2024-2025学年“九师联盟”高二上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年“九师联盟”高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的倍，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列中，，则数列前项的和为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍要使莞的长度大于蒲的长度蒲与莞原先的长度忽略不计，需要经过的时间最少为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
7.记曲线围成的平面图形的面积为，曲线围成的平面图形的面积为，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于，两点，且，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数列中，为递增数列的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在正方体中，为底面的中心，，分别为，的中点，点满足，则( )
A. 平面 B. 平面
C. D. ，，，四点共面
11.已知为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，记点的轨迹为曲线，设，在曲线上，且，，，则( )
A. 曲线的方程为
B. 曲线的离心率为
C. 经过且与曲线只有一个公共点的直线恰有两条
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，若三棱柱的所有棱长都是，，是棱的中点，则，两点之间的距离等于 ．
13.若数列满足，且为其前项和，则的最小值为 ．
14.已知抛物线，为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是数列的前项和，若，是等差数列，．
求
求数列的通项公式．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，是边长为的正三角形，．
求证：
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左焦点为，是上任意一点，且的最大值为．
求的方程
设的右顶点为，直线的方程为，若直线交于，两点，求证：直线，的斜率之和为．
18.本小题分
设为抛物线的焦点，，，为上三个不同的点，且，．
求的方程
设过点的直线交于，两点．
若直线交圆于，两点，其中，位于第一象限，求的最小值
过点作的垂线，直线交于，两点，设线段，的中点分别为，，求证：直线过定点．
19.本小题分
对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中为非零常数，则称数列是数列．
判断无穷数列和是不是数列若是，求出相应的常数的值若不是，请说明理由
若是数列，且．
记的前项和为，求证：
对任意的正整数，设求数列的前项和．
参考答案
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15.解：设数列的公差为，
则由，得，
所以，即，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以．
由知，
所以时，，
上面这个式子对也适合，
所以时，．
16.解：证法一：因为平面，平面，所以，
取的中点，连接，，
因为在三棱台中，，，所以
则四边形是平行四边形，，所以，
因为为正三角形，是的中点，所以，
又，平面，，所以平面，
又平面，所以C.
证法二：以为原点，平面内垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
因为，
所以，即C.
解：由的证法二知，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则取，则，，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
17.解：解：设，则，
因为的最大值为，
所以，解得，，
则，
所以的方程为．
由题知，设，，
由消去得，
其中，
则，，
因为
，
所以直线，的斜率之和为．
18.解：根据题意得焦点，设，，，
因为，因此，
所以，
因此，
所以，
因此抛物线的方程为．
圆方程化为标准式为，其半径为，圆心恰为，
当直线斜率不存在时，，，；
当直线斜率存在时，根据题意可设直线的方程为，
，，
由
得，，
，，
因为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值为；
证明：由题知直线的斜率存在且不为，
由得，，则．
用替换得点．
当，即时，直线的斜率，
所以直线的方程为，整理得，
所以直线恒过点；
当时，直线的方程为，也过点．
综上所述，直线恒过点．

19.解：是数列，不是数列，理由如下：
令，则，，
因为为非零常数，
所以是数列，相应的常数的值为
令，则，，，
因为不是非零常数，
所以不是数列．
证明：因为是数列，且，
所以，是首项与公差都是的等差数列，
所以，．
，等号仅当时成立．
所以，即
解：由知，
当为奇数时，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有
，
，
，
两式相减得，
所以，
因此，．
所以数列的前项和为．
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