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2024-2025学年八年级数学上学期期末卷03
满分120分 考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．测试范围：第一章~第七章（北师大版）。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是开方开不尽的数，是无理数，故该选项符合题意；
B、是有理数，故该选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
故选：A．
2. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：由题意，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
故选：D．
3．如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置确定出a，b，符号及大小，再根据有理数的加减运算法则逐项进行解答即可．
【解答】解：由数轴可知，，，
，
、，，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
故选：．
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可．
解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选B．
5. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A. 众数是92 B. 中位数是
C. 平均数是84 D. 方差是13
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键．
找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可．
【解答】解：排列得：，
出现次数最多是82，即众数为82；
最中间的两个数为83和85，即中位数为84；
，即平均数为85；
，即方差为13．
故选：D．
6．已知m，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】先化简m的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解．
【解答】解：m32，
∵，
∴34，
即实数m的范围是3＜m＜4，
故选：B．
7．下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】A.，则原计算错误；B.，正确；C.，则原计算错误；D.，则原计算错误，故选B.
8．如图，在矩形中，是边上的点，，过点作于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，可先求得，可得，进而证得，进而可求得的长度．
【解答】∵四边形是矩形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
∵，
∴在中，．
∴．
∴．
∴在中，．
故选：B
9．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b的图象判断出k，b的符号，进而可得出结论．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0，
∴﹣b＜0，
∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限．
故选：B．
10．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案.
【解答】解：由题意可得方程组为：
，
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知点P的坐标为（3﹣2a，a﹣9），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 （﹣5，﹣5）或（15，﹣15） ．
【分析】根据点P到两坐标轴的距离相等列出方程，然后求解得到a的值，再求解即可．
【解答】解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴|3﹣2a|＝|a﹣9|，
∴3﹣2a＝a﹣9或3﹣2a＝9﹣a，
解得a＝4或a＝﹣6，
当a＝4时，3﹣2a＝3﹣2×4＝﹣5，a﹣9＝4﹣9＝﹣5，
当a＝﹣6，3﹣2×（﹣6）＝15，a﹣9＝﹣6﹣9＝﹣15，
所以，点P的坐标为（﹣5，﹣5）或（15，﹣15）．
故答案为：（﹣5，﹣5）或（15，﹣15）．
12. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可．
【解答】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，，
解得：，．
故答案为：3，．
13．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答．
【解答】解：把代入得：，
∴，
∵点P为一次函数与的图象交点，
∴方程组的解是；
故答案为：．
14．如图，在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，点A对应点为点F，当直线恰好经过的中点M时，的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，先利用勾股定理求出，设，则，在和中，利用勾股定理可得出，解方程即可．
【解答】解：连接，
在矩形中，，，
∴，，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
即AE的长为，
故答案为：．
15．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连结CD，CE．当CD+CE的值最小时，点D的坐标为 ．
【分析】设D（t，1），过点D作DG⊥x轴于点G，作点E关于直线y＝﹣1的对称点E′（t﹣1，﹣2），连接CE′，则CE′＝CE，CD+CE＝CD+CE′，当D、C、E′三点共线时，CD+CE′＝DE′为最小值，利用待定系数法可得直线CD的解析式为yx，把点E′（t﹣1，﹣2）代入求解即可．
【解答】解：如图，∵将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，
∴点D的纵坐标为1，设D（t，1），过点D作DG⊥x轴于点G，
则G（t，0），
∴E（t﹣1，0），
作点E关于直线y＝﹣1的对称点E′（t﹣1，﹣2），连接CE′，
则CE′＝CE，
∴CD+CE＝CD+CE′，
当D、C、E′三点共线时，CD+CE′＝DE′为最小值，
设直线CD的解析式为y＝kx+b，把C（1，﹣1）和D（t，1）代入，
得：，
解得：，
∴直线CD的解析式为yx，
∵点E′（t﹣1，﹣2）在直线CD上，
∴﹣2（t﹣1），
解得：t，
∴D（，1）；
故答案为：（，1）．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】（1）解：原式
；
原式
．
17．解方程组：
（1）；（2）．
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简原方程组，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：（1），
①×2得，4x+6y＝20③，
③﹣②得，5y＝15，
解得y＝3，
把y＝3代入①得，x＝0.5，
所以方程组的解是；
（2），
方程组可化为，
①×3得，6x﹣9y＝57③，
②﹣③得，13y＝0，
解得y＝0，
把y＝0代入①得，x＝9.5，
所以方程组的解是．
18．如图，平分，且．
(1)证明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）先根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定，即可解答；
（2）先利用平角定义可得，然后再利用平行线的性质，即可解答．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
的度数为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家
乙商家
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】（）平台从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值，补图见解析；（）；（），，；（）小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【解析】
【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（）用乘以甲商家分的占比即可求解；
（）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【解答】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值，
从乙商家抽取了个评价分值，
∴甲商家分的评价分值个数为个，
乙商家分的评价分值个数为个，
补全条形统计图如下：
（）；
（）∵甲商家共有个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家分的个数最多，
∴众数，
乙商家平均数；
（）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
20.如图，在平面直角坐标系中，点在第三象限，点在轴正半轴上，且满足，连接交轴负半轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)已知点的坐标为，求的面积
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标的坐标为
(2)点M的坐标为
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征计算即可；
（3）根据三角形的面积公式即可．
【解答】（1）解：∵，点在第三象限，
∴
解得：，
∴点A的坐标为，点B的坐标的坐标为，
（2）设直线的解析式为：，
由题意得，
解得： ，
则直线AB的解析式为：，
当时，
∴点M的坐标为；
（3）由题意得， ，
21.阅读下列材料，并完成相应的任务：
小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．
任务一：如图1，请用它验证勾股定理．
任务二：如图1，若，求的面积．
任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长．
【答案】任务一：见解析；任务二：；任务三：
【分析】本题考查了勾股定理，以弦图为背景的计算题，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务一：根据正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，列式，化简即可作答；
任务二：结合，化简得出，再代入直角三角形的面积公式进行计算，即可作答．
任务三：先运用勾股定理计算，再运用等面积法列式计算，即可作答．
【解答】解：任务一：正方形的面积，且正方形的面积个全等的直角三角形的面积＋一个小正方形的面积，
，
整理得．
任务二：，
，
，
，
的面积．
任务三：∵在中，，
．
是边上的高，
，
，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元．一个人旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元．
(1)两种客房各租住了多少间？
(2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元表示，写出与的函数关系式，并求出三人间共住多少人时费用最少．
【答案】(1)三人间租了间；两人间租了间
(2)，三人间共住人时费用最少
【分析】（1）设三人间租了间；两人间租了间，根据题意，列出方程组，解出方程组，即可；
（2）设三人间共住了人，则两人间住了：人，根据题意，列出方程，即可，再根据一次函数的性质，即可．
【解答】（1）设三人间租了间；两人间租了间，
∴，
解得：，
∴三人间租了间；两人间租了间．
（2）设三人间共住了人，则两人间住了：人，
∴，
∴随的增大而减小，
∴当取最大值，最小，
当（为的倍数）时，有最小值，，
∴，
∴三人间共住人时费用最少．
23.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标；
(3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）求出的坐标，中点得到点的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）过点作轴，交直线于点，设，则：，
分割法得到，结合，进行求解即可；
（3）分点在点左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】（1）解：∵，
∴时，，时，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴设直线的解析式为，把，代入，得：；
∴直线的解析式为；
（2）过点作轴于点，交直线于点，设，则：，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴点坐标为：或
（3）当点在点右侧时：将直线沿着轴向上平移个单位，得到直线：，
此时，
∴，
当时，，
∴，
当点在点左侧时，作的中垂线，交于点，连接交x轴于点P，则：，
∴，
设，
则：，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴；
综上：或．
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2024-2025学年八年级数学上学期期末卷03
满分120分 考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．测试范围：第一章~第七章（北师大版）。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0
2. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A. 众数是92 B. 中位数是
C. 平均数是84 D. 方差是13
6．已知m，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
7．下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，是边上的点，，过点作于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．
9．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A．B． C．D．
10．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知点P的坐标为（3﹣2a，a﹣9），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
12. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________．
13．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
14．如图，在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，点A对应点为点F，当直线恰好经过的中点M时，的长为 ．
15．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A（1，1），将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连结CD，CE．当CD+CE的值最小时，点D的坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：
(1)； (2)．
17．解方程组：
（1）；（2）．
18．如图，平分，且．
(1)证明：；
(2)若，求的度数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）．
（）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家
乙商家
（）直接写出表中和的值，并求的值；
（）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
20.如图，在平面直角坐标系中，点在第三象限，点在轴正半轴上，且满足，连接交轴负半轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)已知点的坐标为，求的面积
21.阅读下列材料，并完成相应的任务：
小明在经过八年级上册的知识学习后，发现用不同的方式表示同一图形的面积不仅可以得到整式的乘法公式，还可以用来证明勾股定理，我们把这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．如图1，这是我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制的一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．
任务一：如图1，请用它验证勾股定理．
任务二：如图1，若，求的面积．
任务三：如图2，在中，，是边上的高，，请直接写出的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元．一个人旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元．
(1)两种客房各租住了多少间？
(2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费用元表示，写出与的函数关系式，并求出三人间共住多少人时费用最少．
23.如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若点C是直线上一点，且，求点C的坐标；
(3)点P为x轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点P的坐标．
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