轨间的电阻相等，cd导体棒静止在右侧水平部分，与两水平导轨垂直。现让ab导体棒从圆弧导轨上由静止释放，释放前ab导体棒与圆弧导轨垂直，距水平面的高度为h，导轨左侧水平部分和右侧水平部分足够长，导轨电阻不计，运动过程中两导体棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．最终ab、cd两导体棒产生的感应电动势大小之比为3：1
B．最终ab、cd两导体棒的动量之比为1：1
C．整个过程在导体棒ab上产生的焦耳热为
D．整个过程通过导体棒ab的电荷量为
（2024 吉林模拟）列车进站时如图所示，其刹车原理可简化如下：在车身下方固定一矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。下列说法不正确的是（ ）
A．列车进站过程中电流方向为abcd
B．线框ab边进入磁场瞬间，加速度大小
C．线框ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
D．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量
（2024 青岛模拟）两根质量均为m的光滑金属棒、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）（ ）
A． B． C． D．mg
（2024 下城区校级模拟）在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一闭合金属圆环，面积为S，电阻为R。规定圆环中电流的正方向如图甲所示，磁场向上为正。当磁感应强度B随时间t按图乙变化时，下列说法正确的是（ ）
A．0～1s内感应电流的磁场在圆环圆心处的方向向上
B．1～2s内通过圆环的感应电流的方向与图甲所示方向相反
C．0～2s内线圈中产生的感应电动势为
D．2～4s内线圈中产生的焦耳热为
（2024 重庆模拟）如图为某同学设计的电磁弹射装置示意图，平行的足够长光滑水平导轨MN、PQ间距为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m，长度为2L导体棒ab垂直放在导轨上。单刀双掷开关先打向c，内阻不计电动势为E的电源给电容为C的电容器充电，充完电后打向d，导体棒ab在安培力的作用下发射出去。阻力不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒达到最大速度前，做加速度逐渐增大的加速运动
B．导体棒以最大速度发射出去后，电容器储存的电荷量为零
C．导体棒能达到的最大速度为
D．导体棒达到最大速度时，电容器放出的电荷量为
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