上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·上海市期中）集合且的真子集的个数是 ．
2．（2024高三上·上海市期中）函数的定义域是 ．
3．（2024高三上·上海市期中）若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ．
4．（2024高三上·上海市期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 .
5．（2024高三上·上海市期中）已知平面向量，满足，则 .
6．（2024高三上·上海市期中）已知数列为等比数列，，，则 .
7．（2024高三上·上海市期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
8．（2024高三上·上海市期中）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了 %.（参考数值）
9．（2024高三上·上海市期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
10．（2024高三上·上海市期中）数列满足：为正整数，，若，则 .
11．（2024高三上·上海市期中）已知函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
12．（2024高三上·上海市期中）对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 .
13．（2024高三上·上海市期中）a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ）
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
14．（2024高三上·上海市期中）下列四个命题：
①若，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2024高三上·上海市期中）已知函数，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到；
丙：该函数在区间上单调递增；
丁：该函数满足．
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
16．（2024高三上·上海市期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．
17．（2024高三上·上海市期中）如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值.
18．（2024高三上·上海市期中）已知数列的前项和为，满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求的最小值.
19．（2024高三上·上海市期中）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．
（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
20．（2024高三上·上海市期中）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，求函数的极值；
（3）若在区间上无零点，求的取值范围.
21．（2024高三上·上海市期中）的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的.
（1）请写出一个是连续的函数（不必说明理由）；
（2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的；
（3）当时，（，），且是连续的，求，的值.
答案解析部分
1．【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意知，，集合A含有4个元素，则集合A真子集的个数是.
故答案为：15.
【分析】由题意可得集合，根据元素个数与真子集的个数关系求解即可.
2．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，列式求解即可.
3．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的弧长公式求解即可.
4．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，，所以，解得，
又因为，所以，则复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式求解即可.
5．【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
解得.
故答案为：2.
【分析】根据已知条件和数量积求模公式以及数量积的运算法则，从而得出的值.
6．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列为等比数列，，，，解得，
故
故答案为：．
【分析】由数列为等比数列，结合已知数据，可求得，即可求.
7．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若，则，这是一个一次函数，斜率为，
在上不是单调递增的，故，
若，函数是一个二次函数，其对称轴为，
因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则，
同时必须在区间的左侧或者和重合，所以，解之可得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：。
【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，确定的取值范围即可.
8．【答案】10
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：将信噪比从1000提升至2000时，
大约增加了
，
则大约增加了．
故答案为：10．
【分析】将信噪比从1000提升至2000时，大约增加了，利用对数的运算法则计算即可.
9．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，则实数的最小值是.
故答案为：.
【分析】先根据的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，求解即可.
10．【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，，
易知，则数列是周期为的周期数列，
故.
故答案为：.
【分析】由题意，利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，再利用数列的周期性求解即可.
11．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
所以
当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
所以
当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
由双勾函数性质易知：函数 在 上单调递减，在 上单调递增
所以
函数 在 单调递增，所以
所以
综上所述：
故答案为： .
【分析】利用分类讨论的方法结合绝对值不等式的求解方法，即零点分段法，将不等式 在 上恒成立转化为 在 上恒成立，用绝对值不等式恒成立问题的求解方法，借助双勾函数性质易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，从而求出函数 的最小值，再利用函数的单调性求出此函数的最大值，进而求出实数 的取值范围。
12．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量与的夹角为，由题意可知则
因为 所以，
因为所以，
因为是整数，所以所以
而即所以
因为
所以即
故的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据新定义结合向量夹角的运算性质求解即可.
13．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；
ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；
，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；
，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件.
故答案为：D
【分析】 ，ab＝0是非充分非必要条件； 是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件； ，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解.
14．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：①、因为，所以，故①正确；
②、因为，所以，又因为，所以，则，不能比较之间的大小关系，故②不正确；
③、取，，，，满足，，但是，故③不正确；
④、因为，，所以，，所以，则，故④正确.
综上可知：①④正确.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项分析判断即可.
15．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，即；
乙：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象；
令，故，
丙：函数在区间上单调递增；
丁：函数满足，即函数图象关于点中心对称.
由于只有乙条件最具体，所以从乙入手，
若乙正确，此时函数的单调递增区间为，与丙的结论矛盾，
所以这个唯一的假命题只能是乙或丙，
若乙为真命题，则，令，，可得，，所以是该函数的对称中心，所以甲、丁为真命题，丙为假命题；
若丙为真命题，则甲、丙、丁三个命题为真，由函数图象关于点中心对称，且，
可知在点左侧且距离最近的图象的对称轴为，
又，所以函数在区间不单调，与丙为真命题矛盾，不成立，
综上所述，甲、乙、丁为真命题，丙为假命题，
故答案为：C.
【分析】分别分析化简四人的结论，假设乙是真命题，可得乙与丙矛盾，所以乙、丙中有一个假命题，分情况讨论判断即可.
16．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：A、因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
又因为的定义域为，所以，故A正确；
BCD、因为函数是偶函数，所以，
则函数的图象关于直线对称；
取，则，满足上述函数要求，此时，故B错误；
不为奇函数，故C错误；
，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知函数的图象关于点对称即可判断A；再分析得的图象关于直线对称，从而举反例逐项分析即可判断BCD.
17．【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，，
得到，，
设直线与所成角为，则，
所以直线与所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，最后根据线面垂直的判断定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线线角即可.
（1）由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，
设直线与所成角为，则，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．【答案】解：（1）因为，即，所以，
所以，
显然，即，
所以，而，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，，
则，
由，即，
因为，所以，
所以时，的最小值为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依题意可得，化简得根据等比数列的概念证明即可；
（2）由（1）得，利用分组求和法求得，进而得到，求的最小值即可.
19．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，
，则，
所以线段的长度为3千米．
（2）解：设，因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以，当时，即时，取到最大值6，
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦定理得出线段MN的长度.
（2）设，再利用得出，由正弦定理得出，，再根据两角差的正弦公式和辅助角的公式，可得，由和不等式的基本性质，则由正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出两条观光线路与之和的最大值．
（1）在中，由余弦定理得，
，得，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，
所以，在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值6．
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
20．【答案】（1）解：函数定义域为，求导可得，
因为，所以，解得；
（2）解：由（1）知，又，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以有极小值，为，没有极大值；
（3）解：令，得，
因为在区间上无零点，所以在上无解，
令，则与的图象没有交点，
而，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，，则恒成立，
所以，则在上的大致图象如下，
数形结合可得或，
所以或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，代入求解即可；
（2）由（1）的结论，利用导数与函数极值的关系直接求解即可；
（3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合求解即可.
（1）因为，所以，
又，所以，解得.
（2）由（1）知，又，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以有极小值，为，没有极大值.
（3）令，得，
因为在区间上无零点，所以在上无解，
令，则与的图象没有交点，
而，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，，则恒成立，
所以，则在上的大致图象如下，
数形结合可得或，
所以或.
21．【答案】（1）解：可以取，因为对于任意，当，即时，；
（2）证明：因为是连续的，由定义可得对任意，
当时，有，
所以，
且，
所以，
所以，
即是连续的，
可得，
两式相减可得，
即是连续的；
（3）解：已知是连续的，
则由（2）可得是连续的，
进一步有，，是连续的.
由已知时，，
若时，，
则，不满足.
又对任意，当时，有，
因为是连续的，所以，
又，所以，
所以，
即对任意，当时，都有，
故是连续的．
由上述分析可得，
则当，，其中，
有，
所以恒成立．
设，对称轴为.
当时，，不等式恒成立，满足题意；
当时，由恒成立，，
则，即，则．
由，且，则或，
所以与时，都满足题意；
综上所述，或或.
【知识点】函数的表示方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“{1}连续”的定义，只要写出一个满足条件的函数即可；
（2）要证明是连续且是连续的，需要根据“连续”的定义，通过合理的变量代换和推导证明即可；
（3）根据前面的定义以及已知条件，结合函数表达式，通过分析取值范围来确定，的值即可.
（1）可以取.因为对于任意，当，即时，.
（2）因为是连续的，由定义可得对任意，
当时，有，
所以有
，
且，
所以，
所以，
即是连续的，
可得，
两式相减可得，
即是连续的.
（3）已知是连续的，
则由（2）可得是连续的，
进一步有，，是连续的.
由已知时，，
若时，，
则，不满足.
又对任意，当时，有，
因为是连续的，所以，
又，所以，
所以，
即对任意，当时，都有，
故是连续的．
由上述分析可得，
则当，，其中，
有，
所以恒成立．
设，对称轴为.
当时，，不等式恒成立，满足题意；
当时，由恒成立，，
则，即，则．
由，且，则或，
所以与时，都满足题意；
综上所述，或或.
1 / 1上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·上海市期中）集合且的真子集的个数是 ．
【答案】15
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意知，，集合A含有4个元素，则集合A真子集的个数是.
故答案为：15.
【分析】由题意可得集合，根据元素个数与真子集的个数关系求解即可.
2．（2024高三上·上海市期中）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
则函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据对数函数有意义，列式求解即可.
3．（2024高三上·上海市期中）若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】由题意，根据扇形的弧长公式求解即可.
4．（2024高三上·上海市期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，，所以，解得，
又因为，所以，则复数的虚部为.
故答案为：.
【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式求解即可.
5．（2024高三上·上海市期中）已知平面向量，满足，则 .
【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
解得.
故答案为：2.
【分析】根据已知条件和数量积求模公式以及数量积的运算法则，从而得出的值.
6．（2024高三上·上海市期中）已知数列为等比数列，，，则 .
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列为等比数列，，，，解得，
故
故答案为：．
【分析】由数列为等比数列，结合已知数据，可求得，即可求.
7．（2024高三上·上海市期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：若，则，这是一个一次函数，斜率为，
在上不是单调递增的，故，
若，函数是一个二次函数，其对称轴为，
因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则，
同时必须在区间的左侧或者和重合，所以，解之可得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：。
【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，确定的取值范围即可.
8．（2024高三上·上海市期中）5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W 信道内信号的平均功率S 信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了 %.（参考数值）
【答案】10
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：将信噪比从1000提升至2000时，
大约增加了
，
则大约增加了．
故答案为：10．
【分析】将信噪比从1000提升至2000时，大约增加了，利用对数的运算法则计算即可.
9．（2024高三上·上海市期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 .
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为函数在区间上存在最小值，
所以，解得，则实数的最小值是.
故答案为：.
【分析】先根据的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，求解即可.
10．（2024高三上·上海市期中）数列满足：为正整数，，若，则 .
【答案】
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，，，
易知，则数列是周期为的周期数列，
故.
故答案为：.
【分析】由题意，利用递推关系式可推得数列是周期为的周期数列，再利用数列的周期性求解即可.
11．（2024高三上·上海市期中）已知函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
所以
当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
所以
当 时， ，
则不等式
所以 在 上恒成立
由双勾函数性质易知：函数 在 上单调递减，在 上单调递增
所以
函数 在 单调递增，所以
所以
综上所述：
故答案为： .
【分析】利用分类讨论的方法结合绝对值不等式的求解方法，即零点分段法，将不等式 在 上恒成立转化为 在 上恒成立，用绝对值不等式恒成立问题的求解方法，借助双勾函数性质易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，从而求出函数 的最小值，再利用函数的单调性求出此函数的最大值，进而求出实数 的取值范围。
12．（2024高三上·上海市期中）对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：设向量与的夹角为，由题意可知则
因为 所以，
因为所以，
因为是整数，所以所以
而即所以
因为
所以即
故的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据新定义结合向量夹角的运算性质求解即可.
13．（2024高三上·上海市期中）a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ）
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】 ，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；
ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；
，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；
，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件.
故答案为：D
【分析】 ，ab＝0是非充分非必要条件； 是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件； ，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解.
14．（2024高三上·上海市期中）下列四个命题：
①若，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：①、因为，所以，故①正确；
②、因为，所以，又因为，所以，则，不能比较之间的大小关系，故②不正确；
③、取，，，，满足，，但是，故③不正确；
④、因为，，所以，，所以，则，故④正确.
综上可知：①④正确.
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质逐项分析判断即可.
15．（2024高三上·上海市期中）已知函数，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到；
丙：该函数在区间上单调递增；
丁：该函数满足．
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【解答】解：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，即；
乙：将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象；
令，故，
丙：函数在区间上单调递增；
丁：函数满足，即函数图象关于点中心对称.
由于只有乙条件最具体，所以从乙入手，
若乙正确，此时函数的单调递增区间为，与丙的结论矛盾，
所以这个唯一的假命题只能是乙或丙，
若乙为真命题，则，令，，可得，，所以是该函数的对称中心，所以甲、丁为真命题，丙为假命题；
若丙为真命题，则甲、丙、丁三个命题为真，由函数图象关于点中心对称，且，
可知在点左侧且距离最近的图象的对称轴为，
又，所以函数在区间不单调，与丙为真命题矛盾，不成立，
综上所述，甲、乙、丁为真命题，丙为假命题，
故答案为：C.
【分析】分别分析化简四人的结论，假设乙是真命题，可得乙与丙矛盾，所以乙、丙中有一个假命题，分情况讨论判断即可.
16．（2024高三上·上海市期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A． B．
C．函数是奇函数 D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】解：A、因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
又因为的定义域为，所以，故A正确；
BCD、因为函数是偶函数，所以，
则函数的图象关于直线对称；
取，则，满足上述函数要求，此时，故B错误；
不为奇函数，故C错误；
，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知函数的图象关于点对称即可判断A；再分析得的图象关于直线对称，从而举反例逐项分析即可判断BCD.
17．（2024高三上·上海市期中）如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，，
得到，，
设直线与所成角为，则，
所以直线与所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，最后根据线面垂直的判断定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线线角即可.
（1）由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，
设直线与所成角为，则，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．（2024高三上·上海市期中）已知数列的前项和为，满足，.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求的最小值.
【答案】解：（1）因为，即，所以，
所以，
显然，即，
所以，而，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，，
则，
由，即，
因为，所以，
所以时，的最小值为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）依题意可得，化简得根据等比数列的概念证明即可；
（2）由（1）得，利用分组求和法求得，进而得到，求的最小值即可.
19．（2024高三上·上海市期中）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．
（1）求线段的长度；
（2）若，求两条观光线路与之和的最大值．
【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，
，则，
所以线段的长度为3千米．
（2）解：设，因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以，当时，即时，取到最大值6，
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，根据余弦定理得出线段MN的长度.
（2）设，再利用得出，由正弦定理得出，，再根据两角差的正弦公式和辅助角的公式，可得，由和不等式的基本性质，则由正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出两条观光线路与之和的最大值．
（1）在中，由余弦定理得，
，得，
所以线段的长度为3千米．
（2）设，因为，
所以，在中，由正弦定理得，
，
所以，，
因此
因为，所以．
所以当，即时，取到最大值6．
所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．
20．（2024高三上·上海市期中）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，求函数的极值；
（3）若在区间上无零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，求导可得，
因为，所以，解得；
（2）解：由（1）知，又，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以有极小值，为，没有极大值；
（3）解：令，得，
因为在区间上无零点，所以在上无解，
令，则与的图象没有交点，
而，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，，则恒成立，
所以，则在上的大致图象如下，
数形结合可得或，
所以或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，代入求解即可；
（2）由（1）的结论，利用导数与函数极值的关系直接求解即可；
（3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合求解即可.
（1）因为，所以，
又，所以，解得.
（2）由（1）知，又，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以有极小值，为，没有极大值.
（3）令，得，
因为在区间上无零点，所以在上无解，
令，则与的图象没有交点，
而，，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又当时，，则恒成立，
所以，则在上的大致图象如下，
数形结合可得或，
所以或.
21．（2024高三上·上海市期中）的定义域为，若满足对任意，，当时，都有，则称是连续的.
（1）请写出一个是连续的函数（不必说明理由）；
（2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的；
（3）当时，（，），且是连续的，求，的值.
【答案】（1）解：可以取，因为对于任意，当，即时，；
（2）证明：因为是连续的，由定义可得对任意，
当时，有，
所以，
且，
所以，
所以，
即是连续的，
可得，
两式相减可得，
即是连续的；
（3）解：已知是连续的，
则由（2）可得是连续的，
进一步有，，是连续的.
由已知时，，
若时，，
则，不满足.
又对任意，当时，有，
因为是连续的，所以，
又，所以，
所以，
即对任意，当时，都有，
故是连续的．
由上述分析可得，
则当，，其中，
有，
所以恒成立．
设，对称轴为.
当时，，不等式恒成立，满足题意；
当时，由恒成立，，
则，即，则．
由，且，则或，
所以与时，都满足题意；
综上所述，或或.
【知识点】函数的表示方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“{1}连续”的定义，只要写出一个满足条件的函数即可；
（2）要证明是连续且是连续的，需要根据“连续”的定义，通过合理的变量代换和推导证明即可；
（3）根据前面的定义以及已知条件，结合函数表达式，通过分析取值范围来确定，的值即可.
（1）可以取.因为对于任意，当，即时，.
（2）因为是连续的，由定义可得对任意，
当时，有，
所以有
，
且，
所以，
所以，
即是连续的，
可得，
两式相减可得，
即是连续的.
（3）已知是连续的，
则由（2）可得是连续的，
进一步有，，是连续的.
由已知时，，
若时，，
则，不满足.
又对任意，当时，有，
因为是连续的，所以，
又，所以，
所以，
即对任意，当时，都有，
故是连续的．
由上述分析可得，
则当，，其中，
有，
所以恒成立．
设，对称轴为.
当时，，不等式恒成立，满足题意；
当时，由恒成立，，
则，即，则．
由，且，则或，
所以与时，都满足题意；
综上所述，或或.
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