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浙教版2024～2025学年度八年级上学期期末易错题专项复习
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】 2
【考点2 三角形的面积】 3
【考点3 三角形的稳定性】 4
【考点4 三角形的三边关系】 4
【考点5 三角形的内角和定理】 5
【考点6 三角形的外角性质】 6
【考点7 全等三角形的性质】 8
【考点8 全等三角形的判定】 9
【考点9 全等三角形的应用】 11
【考点10 垂直平分线的判定与性质】 12
【考点11 角平分线的性质与判定】 12
【考点12 画轴对称图形】 14
【考点13 等腰三角形的判定】 14
【考点14 等腰三角形的性质】 16
【考点15 等边三角形的判定】 17
【考点16 等边三角形的性质】 18
【考点17 含30°角的直角三角形】 20
【考点18 最短路径问题】 21
【考点19 勾股定理】 21
【考点20 勾股定理的逆定理】 22
【考点21 勾股定理的应用】 23
【考点22 不等式的基本性质】 25
【考点23一元一次不等式的解】 25
【考点24 一元一次不等式组的解法】 26
【考点25 一元一次不等式（组）的应用】 26
【考点26 平面直角坐标系】 28
【考点27 函数的表示方法】 28
【考点28 一次函数的图象与性质】 30
【考点29一次函数与方程】 31
【考点30 一次函数与不等式】 32
【考点31 一次函数的应用】 33
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】
1．（23－24八年级·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24－25八年级·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（23－24八年级·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的中线
C．是的边上的高 D．是的角平分线
4．（24－25八年级·全国·期末）如图，在中，，分别是，边上的中线，若，，且的周长为32，求的长．
【考点2 三角形的面积】
5．（23－24八年级·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较
6．（23－24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（23－24八年级·重庆渝中·期末）如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2．
【考点3 三角形的稳定性】
8．（23－24八年级·湖北·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
9．（23－24八年级·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ．
【考点4 三角形的三边关系】
10．（24－25八年级·河北保定·期中）用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
11．（24－25八年级·吉林长春·期末）找出下列各组线段为边不能组成三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，7，10 C．9，9，9 D．3，4，5
12．（24－25八年级·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（23－24八年级·安徽马鞍山·期末）已知，，为的三边长，则（ ）
A． B． C． D．
14．（23－24八年级·陕西榆林·期末）初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”）
【考点5 三角形的内角和定理】
15．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
16．（23－24八年级·北京昌平·期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
17．（24－25八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，求（ ）（用和来表示）
A． B． C． D．
18．（23－24八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
19．（24－25八年级·甘肃定西·期末）已知中，，那么中最大角的度数为 ．
【考点6 三角形的外角性质】
20．（23－24八年级·四川凉山·期末）如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
22．（23－24八年级·四川德阳·期末）如图，一副直角三角板中，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．
23．（23－24八年级·贵州遵义·期末）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ．
24．（2024·广西贵港·三模）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ．
25．（23－24八年级·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上．
(1)若，求的度数；
(2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长．
26．（23－24八年级·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
(1)当时，求的度数；
(2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数；
(3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
【考点7 全等三角形的性质】
27．（24－25八年级·四川南充·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
28．（24－25八年级·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（ ）
A．7 B．5 C．12 D．6
29．（24－25八年级·河北张家口·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
30．（23－24八年级·河南安阳·期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．
【考点8 全等三角形的判定】
31．（23－24八年级·四川遂宁·期末）如图，下列条件中，不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
32．（23－24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
33．（24－25八年级·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ．
34．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ．
35．（24－25八年级·江苏南京·期中）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接．
(1)如图①，点D在线段上，求证：．
(2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
36．（23－24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【考点9 全等三角形的应用】
37．（23－24八年级·山西吕梁·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
38．（23－24八年级·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【考点10 垂直平分线的判定与性质】
39．（24－25八年级·江苏苏州·阶段练习）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
40．（24－25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ．
41．（23－24八年级·湖北孝感·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ．
(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长．
【考点11 角平分线的性质与判定】
42．（24－25八年级·辽宁大连·期末）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（ ）
A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点
B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点
D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
43．（24－25八年级·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
44．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ．
45．（23－24八年级·河北石家庄·期末）如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
46．（24－25八年级·全国·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【考点12 画轴对称图形】
47．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．
48．（23－24八年级·安徽·期末）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ．
49．（24－25八年级·全国·期末）在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出关于y轴对称的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)点的坐标是 ；点的坐标是 ．
【考点13 等腰三角形的判定】
50．（23－24八年级·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
51．（23－24八年级·福建宁德·期末）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
52．（23－24八年级·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．
53．（24－25八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
54．（23－24八年级·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由．
【考点14 等腰三角形的性质】
55．（23－24八年级·北京西城·期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
56．（23－24八年级·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
57．（23－24八年级·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
58．（23－24八年级·北京·期末）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．
59．（23－24八年级·吉林·期末）如图，点C在线段上，，，，平分．求证：．
60．（23－24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
61．（23－24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且．
(1) °；
(2)求证：；
(3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由．
【考点15 等边三角形的判定】
62．（23－24八年级·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
63．（23－24八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
64．（23－24八年级·福建三明·期中）若，，请添加一个条件使是等边三角形 ．（写出一个即可）
65.（23－24八年级·全国·单元测试）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【考点16 等边三角形的性质】
66．（24－25八年级·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
67．（24－25八年级·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ．
68．（24－25八年级·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若的边长为1，求的周长．
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
69．（23－24八年级·江苏扬州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，，
(1)求的度数；
(2)求长．
【考点17 含30°角的直角三角形】
70．（24－25八年级·全国·期末）在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
71．（24－25八年级·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
72．（24－25八年级·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．
【考点18 最短路径问题】
73．（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
74．（23－24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
75．（23－24八年级·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【考点19 勾股定理】
76．（24－25八年级·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（ ）.
A．14 B．18 C．30 D．24
77．（23－24八年级·江苏淮安·期末）如图，在和中，，点在上．若，，，则 ．
78．（23－24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ．
【考点20 勾股定理的逆定理】
79．（23－24八年级·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
80．（23－24八年级·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ．
81．（23－24八年级·湖北十堰·期末）如图，中，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则线段的长度为 ．
82．（23－24八年级·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ．
83．（23－24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
【考点21 勾股定理的应用】
84．（24－25八年级·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
85．（24－25八年级·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（ ）
A．8 B．6 C．10 D．15
86．（23－24八年级·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ．
87．（23－24八年级·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
88．（23－24八年级·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【考点22 不等式的基本性质】
89．（23－24八年级·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
90．（23－24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果关于的不等式解集为，则的取值范围是 ．
91．（23－24八年级·吉林长春·期末）如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．
【考点23一元一次不等式的解】
92．（23－24八年级·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
93．（23－24八年级·广西贵港·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
94．（23－24八年级·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ．
95．（23－24八年级·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
【考点24 一元一次不等式组的解法】
96．（23－24八年级·山东济南·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
97．（23－24八年级·山西大同·期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
98．（23－24八年级·全国·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
99．（23－24八年级·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ．
100．（23－24八年级·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【考点25 一元一次不等式（组）的应用】
101．（23－24八年级·湖北武汉·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验；在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出． 根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围是（ ）
A． B． C． D．
102．（23－24八年级·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
103．（23－24八年级·云南德宏·期末）在第55个“世界地球日”来临之际，为贯彻落实习近平总书记在党的二十大报告中提出推动绿色发展、促进人与自然和谐共生，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某省生态文明促进联合会计划组织大学生进行环保知识竞赛．已知竞赛试题共有30道，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分．小陈得分要超过100分，他答对的题数至少是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
104．（23－24八年级·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为 ．
105．（24－25八年级·全国·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
106．（23－24八年级·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【考点26 平面直角坐标系】
107．（24－25八年级·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
108．（23－24八年级·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
109．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为
110．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ．
【考点27 函数的表示方法】
111．（23－24八年级·陕西商洛·期末）声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ）
温度：/ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 …
A．温度越高，声速越快
B．当空气温度为20时，声速为342
C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为
D．当空气温度为40时，声速为350
112．（23－24八年级·山西长治·期末）如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
113．（23－24八年级·江西萍乡·期末）小明为准备体育中考，每天早晨坚持锻炼，某天他慢跑到江边，休息一会后快跑回家，能大致反映小明离家的距离y（m）与时间x（s）的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点28 一次函数的图象与性质】
114．（23－24八年级·山东青岛·期末）一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
115．（24－25八年级·全国·期末）对一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．随的增大而增大
C．图象与的图象平行
D．图象必过点
116．（23－24八年级·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ．
117．（24－25八年级·江西吉安·阶段练习）正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．
118．（23－24八年级·全国·期末）已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ．
119．（23－24八年级·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
120．（24－25八年级·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点
(1)求该一次函数的函数表达式；
(2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况；
(3)若一次函数图象上有两点、，，求的值；
121．（23－24八年级·安徽安庆·期末）如图，已知直线分别与轴交于点A、B，与直线相交于点，点为直线上一点．
(1)______，______；
(2)若的面积为1，求点的坐标．
【考点29一次函数与方程】
122．（24－25八年级·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
123．（23－24八年级·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
124．（23－24八年级·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点30 一次函数与不等式】
125．（23－24八年级·全国·课后作业）一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
126．（23－24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ．
127．（23－24八年级·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)填空：当时，x的取值范围是 ；
(2)填空：不等式的解集是 ；
(3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【考点31 一次函数的应用】
128．（23－24八年级·辽宁铁岭·期末）小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（ ）
A．小明的速度是
B．妈妈的速度是
C．线段的函数表达式为
D．点A的坐标为
129．（23－24八年级·山东青岛·期末）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有 ．
130．（24－25八年级·辽宁沈阳·阶段练习）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象．
(1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________．
(2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标；
(3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2024～2025学年度八年级上学期期末易错题专项复习
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】 2
【考点2 三角形的面积】 4
【考点3 三角形的稳定性】 7
【考点4 三角形的三边关系】 7
【考点5 三角形的内角和定理】 10
【考点6 三角形的外角性质】 13
【考点7 多边形的内角与外角】 20
【考点8 全等三角形的性质】 24
【考点9 全等三角形的判定】 26
【考点10 全等三角形的应用】 31
【考点11 垂直平分线的判定与性质】 33
【考点12 角平分线的性质与判定】 35
【考点13 画轴对称图形】 39
【考点14 等腰三角形的判定】 41
【考点15 等腰三角形的性质】 45
【考点16 等边三角形的判定】 52
【考点17 等边三角形的性质】 55
【考点18 含30°角的直角三角形】 60
【考点19 最短路径问题】 63
【考点20 幂的运算】 66
【考点21 整式的乘法】 68
【考点22 整式的除法】 70
【考点23 完全平方公式】 72
【考点24 平方差公式】 76
【考点25 因式分解的应用】 78
【考点26 分式的基本性质】 80
【考点27 分式的值】 83
【考点28 分式的混合运算】 86
【考点29 负整数指数幂】 87
【考点30 分式方程的解】 89
【考点31 分式方程的应用】 92
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】
1．（23－24八年级·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵为高线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
2．（24－25八年级·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
首先根据三角形中线的性质得到，，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∵是边上的高
∴
∴．
故选：B．
3．（23－24八年级·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的中线
C．是的边上的高 D．是的角平分线
【答案】C
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确；
B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确；
C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确；
D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确．
故选：C．
4．（24－25八年级·全国·期末）如图，在中，，分别是，边上的中线，若，，且的周长为32，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的有关计算，根据，分别是，边上的中线，，，得出，，再根据三角形的周长为32，得出答案即可．
【详解】解：的周长为32，
，
，分别是，边上的中线，，，
，，
．
【考点2 三角形的面积】
5．（23－24八年级·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
6．（23－24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，且的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．
根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，
，
，
，
故选：A．
7．（23－24八年级·重庆渝中·期末）如图，在中，为边上的一点．且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若的面积为35cm2，则与的面积之和为 cm2．
【答案】15
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质等知识点，解题的关键是添加适当的辅助线，学会用转化的思想思考问题．
连接，根据三角形中线的性质可得，，则有，同理由可知，通过等量代换及的面积即可求出的面积，最后再由等量代换即可求出结果．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
．
故答案为：15．
【考点3 三角形的稳定性】
8．（23－24八年级·湖北·阶段练习）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可．
【详解】因为三角形具有稳定性
选项中，只有C被分割成了三个三角形
所以C正确
故选：C．
9．（23－24八年级·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解∶ 斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是三角形的稳定性，
故答案为∶ 三角形的稳定性．
【考点4 三角形的三边关系】
10．（24－25八年级·河北保定·期中）用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】该题主要考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系．
根据三角形的三边关系得出的范围求解即可．
【详解】解：连接，
根据题意可得，在中，，即，
在中，，即，
则，
在中，，即，
在中，，即，
则，
故选：A．
11．（24－25八年级·吉林长春·期末）找出下列各组线段为边不能组成三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，7，10 C．9，9，9 D．3，4，5
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，能组成三角形，故A不符合题意；
B、，不能组成三角形，故B符合题意；
C、，能组成三角形，故C不符合题意；
D、，能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
12．（24－25八年级·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：∵三角形三边长分别为，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴x为8、9、10，
∴这样的三角形个数为3．
故选：C．
13．（23－24八年级·安徽马鞍山·期末）已知，，为的三边长，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，熟悉掌握绝对值的化简方法是解题的关键．
根据三角形的三边关系得到，，再化简绝对值运算即可．
【详解】解：∵，，为的三边长，
∴，，
∴，
故选：B．
14．（23－24八年级·陕西榆林·期末）初中生体能训练中有一项跳跃泥潭障碍训练，如图，小刚平时助跑跳跃距离约为米，他不确定自己是否能够跳过这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得米，米，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”）
【答案】能
【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，，
∴小明能完成这项训练挑战．
故答案为：能．
【考点5 三角形的内角和定理】
15．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
∴,
故选：C．
16．（23－24八年级·北京昌平·期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数．
根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数．
【详解】解：根据直角三角板，，，
，
，
，
故选：D．
17．（24－25八年级·辽宁大连·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，求（ ）（用和来表示）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由角平分线得到，由高得到，再根据角度的和差计算即可表示．
【详解】解：，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
18．（23－24八年级·浙江杭州·期中）如图，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形内角和定理．连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出．
【详解】如图，连接．设与交于点，
，．
，，
，
故选：C．
19．（24－25八年级·甘肃定西·期末）已知中，，那么中最大角的度数为 ．
【答案】/75度
【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可设
则，
解得，
∴
∴中最大角的度数为
故答案为：
【考点6 三角形的外角性质】
20．（23－24八年级·四川凉山·期末）如图，是的外角的平分线，且，，交的延长线于点E，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形的外角定理，熟练地掌握角平分线的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
根据三角形的外角定理即可求出，根据角平分线的定义，可求出，再根据三角形的外角定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
21．（2024·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意可知，，
两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：D．
22．（23－24八年级·四川德阳·期末）如图，一副直角三角板中，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点B在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当时，如图1所示：
，
∴；
当时，如图2所示：
，
，
，
；
当时，如图3所示：
∵，
∴，
，
综上，使三角形有一条边与平行的所有的度数为：或．
故答案为：或．
23．（23－24八年级·贵州遵义·期末）如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ．
【答案】80
【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理和外角性质，先根据三角形的内角和定理，结合已知求得、的度数，再根据折叠性质求得，的度数，然后利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
由折叠性质得，，
∴，
故答案为：80．
24．（2024·广西贵港·三模）小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ．
【答案】/210度
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：如图．
∵，，，
∴
．
故答案为：．
25．（23－24八年级·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上．
(1)若，求的度数；
(2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键．
（1）由题意知，，根据，计算求解即可；
（2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵为的中线，
∴，
∵的周长比的周长大3，
∴，即，
∴，即，
解得，，
∴的长为6．
26．（23－24八年级·四川内江·期末）如图1，，点C、D分别在射线上，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．
(1)当时，求的度数；
(2)当C、D在射线上任意移动时（不与点O重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出的度数；
(3)当在的三个内角中，有一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
【答案】(1)
(2)不变化，
(3)或
【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．解决本题的关键是熟练掌握了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．
（1）根据三角形的内角和是，可求，所以，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可得答案．
（2）先求得．再由是的平分线，是的平分线，可得．最后由三角形外角性质可得答案；
（3）设．由（2）知，，可得，再由平分可得．由得出，解得 ，从而求出．即 ，最后分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵是的平分线，是的平分线，
∴．
∵，
∴．
（2）解：不变化，．
∵∠AOB＝90°，
∴．
∵是的平分线，是的平分线，
∴．
∵，
∴，
，
；
（3）解：设．
由（2）知，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，解得 ，
∴．
∴．
即 ，
当时，即，解得 ．
∴；
当时，即，解得 ，不合题意，舍去；
当时，即，解得 ．
∴．
综上所述，的度数为或．
【考点8 全等三角形的性质】
33．（24－25八年级·四川南充·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案．
【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角，
∴，
故选：D．
34．（24－25八年级·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（ ）
A．7 B．5 C．12 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解．
【详解】解：∵点在上，点在上，，
∴，，
∴，
故选：A．
35．（24－25八年级·河北张家口·期中）如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意；
乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意；
丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意；
综上分析可知：和全等的图形是乙和丙．
故选：．
36．（23－24八年级·河南安阳·期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为 ．
【答案】
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
【详解】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是．
故答案为：．
【考点9 全等三角形的判定】
37．（23－24八年级·四川遂宁·期末）如图，下列条件中，不能证明的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
依据全等三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、依据可知，故A不符合要求；
B、依据可知，故B不符合要求；
C、依据可知，故C不符合要求；
D、依据无法判定，故D符合要求．
故选：D．
38．（23－24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选B．
39．（24－25八年级·山东·期末）如图，，，，，，则的度数是 ．
【答案】/75度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，先根据证明，得出，根据三角形内角和求出，再根据，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：∵在和中
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
40．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ．
【答案】35
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解．
【详解】解：，，
，
于点E，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：35．
41．（24－25八年级·江苏南京·期中）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接．
(1)如图①，点D在线段上，求证：．
(2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由，可证；
（2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下：
①当点D在线段上移动时，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
②当点D在的延长线上时，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
42．（23－24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【考点10 全等三角形的应用】
43．（23－24八年级·山西吕梁·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去；
标有2的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去；
标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去；
标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去；
故答案为：4．
44．（23－24八年级·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【答案】(1)甲，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，
（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】（1）甲同学的方案可行．
理由：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
故甲同学的方案可行．
（2）；
理由：
∵，
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点11 垂直平分线的判定与性质】
45．（24－25八年级·江苏苏州·阶段练习）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．
【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．
46．（24－25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据中垂线的性质，可得，则的周长为，即可求得的长．
【详解】∵的垂直平分线与相交于点D，
∴，
∵的周长，
∴的周长，
∵，
∴．
故答案为：4．
47．（23－24八年级·湖北孝感·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ．
(1)求的长；
(2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长．
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键
（1）由垂直平分线的性质可得，，，根据，计算求解即可；
（2）由垂直平分线的性质可得，，由的周长为 ，，可得，可求，进而可得的长．
【详解】（1）解：垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴的长为 ；
（2）解：如图，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
又∵的周长为 ，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为7．
【考点12 角平分线的性质与判定】
48．（24－25八年级·辽宁大连·期末）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（ ）
A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点
B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点
D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的判定，正确理解题意是解题的关键．
根据集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，则集贸市场为直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点．
【详解】解：∵集贸市场到公路、铁路的距离相等，
∴集贸市场在直线公路和铁路的角平分线上，
∵且到水路和电网的距离相等，
∴集贸市场在水路和电网的夹角平分线上，
故选：C．
49．（24－25八年级·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解．
【详解】解：过点作于点，于点，如图，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，的面积为，
∴．
故选：A．
50．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的高线，点是上一点，连接，当点到的距离等于时，，则 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查了角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上成为解题的关键．
由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的性质定理可得即可解答．
【详解】解：∵是边上的高线，，
∴，
如图：过E作，垂足为F，
∵点到的距离等于，
∴，
∵是边上的高线，，
∴是的角平分线，即．
故答案为：32．
51．（23－24八年级·河北石家庄·期末）如图，中，，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得点Q到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，尺规作图－作角平分线，根据点Q到边的距离等于可判断点Q在上，然后作出的平分线与的交点即可．
【详解】解∶如图，点Q即为所求，
52．（24－25八年级·全国·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）证明即可；
（2）证明，结合，列式计算即可．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，平分，，
∴
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：∵，平分，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，，
∴．
【考点13 画轴对称图形】
53．（23－24八年级·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．8 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴
∴
∴
故选：A．
54．（23－24八年级·安徽·期末）如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ．
【答案】
【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解．
【详解】解：此刻的实际时间应该是，
故答案为：
55．（24－25八年级·全国·期末）在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A、C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出关于y轴对称的；
(2)画出关于x轴对称的；
(3)点的坐标是 ；点的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)；
【分析】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（3）根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：点的坐标是；点的坐标是．
故答案为：；．
【考点14 等腰三角形的判定】
56．（23－24八年级·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵
∴，
∴不是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
57．（23－24八年级·福建宁德·期末）下列三角形中，不是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的定义及判定，逐项判断即可．
【详解】A、由三角形内角和定理可得第三个角为：180゜－50゜－35゜＝95゜，由等腰三角形的判定知，此三角形不是等腰三角形，故符合题意；
B、由三角形内角和定理可得第三个角为：180゜－90゜－45゜＝45゜，由等腰三角形的判定知，此三角形是等腰三角形，故不符合题意；
C、由三角形内角和定理可得第三个角为：180゜－100゜－40゜＝40゜，由等腰三角形的判定知，此三角形是等腰三角形，故不符合题意；
D、根据等腰三角形的定义知，此三角形是等腰三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义判定，因此掌握等腰三角形的定义与判定是解题的关键．
58．（23－24八年级·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．
【答案】
【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可．
【详解】解：如图，分别延长交于点，
，，
，
，
m，m，
m，m，
，，
这块土地的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解．
59．（24－25八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质．
（1）根据角平分线和平行的性质求出即可；
（2）根据角平分线和平行线的性质得到，从而求得的度数，然后利用等边对等角得到另一个底角的度数，从而求得顶角的度数．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
又∵，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
60．（23－24八年级·福建泉州·期末）如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)等腰三角形；理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是全等三角形的性质和判定定理的应用．
（1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明；
（2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证．
【详解】（1）证明：如图．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：是等腰三角形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即是等腰三角形．
【考点15 等腰三角形的性质】
61．（23－24八年级·北京西城·期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，
，
为边的中点，
，
，
，
故选：A．
62．（23－24八年级·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆，
以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆，
以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，
再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点的个数为8，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
63．（23－24八年级·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解．
【详解】解： 垂直平分．
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确；
故选．
64．（23－24八年级·北京·期末）如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】延长，交的延长线于点E，由题意易证，则有，，然后可得，则，进而问题可求解．
【详解】解：如图所示，延长，交的延长线于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵与互补，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．
65．（23－24八年级·吉林·期末）如图，点C在线段上，，，，平分．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三线合一定理，根据平行线性质得出，根据证，推出，再根据等腰三角形的三线合一定理证明即可．
【详解】证明；∵，
．
在和中
，
，
平分，
．
66．（23－24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【答案】(1)答案见解析（答案不唯一）
(2)答案见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）．
67．（23－24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，过点B作，垂足为点E，过点A作，垂足为点F，且．
(1) °；
(2)求证：；
(3)连接，且平分交于点G．探究的形状并说明理由．
【答案】(1)180
(2)见解析
(3)是等腰三角形，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．
（1）易得，根据四边形内角和即可解答；
（2）通过证明，即可求证；
（3）先证明，通过证明，得出，则，进而得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：180．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴等腰三角形．
【考点16 等边三角形的判定】
68．（23－24八年级·内蒙古兴安盟·期末）如图，直线，，，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键．
先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
故选：C．
69．（23－24八年级·江苏连云港·期末）已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．
【答案】等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．
【详解】解：∵中，，，于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴为等边三角形．
故答案为：等边
70．（23－24八年级·福建三明·期中）若，，请添加一个条件使是等边三角形 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】由等边三角形的判定，即可解决问题．
【解答】解：，则添加的条件可以是（答案不唯一）,
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的三个角相等．
71.（23－24八年级·全国·单元测试）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的度数是；；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可；
（2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
∴的度数是；
（3）证明：∵，
∴，
又∵点M、N分别是线段的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【考点17 等边三角形的性质】
72．（24－25八年级·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，三角形的外角的性质；由等边三角形的性质求出，由得，进而可得，再根据三角形外角性质求出的度数即可．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
故选：B．
73．（24－25八年级·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ．
【答案】50
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：50．
74．（24－25八年级·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)若的边长为1，求的周长．
(3)探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解；
(2)2
(3)，理由见详解．
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案；
（2）由（1）得的周长等于，即可解答；
（3）根据（1）中的即可解答．
【详解】（1）证明：延长到，使，连接，
是等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：是边长为1的等边三角形，
，
，
的周长为：；
（3）解：，
理由如下：由（1）知：，
．
75．（23－24八年级·江苏扬州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，，
(1)求的度数；
(2)求长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得，，，可证，可得，可得的度数；
（2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求的长．
【详解】（1）解：，是等边三角形
，，，
，且，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
【考点18 含30°角的直角三角形】
76．（24－25八年级·全国·期末）在中，是斜边上的高，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据同角的余角相等求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：如图，是斜边上的高，，
，，
，
∵，
，
故选：B．
77．（24－25八年级·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解．
根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标是，得到答案．
【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点纵坐标是，
以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，点的纵坐标是，即，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点的纵坐标是，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即．
故答案为：．
78．（24－25八年级·全国·期末）如图，在等腰直角三角形中，，，以为边作等边三角形，点，分别在线段，上，，，与相交于点，延长交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)试判断线段和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证明，得到，进而得到，推出，即可证明；
（2）连接，由（1）知，得到，证明，得到，，推出，根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，
在与中，
，
，
，，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．
【考点19 最短路径问题】
79．（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共线，
∵，
∵，
∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，
最小值为，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称－最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
80．（23－24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，
，是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
81．（23－24八年级·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解．
【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则，
∴，此时的值最小，则，
∵是等边三角形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【考点6 勾股定理】
12．（24－25八年级·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，则的周长为（ ）.
A．14 B．18 C．30 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得，再根据可得答案．
【详解】解：在中，由勾股定理，
得．
∵分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点，
∴，
∴的周长为．
故选：C．
25．（23－24八年级·江苏淮安·期末）如图，在和中，，点在上．若，，，则 ．
【答案】5
【分析】根据勾股定理解得BC的长，再由全等三角形的对应边相等解题．
【详解】解：由题意得，中，
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26．（23－24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长．
【详解】解：延长交于点G，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠性质可知，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【考点7 勾股定理的逆定理】
13．（23－24八年级·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐一判断即可得出答案，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，
【详解】解：A、当，
∴，
∴为直角三角形，故选项不符合题意；
B、当时，
∵，
∴，，，
∴不是直角三角形，故选项符合题意；
C、当时，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，故选项不符合题意；
D、当时，设，，，
∴，
∴为直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
27．（23－24八年级·全国·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点都在网格的格点上，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握运用勾股定理判断三角形成为直角三角形成为解题的关键．
先根据勾股定理求得，再运用勾股定理逆定理证明，进而得到；同理得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵每个小正方形的边长都是1，
∴根据勾股定理可得 ，
∵在 中，
，
又，
，
同理得，
．
故答案为：．
28．（23－24八年级·湖北十堰·期末）如图，中，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为，则线段的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质得出是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：过点作于，于，连接，
与的角平分线相交于点，过点作，于，于，
，，
，
中，，，，
，
是直角三角形，
，
又 ，，
，
，
故答案为：
29．（23－24八年级·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得，
∴，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
34．（23－24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，于点D，，分别交，于点E、F，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问正确作出辅助线是关键．
（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，得垂直平分，则，再利用即可证明；
（2）在上取一点H，使，连接，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：在上取一点H，使，连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴．
【考点8 勾股定理的应用】
14．（24－25八年级·全国·期末）如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
由题意得，
米，
同理可得：，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
答：梯子底端离地高度长为0.9米，
故选：B．
15．（24－25八年级·贵州毕节·期末）如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（ ）
A．8 B．6 C．10 D．15
【答案】C
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可．
【详解】解：把圆柱一半侧面展开，如图，连接，
圆柱的底面半径为，
，
在中，，
，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故选：C
30．（23－24八年级·辽宁铁岭·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ．
【答案】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
由题意得，
∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
∴；
把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
由题意得
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
由题意得
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
35．（23－24八年级·四川遂宁·期末）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)8小时
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
，，，
，
是直角三角形，且；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
（2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口，
在中，由勾股定理，
同理可得，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
36．（23－24八年级·四川遂宁·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析
(2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短：
（1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论；
（2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．
由题意得，米，米，，
由勾股定理得米，米，
∴米．
∵ (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
【考点18 不等式的基本性质】
6．（23－24八年级·北京·期末）三个非零数a，b，c，满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不一定大于b，
故本选项不符合题意；
B、∵，∴，
故本选项不符合题意；
C、∵，∴，
故本选项不符合题意；
D、∵，∴，
故本选项符合题意；
故选：D．
14．（23－24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果关于的不等式解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意可知关于的不等式解集为，则的系数的正数，再根据这个结果求出的取值范围，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：∵关于的不等式解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（23－24八年级·吉林长春·期末）如图，、、三人在公园玩跷跷板，则、、三人中体重最小的是 ．（填“A”、“”或“”）．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数大小比较以及不等式的性质，掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据题意可得，，再根据不等式的性质可得答案．
【详解】解：由题意得，，，
，
、、三人中体重最小的是，
故答案为：B
【考点19 一元一次不等式的解】
7．（23－24八年级·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解．
【详解】解：由不等式，得，
都能使不等式成立，
当，即时，则都能使恒成立；
当时，不等式的解集为，不符合题意，
，即，
不等式的解集为，
都能使不等式成立，
，
解得：，
∴此时
综上，实数m的取值范围是，
故选：C．
8．（23－24八年级·广西贵港·阶段练习）关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数字可知该不等式的解集为，解不等式，得，易得，求解即可获得答案．
【详解】解：由数轴可得，该不等式的解集为，
解不等式，得，
则有，
解得，
∴的值是．
故选：D．
17．（23－24八年级·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可．
【详解】解：由不等式得：，
∵由数轴可知，
∴，
解得：．
故答案为：．
18．（23－24八年级·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【考点20 一元一次不等式组的解法】
1．（23－24八年级·山东济南·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【详解】解：由得，，
，
故原不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解有4个，
其整数解应为：3、4、5、6，
的取值范围是．
故选：D
2．（23－24八年级·山西大同·期末）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】不等式组有解，
两个不等式的解有公共部分，
故选：A．
3．（23－24八年级·全国·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组是解集是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为，
故选：．
23．（23－24八年级·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
，
故答案为：．
24．（23－24八年级·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
【考点21 一元一次不等式（组）的应用】
4．（23－24八年级·湖北武汉·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验；在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出． 根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可．
【详解】解：设一颗玻璃球的体积，
则，解得，
故选C．
5．（23－24八年级·广西梧州·期末）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时．已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键．
由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式．
【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米，
顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，
∴．
故选C．
6．（23－24八年级·云南德宏·期末）在第55个“世界地球日”来临之际，为贯彻落实习近平总书记在党的二十大报告中提出推动绿色发展、促进人与自然和谐共生，牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，某省生态文明促进联合会计划组织大学生进行环保知识竞赛．已知竞赛试题共有30道，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分．小陈得分要超过100分，他答对的题数至少是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】C
【分析】本题主要考查由一元一次不等式的应用，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
设他答对x道题，则他答错答错或不答题，根据“答对题数×答对数量答错答错或不答题数×答错答错或不答扣分”可列不等式，解之即可．
【详解】解：设他答对x道题，则他答错答错或不答题，根据题意，得
解得：，
∴他答对的题数至少是23道．
故选：C．
25．（23－24八年级·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩券数量的不等关系是解题的关键．
首先根据题意可知，美美拿到3张摸彩券的意思即是消费金额大于等于300元小于400元，小仪拿到4张摸彩券的意思即是消费金额大于等于400元小于500元，根据题意列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：美美拿到3张彩券说明消费金额达到了300元，但是不足400元，小仪拿到了4张彩券说明消费金额达到了400元，但是不足500元，由此可得，
解得：
故答案为：．
42．（24－25八年级·全国·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元
(2)共有5种购买方案，最低费用是8440元
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是（元）．
43．（23－24八年级·湖南娄底·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【答案】(1)22道
(2)24道
【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式．
（1）设小明一共答对了x道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，根据题意列出不等式，并求解即可．
【详解】（1）解：设小明一共答对了x道题，则答错了道题，
由题意可得：，
解得，
答：小明一共答对了22道题；
（2）解：设参赛者需答对a道题才能被评为“学党史小达人”，
由题意可得：，
解得，
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“学党史小达人”．
【考点12 平面直角坐标系】
6．（24－25八年级·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可．
【详解】解：若点P在轴上，设，
，，
，，
，即，
，
，
，
若点P在轴上，设，
，点，
，，
，即，
，
，
，
即或，
故选：A．
7．（23－24八年级·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可．
【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，
∴，
∵在第二象限，
∴，
∴，，
故选：D．
14．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为
【答案】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．
【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴点B的坐标为．
故答案为：．
15．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律．
根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：由图可知：，， ，
∴，
从到的平移为：向上平移3个单位长度，
从到的平移为：向上平移5个单位长度，
依次类推，
从到的平移为：向上平移个单位长度，
∵，
∴的坐标为，
∴向上平移个单位长度，得到，
∴，即：；
故答案为：．
【考点13 函数的表示方法】
1．（23－24八年级·陕西商洛·期末）声音在空气中传播的速度（简称声速）v（）与空气温度t（）满足一次函数的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ）
温度：/ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速v/（） … 318 324 330 336 342 348 …
A．温度越高，声速越快
B．当空气温度为20时，声速为342
C．声速v（）与温度t（℃）之间的函数关系式为
D．当空气温度为40时，声速为350
【答案】D
【分析】根据表中数据即可判断A、B选项；利用待定系数法，设v与t之间的函数关系式为，把表中两组对应的数值代入即可求解，从而判断C选项；把代入函数解析式，即可判断D选项．
【详解】A选项：根据表格可得，随着温度t的增大，声速v也随之增大，故A选项正确；
B选项：根据表格可得，当时，，即当空气温度为20时，声速为342，故B选项正确；
C选项：设声速v与温度t之间的函数关系式为，
由表格可得，当时，，当时，，
∴，
解得，
∴声速v与温度t之间的函数关系式为．
故C选项正确．
D选项：由C选项得到声速v与温度t之间的函数关系式为，
当时，
∴当空气温度为40时，声速为，
故D选项错误．
故选：D
【点睛】本题考查通过表格形式表示函数关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂表格，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2．（23－24八年级·山西长治·期末）如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的一次函数图象，设正方形的边长为，分别求出点在边上、点在边和点在边上时与的函数解析式，再根据一次函数的性质判断图形的变化情况即可求解，运用分类讨论思想正确求出与的函数解析式是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
当点在边上时，，为正比例函数，随的增大而增大；
当点在边上时，，为一次函数，随的增大而减小；
当点在边上时，，为一次函数，随的增大而增大；
综上，随先增大而增大，再增大而减小，最后又增大而增大，
故选：．
3．（23－24八年级·江西萍乡·期末）小明为准备体育中考，每天早晨坚持锻炼，某天他慢跑到江边，休息一会后快跑回家，能大致反映小明离家的距离y（m）与时间x（s）的函数关系图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件，确定出每一时间段的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【详解】∵他慢跑离家到江边，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵休息了一会，
∴他离家的距离不变，
又∵后快跑回家，
∴他离家越来越近，直至为0，
∵去时快跑，回时慢跑，
∴小明离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是A．
故选A．
【点睛】考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
【考点14 一次函数的图象与性质】
8．（23－24八年级·山东青岛·期末）一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先根据一条直线得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，即可得出答案．
【详解】解：A、设过一、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项符合题意；
B、设过一、二、四象限直线为，得，，则过一、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意；
C、设过二、三、四象限直线为，得，，则过一、二、三象限直线为，得，，故本选项不符合题意；
D、设过二、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意．
故选：A．
9．（24－25八年级·全国·期末）对一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．随的增大而增大
C．图象与的图象平行
D．图象必过点
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．根据图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可．
【详解】解：∵，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故A错误；
∵，
∴y随x的增大而减小，故B错误；
∵一次函数与的中相同，
∴一次函数的图象与的图象平行，故C正确；
∵时，，
∴一次函数的图象不过，故D错误；
故选：C．
16．（23－24八年级·福建泉州·期末）已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点坐标，从而求得的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由一次函数的图象向上平移个单位，
∴平移后得解析式为，
当时，；当时，；
∴，，
∴，，
∴的面积等于，
故答案为：．
17．（24－25八年级·江西吉安·阶段练习）正方形，，．．．按如图所示放置，点、、．．．在直线上，点、、．．．在轴上，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数规律探究；根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出、、的坐标，找出规律得出的坐标为，即可解答．
【详解】解：直线和轴交于，
的坐标，
即，
四边形是正方形，
，
把代入得：，
的坐标为，
同理的坐标为，
的坐标为，
的坐标是，即，
故答案为：．
18．（23－24八年级·全国·期末）已知一次函数的图像经过点与点，则当y的值增加1时，x的值将 ．
【答案】增加
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量的变化，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，则可得到，据此可得答案．
【详解】解：把、代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为，
∴，
∴当y的值增加1时，x的值将增加，
故答案为：增加．
19．（23－24八年级·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论．
【详解】解：把代入得：，解得：，
把代入得：，
∴，
∴，
∴…，
又，…，
∴的坐标为，
当时，顶点的横坐标为
故答案为：．
24．（24－25八年级·全国·期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点
(1)求该一次函数的函数表达式；
(2)根据（1）的结果，对于，请说明随的变化情况；
(3)若一次函数图象上有两点、，，求的值；
【答案】(1)；
(2)随的增大而增大；
(3)．
【分析】此题考查两直线平行问题，关键是根据两直线平行的特点解答．
（1）根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值，把的坐标代入求得b，求出即可．
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）联立方程组解答即可．
【详解】（1）因为一次函数的图象与直线平行，
所以；
又因为一次函数的图象与轴交于点；
所以有，即可得；
该一次函数的函数表达式为．
（2）∵中,∴随的增大而增大；
（3）因为点、在函数图象上，
所以有，
两式相减，得，
所以．
25．（23－24八年级·安徽安庆·期末）如图，已知直线分别与轴交于点A、B，与直线相交于点，点为直线上一点．
(1)______，______；
(2)若的面积为1，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握两直线交点，一次函数解析式，坐标与图形是解题的关键．
（1）将代入，可求，即，将代入，可求，然后作答即可；
（2）由直线与轴交于点A，可求，由题意知，，当点在的下方时，如图，由，可知为的中点，可求；当点在的上方时，如图，由，可知为的中点，进而可求．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：∵直线与轴交于点A，
∴，
由题意知，，
当点在的下方时，如图，
∵，
∴为的中点，
∴；
当点在的上方时，如图，
∴，
∴为的中点，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【考点15 一次函数与方程】
1．（24－25八年级·吉林长春·期末）直线分别与的负半轴和的正半轴交于点和点，若，，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题，根据题意可得的解为直线与轴的交点横坐标，根据，且在的负半轴，即可求解．
【详解】解：∵直线与的负半轴交于点，，
∴，
∴关于的方程的解为
故选：B．
2．（23－24八年级·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案．
【详解】解：一元一次方程的解是，
当时，，
故直线的图像与x轴的交点坐标是．
故选：A．
3．（23－24八年级·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解．”是解题的关键．
【详解】解：当时，
，
交点为，
方程组的解为．
故选：D．
【考点16 一次函数与不等式】
4．（23－24八年级·全国·课后作业）一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在y轴的下面，再写出对应的取值范围即可．
【详解】解：由一次函数的图象可知，
当时，，
故选：C．
11．（23－24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键．
根据图象分析解答即可．
【详解】解：∵根据图象进行对比可得：，
∴把，代入可得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
19．（23－24八年级·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)填空：当时，x的取值范围是 ；
(2)填空：不等式的解集是 ；
(3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象得出答案即可；
（2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得出的面积，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标．
【详解】（1）解：根据图象可得：
时，x的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：根据图象可知：
不等式的解集是：；
故答案为：；
（3）解：把代入，得，
∴点C坐标为，
把，代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∴，
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合．
【考点17
