广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025届高三鲲鹏班上学期第三次质量检测数学试题
1．（2024高三上·顺德月考）已知集合，，（ ）
A． B． C． D
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解得或，则或，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·顺德月考）如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故答案为：D
【分析】本题考查平面向量基本定理.先利用平行四边形的性质和平面向量的加法运算可推出：和，两个式子相加可得：，再将，进行替换，可求出答案.
3．（2024高三上·顺德月考）已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用向量平行的坐标表示和二倍角的余弦公式，从而解方程可得的值，再结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式得出的值，再根据两角差的正切公式得出的值.
4．（2024高三上·顺德月考）函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由得，
因为函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，
所以图象关于原点对称，则得出函数的图象过点，
所以，所以，
故，又，得，
所以，，
故答案为：A.
【分析】由函数图象的最大值求出的值，再由正弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，从而得出函数的图象过点，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再根据特殊点对应法得出的值，从而得出函数f(x)的解析式，再根据代入法得出a的值.
5．（2024高三上·顺德月考）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．牛奶的温度降至还需 D．牛奶的温度降至还需
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由，
得，
即，故，所以A、B错误；
又由，，得，
故牛奶的温度从降至需，
从降至还需，所以C错、D对.
故答案为：D.
【分析】运用已知条件和代入法，从而由指数式与对数式的互化公式，则判断出选项A和选项B；再由，，从而得出t的值，进而得出牛奶的温度从降至需要的时间，再由作差法得出牛奶的温度从降至还需的时间，则判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
6．（2024高三上·顺德月考）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）
A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，
则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”，
所以，，，，，，
所以接收信号为0的概率为：，
所以接收信号为1的概率为：.
故答案为：B.
【分析】运用已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而计算得出接受信号为1的概率.
7．（2024高三上·顺德月考）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】两点，，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故答案为：D
【分析】本题考查点与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式求出，再求出直线的方程，利用点到直线的距离可求出圆心到直线的距离，利用点与圆的位置关系可求出：点到直线距离的最小值，即三角形的高的最小值，利用三角形的面积公式可求出面积的最小值
8．（2024高三上·顺德月考）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有3个零点
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：
令，则
∴时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴有极大值：，极小值：，且，
∴大致图像如下：
对于A：若，则恰有1个零点，故选项A错误.
对于B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故B错误.
对于C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故C错误.
对于D. 若，则恰有3个零点，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间和极值，则画出分段函数的大致图象，再由分段函数的图象和函数零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，则对选项做出判断，从而找出结论正确的选项.
9．（2024高三上·顺德月考）已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若复数满足，则在复平面对应的点是
D．若是关于的方程的一个根，则
【答案】C,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】A.若，则不一定成立，比如，
满足，但，不满足，A错误；
B.比如，满足，
由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B错误；
C.，
所以在复平面对应的点是，C正确；
D.若是关于的方程的一个根，
则为方程另一个根，
故，即，D正确.
故答案为：CD
【分析】本题考查复数的模长公式，复数的几何意义.举出反例，利用复数的模长公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算，可判断A选项；举出反例，再根据两个复数不能比大小，据此可判断B选项；先利用复数的除法运算可求出复数，据此可找出复数的对应点，据此可判断C选项；根据复数方程的根可推出为方程另一个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出p的值，可判断D选项.
10．（2024高三上·顺德月考）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以（当且仅当时取“”），
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设（），则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
因为，
又因为，所以，
即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法和对数的运算法则、指数幂的运算法则，从而判断出选项A和选项B；设（），利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，则判断出选项C；利用a+b=1和平方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·顺德月考）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．正四棱台的外接球的表面积为
D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，设圆台上、下底面圆心分别为，连接过作，作截面的平面图，如图所示：
则为等腰梯形且为中点，
则，
故，即圆台的高，
又因为，即四棱台的上下底面边长分别为和.
对于A，由题意平面，平面，
则，，，平面，平面，
故平面，平面，所以，故A正确；
对于B：过作，垂足为，连接，
由面，//，则面，
因为面，故，
因为，面，故面，
又因为面，故，则即为二面角的平面角；
，
又因为，故，
在中，，则，
结合在单调递增可知，，故B错误；
对于C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心，如图所示：
则，
故，解得；
故正四棱台的外接球的表面积为，故C正确；
对于D：，
，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理，从而得出线线垂直，则判断出选项A；过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形得出二面角的大小，从而判断出选项B；设出球心和球半径，根据几何关系，再列出等量关系求解出正四棱台的外接球的表面积，即可判断出选项C；根据圆台和棱台的体积公式，再结合已知条件，从而得出的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·顺德月考）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：，将代入可得，
，将，代入，求得
故填：.
【分析】由条件概率和和事件的概率公式即可得出答案.
13．（2024高三上·顺德月考）设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为 ．
【答案】和
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为为奇函数，
则，得出，
因为，则，
设切点，则切线方程为，
又因为切线过点，代入得，
解得或，
当时，切点为，切线方程为；
当时，切点为，切线方程为．
故答案为：和.
【分析】由奇函数的定义求出a的值，从而得出函数的解析式，再设出切点坐标，由导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得设出切线方程，由切线过点，从而代入得出切点坐标，再分类讨论，进而得出切线方程．
14．（2024高三上·顺德月考）如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3：4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是 .
【答案】21
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，.
所以，同理可得，，，
由数学归纳的思想可知，，
设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列，
所以，
因此，
又因为当时，，
所以若与正整数恒满足不等式，则的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】由题意结合图形，再通过数学归纳法和等比数列的定义，从而判断出数列是以6为首项，为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式和数列求极限的方法，从而得出K的最小值.
15．（2024高三上·顺德月考）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的高为，求三角形的周长．
【答案】（1）解：因为，，为的内角，所以，
因为，
所以可化为，
即，即，
因为，解得：，即．
（2）解：由三角形面积公式得，，
代入得：，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角形中角的取值范围和三角形内角和定理以及诱导公式、二倍角的余弦公式，从而由辅助角公式和不等式的基本性质，进而得出角A的大小.
(2)利用三角形的面积公式和已知条件，从而得出a，c的关系式，利用余弦定理得出满足要求的c的值，从而得出a的值，再利用三角形周长公式得出三角形的周长．
16．（2024高三上·顺德月考）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， .
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：.
【答案】（1）解：由题意得，解得： ，，
因为数列公差为，数列公比为，所以， .
（2）证明：由（1）得： ，
，
易知在上单调递增，故当时，取最小值，
又因为恒成立，所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式以及已知条件，从而得出等差数列的公差和等比数列的公比，再由等差数列、等比数列的通项公式得出数列、的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式和裂项相消法，从而求出数列的前n项和，再结合函数的单调性，从而得出函数的最小值，再由恒成立问题求解方法证出不等式成立.
（1）由题意得，解得： ，
因为数列是公差为，数列是公比为，所以， ；
（2）由（1）得：
易知在上单调递增，故当时，取最小值，
又恒成立，所以.
17．（2024高三上·顺德月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
（1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心；
（2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明：由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称.
（2）解：由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由（1）知函数是奇函数，则
又因为，即，
所以，，
解得，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再根奇函数的对称中心，即可判断出函数的对称中心.
（2）由复合函数的单调性结合（1）知函数为奇函数，再根据奇函数的定义和，从而得出，再利用函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称.
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由（1）知函数是奇函数，
又，即，
所以，，
解得，所以实数的取值范围为.
18．（2024高三上·顺德月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．（2024高三上·顺德月考）函数．
（1）若，求函数的最大值；
（2）若在恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
则函数的最大值为；
（2）解：因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，所以；
当时，则，
设，则，
可知在单调递增，且，
则，使得，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数研究函数单调性，求最值即可；
（2）根据题意，则在恒成立，分离参数转化成在恒成立问题，设，对函数设求导，分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围.
（1）因为，
可知的定义域为，且，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，
所以；
当时，则，
设，则，
可知在递增，且．
则，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
可知函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
1 / 1广东省佛山市顺德区罗定邦中学2025届高三鲲鹏班上学期第三次质量检测数学试题
1．（2024高三上·顺德月考）已知集合，，（ ）
A． B． C． D
2．（2024高三上·顺德月考）如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三上·顺德月考）已知，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·顺德月考）函数的部分图象如图所示，若图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图像，若是奇函数，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·顺德月考）已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．牛奶的温度降至还需 D．牛奶的温度降至还需
6．（2024高三上·顺德月考）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）
A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575
7．（2024高三上·顺德月考）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．（2024高三上·顺德月考）已知函数函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则恰有2个零点
B．若恰有2个零点，则的取值范围是
C．若恰有3个零点，则的取值范围是
D．若，则恰有3个零点
9．（2024高三上·顺德月考）已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若复数满足，则在复平面对应的点是
D．若是关于的方程的一个根，则
10．（2024高三上·顺德月考）若正数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·顺德月考）已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．正四棱台的外接球的表面积为
D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则
12．（2024高三上·顺德月考）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
13．（2024高三上·顺德月考）设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为 ．
14．（2024高三上·顺德月考）如下图，正方形 的边长为 14 cm， 依次将 分为3：4的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形 . 一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为， 为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是 .
15．（2024高三上·顺德月考）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的高为，求三角形的周长．
16．（2024高三上·顺德月考）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且， .
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：.
17．（2024高三上·顺德月考）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
（1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心；
（2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围.
18．（2024高三上·顺德月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
19．（2024高三上·顺德月考）函数．
（1）若，求函数的最大值；
（2）若在恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解得或，则或，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】解分式不等式得出集合，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
故答案为：D
【分析】本题考查平面向量基本定理.先利用平行四边形的性质和平面向量的加法运算可推出：和，两个式子相加可得：，再将，进行替换，可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
，
所以或，
又因为，所以，所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】利用向量平行的坐标表示和二倍角的余弦公式，从而解方程可得的值，再结合角的取值范围和同角三角函数基本关系式得出的值，再根据两角差的正切公式得出的值.
4．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由得，
因为函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后得为奇函数，
所以图象关于原点对称，则得出函数的图象过点，
所以，所以，
故，又，得，
所以，，
故答案为：A.
【分析】由函数图象的最大值求出的值，再由正弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，从而得出函数的图象过点，再结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再根据特殊点对应法得出的值，从而得出函数f(x)的解析式，再根据代入法得出a的值.
5．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：由，
得，
即，故，所以A、B错误；
又由，，得，
故牛奶的温度从降至需，
从降至还需，所以C错、D对.
故答案为：D.
【分析】运用已知条件和代入法，从而由指数式与对数式的互化公式，则判断出选项A和选项B；再由，，从而得出t的值，进而得出牛奶的温度从降至需要的时间，再由作差法得出牛奶的温度从降至还需的时间，则判断出选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，
则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”，
所以，，，，，，
所以接收信号为0的概率为：，
所以接收信号为1的概率为：.
故答案为：B.
【分析】运用已知条件和全概率公式以及对立事件求概率公式，从而计算得出接受信号为1的概率.
7．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】两点，，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故答案为：D
【分析】本题考查点与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式求出，再求出直线的方程，利用点到直线的距离可求出圆心到直线的距离，利用点与圆的位置关系可求出：点到直线距离的最小值，即三角形的高的最小值，利用三角形的面积公式可求出面积的最小值
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：
令，则
∴时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
∴有极大值：，极小值：，且，
∴大致图像如下：
对于A：若，则恰有1个零点，故选项A错误.
对于B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故B错误.
对于C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故C错误.
对于D. 若，则恰有3个零点，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间和极值，则画出分段函数的大致图象，再由分段函数的图象和函数零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，则对选项做出判断，从而找出结论正确的选项.
9．【答案】C,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】A.若，则不一定成立，比如，
满足，但，不满足，A错误；
B.比如，满足，
由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B错误；
C.，
所以在复平面对应的点是，C正确；
D.若是关于的方程的一个根，
则为方程另一个根，
故，即，D正确.
故答案为：CD
【分析】本题考查复数的模长公式，复数的几何意义.举出反例，利用复数的模长公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算，可判断A选项；举出反例，再根据两个复数不能比大小，据此可判断B选项；先利用复数的除法运算可求出复数，据此可找出复数的对应点，据此可判断C选项；根据复数方程的根可推出为方程另一个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出p的值，可判断D选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】函数的值域；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，
所以（当且仅当时取“”），
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设（），则在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
因为，
又因为，所以，
即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法和对数的运算法则、指数幂的运算法则，从而判断出选项A和选项B；设（），利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而得出，则判断出选项C；利用a+b=1和平方法以及基本不等式求最值的方法，从而得出，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，设圆台上、下底面圆心分别为，连接过作，作截面的平面图，如图所示：
则为等腰梯形且为中点，
则，
故，即圆台的高，
又因为，即四棱台的上下底面边长分别为和.
对于A，由题意平面，平面，
则，，，平面，平面，
故平面，平面，所以，故A正确；
对于B：过作，垂足为，连接，
由面，//，则面，
因为面，故，
因为，面，故面，
又因为面，故，则即为二面角的平面角；
，
又因为，故，
在中，，则，
结合在单调递增可知，，故B错误；
对于C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心，如图所示：
则，
故，解得；
故正四棱台的外接球的表面积为，故C正确；
对于D：，
，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理，从而得出线线垂直，则判断出选项A；过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形得出二面角的大小，从而判断出选项B；设出球心和球半径，根据几何关系，再列出等量关系求解出正四棱台的外接球的表面积，即可判断出选项C；根据圆台和棱台的体积公式，再结合已知条件，从而得出的值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：，将代入可得，
，将，代入，求得
故填：.
【分析】由条件概率和和事件的概率公式即可得出答案.
13．【答案】和
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为为奇函数，
则，得出，
因为，则，
设切点，则切线方程为，
又因为切线过点，代入得，
解得或，
当时，切点为，切线方程为；
当时，切点为，切线方程为．
故答案为：和.
【分析】由奇函数的定义求出a的值，从而得出函数的解析式，再设出切点坐标，由导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式得设出切线方程，由切线过点，从而代入得出切点坐标，再分类讨论，进而得出切线方程．
14．【答案】21
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数学归纳法的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，.
所以，同理可得，，，
由数学归纳的思想可知，，
设数列，则该数列以6为首项，为公比的等比数列，
所以，
因此，
又因为当时，，
所以若与正整数恒满足不等式，则的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】由题意结合图形，再通过数学归纳法和等比数列的定义，从而判断出数列是以6为首项，为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式和数列求极限的方法，从而得出K的最小值.
15．【答案】（1）解：因为，，为的内角，所以，
因为，
所以可化为，
即，即，
因为，解得：，即．
（2）解：由三角形面积公式得，，
代入得：，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角形中角的取值范围和三角形内角和定理以及诱导公式、二倍角的余弦公式，从而由辅助角公式和不等式的基本性质，进而得出角A的大小.
(2)利用三角形的面积公式和已知条件，从而得出a，c的关系式，利用余弦定理得出满足要求的c的值，从而得出a的值，再利用三角形周长公式得出三角形的周长．
16．【答案】（1）解：由题意得，解得： ，，
因为数列公差为，数列公比为，所以， .
（2）证明：由（1）得： ，
，
易知在上单调递增，故当时，取最小值，
又因为恒成立，所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式以及已知条件，从而得出等差数列的公差和等比数列的公比，再由等差数列、等比数列的通项公式得出数列、的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式和裂项相消法，从而求出数列的前n项和，再结合函数的单调性，从而得出函数的最小值，再由恒成立问题求解方法证出不等式成立.
（1）由题意得，解得： ，
因为数列是公差为，数列是公比为，所以， ；
（2）由（1）得：
易知在上单调递增，故当时，取最小值，
又恒成立，所以.
17．【答案】（1）证明：由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称.
（2）解：由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由（1）知函数是奇函数，则
又因为，即，
所以，，
解得，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再根奇函数的对称中心，即可判断出函数的对称中心.
（2）由复合函数的单调性结合（1）知函数为奇函数，再根据奇函数的定义和，从而得出，再利用函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称.
（2）由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由（1）知函数是奇函数，
又，即，
所以，，
解得，所以实数的取值范围为.
18．【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
则函数的最大值为；
（2）解：因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，所以；
当时，则，
设，则，
可知在单调递增，且，
则，使得，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数研究函数单调性，求最值即可；
（2）根据题意，则在恒成立，分离参数转化成在恒成立问题，设，对函数设求导，分析函数单调性，进而求解函数最值，即可求解参数取值范围.
（1）因为，
可知的定义域为，且，
由，解得；由，解得．
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以函数的最大值为．
（2）因为在恒成立，
等价于在恒成立．
设，，
则，
当时，则，且，可得，
所以；
当时，则，
设，则，
可知在递增，且．
则，使得．
当时，；当时，．
当时，；当时，．
可知函数在递增，在递减，在递增．
由，得，且．
可得，
且，则，
又因为，可知当时，，
所以的取值范围是．
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