广东省深圳市红山中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题（2024.8）
1．（2024高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求即可.
2．（2024高三上·深圳月考）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，即，
所以，复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，
所以，圆的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，结合已知条件和复数的几何意义得出复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，再利用圆的面积公式得出复平面内点满足的图形的面积.
3．（2024高三上·深圳月考）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等差数列的性质；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
则公差，
所以，直线l的斜率为.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件和等差数列的性质，从而得出公差的值，再由两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率.
4．（2024高三上·深圳月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，，
根据零点定理可得在上存在零点，
因为当时，函数与函数单调递增，所以单调递增，
所以函数仅在中存在一个零点.
故答案为：A.
【分析】先求的值，再根据零点存在定理，结合对数函数和反比例函数的单调性求解即可.
5．（2024高三上·深圳月考）设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（ ）
A．直线与平面内的无数条直线垂直
B．直线与平面内任意直线都垂直
C．直线与平面内两条不平行直线垂直
D．直线与平面都垂直于同一平面
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、直线与平面内的无数条直线垂直可以是无数条平行直线不能推出，
若，则内任意一条直线都与l垂直，可得直线与平面内的无数条直线垂直，
直线与平面内的无数条直线垂直是的必要不充分条件，故A正确；
B、直线与平面内任意直线都垂直，l垂直内两条相交直线，可得出，
若，则内任意一条直线都与l垂直，
所以直线与平面内任意直线都垂直是的充要条件，故B错误；
C、 直线与平面内两条不平行直线垂直即直线与平面内两条相交直线垂直，则，
若，则内任意一条直线都与l垂直，直线与平面内两条相交直线垂直，
直线与平面内两条不平行直线垂直是的充要条件，故C错误；
D、直线与平面都垂直于同一平面，或，不能得出，
若，则直线与平面不能都垂直于同一平面，
直线与平面都垂直于同一平面是的既不充分也不必要条件，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直性质，结合充分条件必要条件定义判断即可.
6．（2024高三上·深圳月考）设事件A，B满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，，
又因为，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及，从而得出，再利用得出的值，再结合条件概率公式得出的值.
7．（2024高三上·深圳月考）已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，，
则，
所以，向量在方向上的投影向量的坐标为：
.
故答案为：D.
【分析】利用数量积的定义和数量积求投影向量坐标的方法，则得出向量在向量上的投影向量的坐标.
8．（2024高三上·深圳月考）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，
在中，由余弦定理得：，
由题意可得：，即，
解得，当且仅当四点共圆时取等号，故的最大值为.
故答案为：D.
【分析】设，则，在中，利用余弦定理表示出，再根据题中结论求解即可.
9．（2024高三上·深圳月考）在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，每两点确定一条线段，
则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，所以A正确；
对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，
以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而得出正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，
因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，所以B正确；
对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，
因此三棱锥共有个，所以C错误；
对于D，由选项C知，正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，
因此四棱锥共有，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用每两点确定一条线段和组合数公式，则判断出选项A；利用直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，则直三棱柱两底面在正方体相对面上，从而得出以正方形的顶点为顶点的三角形的个数，进而计数原理得出正方体的一组相对面对应的直三棱柱的个数，则判断出选项B；利用三棱锥的结构特征和三棱锥与正方体的关系，再由组合数公式和排除法，则得出以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数，从而判断出选项C；由选项C得出正方体四点共面的情况种数，再利用每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，则由计数原理得出以正方体的顶点为顶点的四棱锥个数，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高三上·深圳月考）某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．如果依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有（ ）
附：
，其中.
A．150人 B．225人 C．300人 D．375人
【答案】B,C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：设男生人数为，根据题意可得列联表：
男生 女生 合计
选修外出研学课程
不选修外出研学课程
合计
则，
依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则，
解得，故．
故答案为：BC．
【分析】设男生人数为，根据题意用表示出女生人数、男生中“选修外出研学课程”人数、女生中“选修外出研学课程”人数，进而表示出表格中其它人数，利用公式计算出，由得到的范围，求得男生人数的范围求解即可.
11．（2024高三上·深圳月考）已知为直线上动点，分别与圆 相切于两点，则弦的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；余弦定理
【解析】【解答】解：圆心，作出图形，如图所示：
要使的长度最小，则最小，即最小，
因为，所以当最小时，最小，
又因为，所以当最小时，最小，
因为，故，所以，
所以，
所以，
所以，
当点在直线无限远取值时，趋近于，趋近于直径4，
所以.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，先求圆心和半经，再根据题意得到当最小时，最小，即可得到，再根据点在直线无限远取值时，趋近于，趋近于直径求解即可.
12．（2024高三上·深圳月考）已知角的终边过点，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据任意角的三角函数定义，结合余弦的二倍角公式计算即可.
13．（2024高三上·深圳月考）已知函数是上的增函数，则实数a的可以是 ．（写出一个满足题意的a即可）
【答案】2（答案不唯一，只要在区间）
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数在上为增函数，则，
解得：，则实数a的可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】由题意，根据分段函数的单调性，列不等式组求解即可.
14．（2024高三上·深圳月考）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 .
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为二阶等差数列，其前项分别为，，，，，
所以，
故数列是以为公差，为首项的等差数列，
即，则，，，，
则
，
故，
则.
故答案为：.
【分析】根据二阶等差数列的定义，求得数列是以为公差，为首项的等差数列，根据等差数列的概念求其通项公式，再借助裂项相消法求和即可.
15．（2024高三上·深圳月考）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：，
整理得，又因为，则.
（2）解：因为，则，
又因为，即（ ），
由正弦定理得出：，，
两式比得到，即，与（ ）联立，
得到，
即，解得，
则的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角B的余弦值，再由三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出角B的正弦值，再利用余弦定理、正弦定理，从而联立方程得出c的值，结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
（1），由正弦定理，，
，整理得
，，.
（2），则
，即（ ）
由正弦定理，知道，，，两式比，
得到，即，与（ ）联立，得到，
即，解得，
则的面积为.
16．（2024高三上·深圳月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为.
（1）证明：；
（2）若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
（2）解：以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
因为劣弧的长为，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，即，
令，则，，
平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
即，(负值舍去)，
即到平面距离为，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面，再利用线面平行的性质定理证明即可；
（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）法一：
，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
；
法二：
圆面圆面，平面圆面，
平面圆面，，
又，；
（2）法一：
以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
劣弧的长为，
，，
，，
设平面的法向量为，
由，即，
令，则，，
平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
即，(负值舍去)，
即到平面距离为，
则.
法二：
如图，过作，即平面与平面的交线为，
作于，连接，
平面，平面，，
又，平面，
平面，，
是平面与平面夹角，
的长为，
，，
，
则，，
即到平面距离为，
.
17．（2024高三上·深圳月考）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值；
（2）若的图像与直线相切，求实数的值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
因为，为偶函数，为奇函数，
所以，
两式相加，解得
因为函数的定义域为，所以，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，函数的最小值为1；
（2）解：由条件得，设两图像切点为，
则，即，所以
令，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
当时，，
又，所以，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性，构造方程组即可解析式，再通过基本不等式求解即可；
（2）设切点坐标，由导数的几何意义得到求解即可.
（1）函数的定义域为.
由及为偶函数，为奇函数，
得，
两式相加，解得：
因为函数的定义域为，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故当时，函数的最小值为1.
（2）由条件得，设两图像切点为，
则，即，
所以
令，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
当时，，
又，所以，
所以.
18．（2024高三上·深圳月考）2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求.
【答案】（1）解：由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，
则的可能取值为4，5，6，7，8，
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
4 5 6 7 8
；
（2）解：因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，所以，
设，
则，
由两式相减得：
，
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列，由期望公式数学期望即可；
（2）结合题意可知只有1人既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，于是可得到，利用错位相减法求和即可.
（1）方法一：由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，则的可能取值为4，5，6，7，8.
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
4 5 6 7 8
所以
方法二：
记随机抽取的4名游客的纪念币个数分别为，则有，
又注意到是一个取值为1，2的两点分布，
所以是0-1分布，
记，则服从二项分布，且，
所以的分布列为，数学期望为，
则有的分布列为，
数学期望为.
（2）因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，
所以，
设，
则，
由两式相减得：
，
所以.
19．（2024高三上·深圳月考）已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，根据题意可知：，
化简可得：，
所以曲线C的方程为：；
（2）解：设，，可设直线，
联立方程，消元整理可得：，
由韦达定理可得：，
故且
①
．
②因为轴，所以，由两点式方程可得的直线方程为：
，
则，
将，代入可得：，
将代入上式，得到：，
故直线过定点，
所以，解得或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设，根据题意列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；
②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值求解即可.
（1）令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
（2）设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
1 / 1广东省深圳市红山中学2024-2025学年高三上学期第一次考试数学试题（2024.8）
1．（2024高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·深圳月考）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．（2024高三上·深圳月考）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2024高三上·深圳月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·深圳月考）设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（ ）
A．直线与平面内的无数条直线垂直
B．直线与平面内任意直线都垂直
C．直线与平面内两条不平行直线垂直
D．直线与平面都垂直于同一平面
6．（2024高三上·深圳月考）设事件A，B满足，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·深圳月考）已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·深圳月考）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·深圳月考）在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
10．（2024高三上·深圳月考）某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．如果依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查人数中男生可能有（ ）
附：
，其中.
A．150人 B．225人 C．300人 D．375人
11．（2024高三上·深圳月考）已知为直线上动点，分别与圆 相切于两点，则弦的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三上·深圳月考）已知角的终边过点，则 .
13．（2024高三上·深圳月考）已知函数是上的增函数，则实数a的可以是 ．（写出一个满足题意的a即可）
14．（2024高三上·深圳月考）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 .
15．（2024高三上·深圳月考）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
16．（2024高三上·深圳月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为.
（1）证明：；
（2）若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积．
17．（2024高三上·深圳月考）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若，其中为偶函数，为奇函数，求函数的解析式以及最小值；
（2）若的图像与直线相切，求实数的值.
18．（2024高三上·深圳月考）2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求.
19．（2024高三上·深圳月考）已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先解不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，即，
所以，复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，
所以，圆的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，结合已知条件和复数的几何意义得出复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，再利用圆的面积公式得出复平面内点满足的图形的面积.
3．【答案】C
【知识点】等差数列的性质；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
则公差，
所以，直线l的斜率为.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件和等差数列的性质，从而得出公差的值，再由两点求斜率公式，进而得出直线l的斜率.
4．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，，
根据零点定理可得在上存在零点，
因为当时，函数与函数单调递增，所以单调递增，
所以函数仅在中存在一个零点.
故答案为：A.
【分析】先求的值，再根据零点存在定理，结合对数函数和反比例函数的单调性求解即可.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、直线与平面内的无数条直线垂直可以是无数条平行直线不能推出，
若，则内任意一条直线都与l垂直，可得直线与平面内的无数条直线垂直，
直线与平面内的无数条直线垂直是的必要不充分条件，故A正确；
B、直线与平面内任意直线都垂直，l垂直内两条相交直线，可得出，
若，则内任意一条直线都与l垂直，
所以直线与平面内任意直线都垂直是的充要条件，故B错误；
C、 直线与平面内两条不平行直线垂直即直线与平面内两条相交直线垂直，则，
若，则内任意一条直线都与l垂直，直线与平面内两条相交直线垂直，
直线与平面内两条不平行直线垂直是的充要条件，故C错误；
D、直线与平面都垂直于同一平面，或，不能得出，
若，则直线与平面不能都垂直于同一平面，
直线与平面都垂直于同一平面是的既不充分也不必要条件，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据线面垂直的判定定理以及线面垂直性质，结合充分条件必要条件定义判断即可.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，，，
又因为，则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和对立事件求概率公式以及，从而得出，再利用得出的值，再结合条件概率公式得出的值.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，，
则，
所以，向量在方向上的投影向量的坐标为：
.
故答案为：D.
【分析】利用数量积的定义和数量积求投影向量坐标的方法，则得出向量在向量上的投影向量的坐标.
8．【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：设，则，
在中，由余弦定理得：，
由题意可得：，即，
解得，当且仅当四点共圆时取等号，故的最大值为.
故答案为：D.
【分析】设，则，在中，利用余弦定理表示出，再根据题中结论求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，每两点确定一条线段，
则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，所以A正确；
对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，
以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而得出正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，
因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，所以B正确；
对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法，
其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，
因此三棱锥共有个，所以C错误；
对于D，由选项C知，正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，
因此四棱锥共有，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用每两点确定一条线段和组合数公式，则判断出选项A；利用直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，则直三棱柱两底面在正方体相对面上，从而得出以正方形的顶点为顶点的三角形的个数，进而计数原理得出正方体的一组相对面对应的直三棱柱的个数，则判断出选项B；利用三棱锥的结构特征和三棱锥与正方体的关系，再由组合数公式和排除法，则得出以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数，从而判断出选项C；由选项C得出正方体四点共面的情况种数，再利用每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，则由计数原理得出以正方体的顶点为顶点的四棱锥个数，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】解：设男生人数为，根据题意可得列联表：
男生 女生 合计
选修外出研学课程
不选修外出研学课程
合计
则，
依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则，
解得，故．
故答案为：BC．
【分析】设男生人数为，根据题意用表示出女生人数、男生中“选修外出研学课程”人数、女生中“选修外出研学课程”人数，进而表示出表格中其它人数，利用公式计算出，由得到的范围，求得男生人数的范围求解即可.
11．【答案】A,D
【知识点】直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定；余弦定理
【解析】【解答】解：圆心，作出图形，如图所示：
要使的长度最小，则最小，即最小，
因为，所以当最小时，最小，
又因为，所以当最小时，最小，
因为，故，所以，
所以，
所以，
所以，
当点在直线无限远取值时，趋近于，趋近于直径4，
所以.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，先求圆心和半经，再根据题意得到当最小时，最小，即可得到，再根据点在直线无限远取值时，趋近于，趋近于直径求解即可.
12．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边过点，所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据任意角的三角函数定义，结合余弦的二倍角公式计算即可.
13．【答案】2（答案不唯一，只要在区间）
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数在上为增函数，则，
解得：，则实数a的可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】由题意，根据分段函数的单调性，列不等式组求解即可.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为二阶等差数列，其前项分别为，，，，，
所以，
故数列是以为公差，为首项的等差数列，
即，则，，，，
则
，
故，
则.
故答案为：.
【分析】根据二阶等差数列的定义，求得数列是以为公差，为首项的等差数列，根据等差数列的概念求其通项公式，再借助裂项相消法求和即可.
15．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得：，
整理得，又因为，则.
（2）解：因为，则，
又因为，即（ ），
由正弦定理得出：，，
两式比得到，即，与（ ）联立，
得到，
即，解得，
则的面积为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角B的余弦值，再由三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出角B的正弦值，再利用余弦定理、正弦定理，从而联立方程得出c的值，结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
（1），由正弦定理，，
，整理得
，，.
（2），则
，即（ ）
由正弦定理，知道，，，两式比，
得到，即，与（ ）联立，得到，
即，解得，
则的面积为.
16．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
（2）解：以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
因为劣弧的长为，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，即，
令，则，，
平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
即，(负值舍去)，
即到平面距离为，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面，再利用线面平行的性质定理证明即可；
（2）以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）法一：
，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
；
法二：
圆面圆面，平面圆面，
平面圆面，，
又，；
（2）法一：
以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，
劣弧的长为，
，，
，，
设平面的法向量为，
由，即，
令，则，，
平面的法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
即，(负值舍去)，
即到平面距离为，
则.
法二：
如图，过作，即平面与平面的交线为，
作于，连接，
平面，平面，，
又，平面，
平面，，
是平面与平面夹角，
的长为，
，，
，
则，，
即到平面距离为，
.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，
因为，为偶函数，为奇函数，
所以，
两式相加，解得
因为函数的定义域为，所以，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故当时，函数的最小值为1；
（2）解：由条件得，设两图像切点为，
则，即，所以
令，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
当时，，
又，所以，
所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意，根据函数的奇偶性，构造方程组即可解析式，再通过基本不等式求解即可；
（2）设切点坐标，由导数的几何意义得到求解即可.
（1）函数的定义域为.
由及为偶函数，为奇函数，
得，
两式相加，解得：
因为函数的定义域为，
所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故当时，函数的最小值为1.
（2）由条件得，设两图像切点为，
则，即，
所以
令，则，
当时，，递减，
当时，，递增，
当时，，
又，所以，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，
则的可能取值为4，5，6，7，8，
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
4 5 6 7 8
；
（2）解：因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，所以，
设，
则，
由两式相减得：
，
故.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意确定X的可能取值，求出每个对应的概率，即可得分布列，由期望公式数学期望即可；
（2）结合题意可知只有1人既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，于是可得到，利用错位相减法求和即可.
（1）方法一：由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，则的可能取值为4，5，6，7，8.
，
，
，
，
.
所以的分布列为：
4 5 6 7 8
所以
方法二：
记随机抽取的4名游客的纪念币个数分别为，则有，
又注意到是一个取值为1，2的两点分布，
所以是0-1分布，
记，则服从二项分布，且，
所以的分布列为，数学期望为，
则有的分布列为，
数学期望为.
（2）因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，
所以，
设，
则，
由两式相减得：
，
所以.
19．【答案】（1）解：令，根据题意可知：，
化简可得：，
所以曲线C的方程为：；
（2）解：设，，可设直线，
联立方程，消元整理可得：，
由韦达定理可得：，
故且
①
．
②因为轴，所以，由两点式方程可得的直线方程为：
，
则，
将，代入可得：，
将代入上式，得到：，
故直线过定点，
所以，解得或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)设，根据题意列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；
②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值求解即可.
（1）令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
（2）设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
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