河南省“天一小高考”2025届高三12月第二次联考数学试题（含答案）

河南省“天一小高考”2025届高三12月第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点到准线的距离为，则( )
A. B. C. D.
4.记等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知不重合的圆，都过点，且均与两坐标轴相切，则圆，的公共弦长为( )
A. B. C. D.
6.已知，和都是函数的零点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知长方体的表面积与体积在数值上相等，若，则该长方体的体积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，都是非零向量，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D.
10.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象为中心对称图形
B. 的图象上一定存在关于直线对称的两点
C. 若，则一定存在四个顶点都在的图象上的菱形
D. 若，则四个顶点都在的图象上的正方形有两个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对某校高三学生的身高进行抽样调查，一共抽查了名男生和名女生，若抽查的这名学生的平均身高为，其中男生的平均身高为，则抽查的女生的平均身高为 ．
13.已知实数，满足，则 ．
14.已知数列，，，中的每一项均满足，记这项中任意两项乘积之和为，即，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．
Ⅰ求
Ⅱ记的面积为，其外接圆的面积为，求．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均垂直于底面，，，，，为的中点．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上顶点为，且的面积为．
Ⅰ求的方程
Ⅱ设是上除顶点以外的动点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：为坐标原点为定值．
18.本小题分
已知函数，
Ⅰ求曲线在点处的切线方程
Ⅱ讨论的单调性
Ⅲ设函数，证明：，且对任意，都存在，使得．
19.本小题分
照如下方式构造一个数表：设，，将数表的第行第列的数记为，且是首项为，公差为的等差数列的第项．
Ⅰ数表中一共有几个直接写出所有相应的
Ⅱ若正整数不在数表中，证明：是质数注：只有和自身两个因数的正整数称为质数
Ⅲ设，，且，，从数表的前行，前列中任取个数，取到的偶数个数记为，求的分布列及数学期望．
参考答案
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15.解：Ⅰ由余弦定理得，
即，所以
由余弦定理得．
Ⅱ由正弦定理知，
其中为外接圆的半径．
因为，所以，
，
，
于是有．
16.解：Ⅰ如图，连接与交于点，连接．
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，则在中，有，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ由勾股定理的逆定理知，
又由侧面，均垂直于底面，可得平面，
所以，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由已知得，，，，，．
，，
设平面的法向量为，
则可取．
，
设平面的法向量为，
则可取．
，
所以二面角的正弦值为．


17.Ⅰ解：由题意知解得
故E的方程为．
Ⅱ证明：由条件知，，
设且，则，整理得，
由直线，得，
将直线与直线的方程联立，
可解得．
所以，
故为定值．
18.解：Ⅰ，，，，
所求的切线方程为，即．
Ⅱ，，
设，则，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，则，当且仅当时取等号，
在上单调递增．
Ⅲ，，由得由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
易证，所以，所以．
由题意得．
对任意，取，则，
因为，再由Ⅱ可知，即，
于是有．
又因为，即，
所以．
故存在，使得．
19.解：Ⅰ一共有个．
．
理由：由题可知．
由，得，所以，
故与的值有种情况，即有种情况．
Ⅱ假设是合数，即存在正整数，使得．
由于是奇数，所以，都是奇数，
设，，，，
则，所以，
这与不在数表中相矛盾，
故假设不成立，原结论成立，即是质数．
Ⅲ因为，
，即奇数行，奇数列一定是偶数，
，即奇数行、偶数列一定是奇数．
从而每个奇数行的前列中，共有个偶数，个奇数．
，即偶数行、奇数列一定是奇数，
，即偶数行、偶数列一定是偶数．
从而每个偶数行的前列中，共有个偶数，个奇数．
所以前行、前列中共有个数，其中偶数和奇数均有个．
的所有可能取值为，，，．
，，
所以．
或者：服从参数为，，的超几何分布，所以．
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