湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
1．（2024高三上·湖北期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高三上·湖北期中）已知，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，因为
所以，则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合余弦的两角和公式以及同角三角函数基本关系求值即可.
3．（2024高三上·湖北期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由，可得或，
则能得到，但无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质化简，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高三上·湖北期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为在上均单调递减，
则在上单调递减，
对A，可得.
因为幂函数在上单调递增，所以，
且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故A错误；
对B，因为在上单调递减，
则，则，且函数在上连续不间断，
故在上存在零点，故B正确；
对C，因为，且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故C错误；
对D，计算，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；
故选：B.
【分析】通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点.
5．（2024高三上·湖北期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 点，分别为，边上的中点 ，所以，而，
则
故答案为：D.
【分析】由题意，利用向量加法及数乘向量运算求解即可.
6．（2024高三上·湖北期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，设球的半径为，
则，
所以，由题可得，
又因为，
故
，
所以，即该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B.
【分析】利用数形结合，求得，进而根据已知条件得出，再利用和同角三角函数基本关系式、两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式，从而得出球的半径，进而得出球的直径，则得出该球体建筑物的高度.
7．（2024高三上·湖北期中）已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列与三角函数的综合；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，则或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由题意，令求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.
8．（2024高三上·湖北期中）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，故
，函数的对称中心为，
函数往左平移2个单位得到函数，
故函数的对称中心为，所以，
取可得，，
A、在区间上单调递减，故，
且，所以，故A错误：
B、在区间上单调递减，对称中心为，
故，且在区间上单调递减，
则，，故B错误；
C、结合在区间上单调递减，
故，故C正确：
D、因为，
取可得，又，所以，
所以，
因为函数的对称中心为，故，所以，
因为，
故，
且，，即，
结合在区间上单调递减，故，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由条件证明，函数的对称中心为，结合单调性证明，再证明即可判断A；结合对称性可得，结合单调性可得即可判断B；结合性质，可得，再由单调性比较大小即可判断C；由条件可得，，再结合单调性比较大小即可判断D.
9．（2024高三上·湖北期中）设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（ ）
A．与互为共轭复数 B．点在第二象限
C．复数的虚部是 D．
【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点，
A、，，它们实部不同，不是共轭复数，故A错误；
B、，则点在第二象限，故B正确；
C、，，，
其虚部是，故C正确；
D、，，，在同一个圆上，
设圆的方程为，
将代入方程得，即①，
将代入方程得，即②，
将代入方程得，即③，
用②-①可得：
即解得，
将代入①和③，①变为，③变为，
用③-①可得：，解得，
将代入，可得，
所以圆的方程为，
将代入，得到，即，
，解得，
，，
则，即，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数先求复数在复平面内对应点的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念即可判断ABC；根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识即可判断D.
10．（2024高三上·湖北期中）已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，得，因此，故A正确；
B、由，得，当且仅当时取等号，故B正确；
C、取，满足，而，故C错误；
D、由，得，则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由变形即可判断A；利用基本不等式即可判断B；举例说明即可判断C；作差与0比较大小即可判断D.
11．（2024高三上·湖北期中）已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为不等式对任意都成立 ，所以函数的图象恒在的图象及上方，
作函数和的图象，如图所示：
当时，如上左图所示，观察图知在上不恒成立，不合题意；
当时，如上右图所示，观察图知，当且仅当，成立时，
恒成立，
即当时，，令，，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故实数的取值范围是.
故答案为：AC.
【分析】根据给定条件，按分类作出函数和的图象，结合图象可得当，，成立时，恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可.
12．（2024高三上·湖北期中）已知函数的最小正周期是，则的值为 .
【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数
，
因为最小正周期为，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】利用诱导公式化简，结合正弦二倍角、周期公式计算即可.
13．（2024高三上·湖北期中）已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，为单位向量，所以，，
又因为，所以，所以，
所以，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，结合向量的数量积运算律可求，再求，，根据向量夹角公式求解即可.
14．（2024高三上·湖北期中）设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：易知，则，
由数列为等差数列，得，
且是的一次式，
对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立，
即，解得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的求和公式求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即可.
15．（2024高三上·湖北期中）记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，；
（2）解：由（1）知，，又，则
因此，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差，由已知条件列出方程求出，再利用等差数列前项和公式求解即可；
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，又，则
因此，
所以.
16．（2024高三上·湖北期中）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求
【答案】（1）解：在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积；
（2）解：由正弦定理，得，
则，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，结合正三角形面积可得，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即可；
（2）由（1）中结论，利用正弦定理求得即可得b的值.
（1）在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积.
（2）由正弦定理，得，
则，所以.
17．（2024高三上·湖北期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值.
【答案】（1）解：由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是；
（2）解：由（1）及已知，得，，
令，
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出，求出，利用正弦函数的性质求范围即可；
（2）利用（1）结论，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即可.
（1）由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是.
（2）由（1）及已知，得，，
令
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
18．（2024高三上·湖北期中）已知为函数的极小值点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对，，使得，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以；
（2）解：由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导得导函数，由求出并验证即可；
（2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，借助导数讨论值求解即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
19．（2024高三上·湖北期中）已知正实数构成的集合
（1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
（2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质；
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质；
（2）解：不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）①根据定义写出中的所有元素，判断即可；
②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出中的元素个数判断即可；
（2）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值求解即可.
（1）①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质.
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质.
（2）不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.
1 / 1湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
1．（2024高三上·湖北期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·湖北期中）已知，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024高三上·湖北期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·湖北期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·湖北期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三上·湖北期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·湖北期中）已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·湖北期中）已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·湖北期中）设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（ ）
A．与互为共轭复数 B．点在第二象限
C．复数的虚部是 D．
10．（2024高三上·湖北期中）已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·湖北期中）已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高三上·湖北期中）已知函数的最小正周期是，则的值为 .
13．（2024高三上·湖北期中）已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为 .
14．（2024高三上·湖北期中）设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 .
15．（2024高三上·湖北期中）记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
16．（2024高三上·湖北期中）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求
17．（2024高三上·湖北期中）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值.
18．（2024高三上·湖北期中）已知为函数的极小值点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对，，使得，求的取值范围.
19．（2024高三上·湖北期中）已知正实数构成的集合
（1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
（2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得，则集合，
因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得，因为
所以，则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合余弦的两角和公式以及同角三角函数基本关系求值即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由，可得或，
则能得到，但无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质化简，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为在上均单调递减，
则在上单调递减，
对A，可得.
因为幂函数在上单调递增，所以，
且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故A错误；
对B，因为在上单调递减，
则，则，且函数在上连续不间断，
故在上存在零点，故B正确；
对C，因为，且函数在上连续不间断，
则在上无零点，故C错误；
对D，计算，
且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误；
故选：B.
【分析】通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为 点，分别为，边上的中点 ，所以，而，
则
故答案为：D.
【分析】由题意，利用向量加法及数乘向量运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图，设球的半径为，
则，
所以，由题可得，
又因为，
故
，
所以，即该球体建筑物的高度约为.
故答案为：B.
【分析】利用数形结合，求得，进而根据已知条件得出，再利用和同角三角函数基本关系式、两角和的余弦公式、二倍角的正弦公式，从而得出球的半径，进而得出球的直径，则得出该球体建筑物的高度.
7．【答案】B
【知识点】数列与三角函数的综合；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，则或，
解得或，
所以，，，，…，，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由题意，令求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可.
8．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，故
，函数的对称中心为，
函数往左平移2个单位得到函数，
故函数的对称中心为，所以，
取可得，，
A、在区间上单调递减，故，
且，所以，故A错误：
B、在区间上单调递减，对称中心为，
故，且在区间上单调递减，
则，，故B错误；
C、结合在区间上单调递减，
故，故C正确：
D、因为，
取可得，又，所以，
所以，
因为函数的对称中心为，故，所以，
因为，
故，
且，，即，
结合在区间上单调递减，故，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由条件证明，函数的对称中心为，结合单调性证明，再证明即可判断A；结合对称性可得，结合单调性可得即可判断B；结合性质，可得，再由单调性比较大小即可判断C；由条件可得，，再结合单调性比较大小即可判断D.
9．【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点；
复数，在复平面内对应点，
A、，，它们实部不同，不是共轭复数，故A错误；
B、，则点在第二象限，故B正确；
C、，，，
其虚部是，故C正确；
D、，，，在同一个圆上，
设圆的方程为，
将代入方程得，即①，
将代入方程得，即②，
将代入方程得，即③，
用②-①可得：
即解得，
将代入①和③，①变为，③变为，
用③-①可得：，解得，
将代入，可得，
所以圆的方程为，
将代入，得到，即，
，解得，
，，
则，即，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据复数先求复数在复平面内对应点的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念即可判断ABC；根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由，得，因此，故A正确；
B、由，得，当且仅当时取等号，故B正确；
C、取，满足，而，故C错误；
D、由，得，则
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由变形即可判断A；利用基本不等式即可判断B；举例说明即可判断C；作差与0比较大小即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为不等式对任意都成立 ，所以函数的图象恒在的图象及上方，
作函数和的图象，如图所示：
当时，如上左图所示，观察图知在上不恒成立，不合题意；
当时，如上右图所示，观察图知，当且仅当，成立时，
恒成立，
即当时，，令，，求导得，
当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故实数的取值范围是.
故答案为：AC.
【分析】根据给定条件，按分类作出函数和的图象，结合图象可得当，，成立时，恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可.
12．【答案】2
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：函数
，
因为最小正周期为，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】利用诱导公式化简，结合正弦二倍角、周期公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，为单位向量，所以，，
又因为，所以，所以，
所以，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
【分析】由题意，结合向量的数量积运算律可求，再求，，根据向量夹角公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：易知，则，
由数列为等差数列，得，
且是的一次式，
对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立，
即，解得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据等差数列的求和公式求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，；
（2）解：由（1）知，，又，则
因此，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差，由已知条件列出方程求出，再利用等差数列前项和公式求解即可；
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即可.
（1）设等差数列的公差为，则，
由，得，即，解得，
所以，.
（2）由（1）知，，又，则
因此，
所以.
16．【答案】（1）解：在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积；
（2）解：由正弦定理，得，
则，所以.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，结合正三角形面积可得，再利用余弦定理及三角形面积公式计算即可；
（2）由（1）中结论，利用正弦定理求得即可得b的值.
（1）在中，依题意，，，，
则，即，
由余弦定理得，整理得，，由，
得，则，
所以的面积.
（2）由正弦定理，得，
则，所以.
17．【答案】（1）解：由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是；
（2）解：由（1）及已知，得，，
令，
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出，求出，利用正弦函数的性质求范围即可；
（2）利用（1）结论，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即可.
（1）由三角函数定义，得，，
，
由，得，则，
因此，的取值范围是.
（2）由（1）及已知，得，，
令
，，
①当时，在上单调递减，，则；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
，不符合题意；
③当时，在单调递增，，则，
所以或.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以；
（2）解：由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导得导函数，由求出并验证即可；
（2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，借助导数讨论值求解即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极小值点，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
因此为函数的极大值点，不符合题意，
所以.
（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，
①当时，对，，使得，
因此，符合题意，则；
②当时，，取，对，有，不符合题意；
③当时，函数，求导得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，则，
若对，，使得，只需，即，解得，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质；
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质；
（2）解：不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）①根据定义写出中的所有元素，判断即可；
②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出中的元素个数判断即可；
（2）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值求解即可.
（1）①集合不具有性质，集合具有性质：
，中元素个数不具有性质；
，中元素个数具有性质.
②若集合具有性质，设，
假设当时有成立，则有，
等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立，
因此中元素个数，所以集合具有性质.
（2）不妨设，
则在集合中，，
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，于是，
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，
当时，，即成等差数列，且公差也为，
则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或，
（i）若第四项为，则，从而，
于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾；
（ii）若第四项为，则，有，
而，即，于是，
因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则，
取，，则集合A具有性质，
所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.
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