2024-2025学年河北省高一上学期12月百校联考数学试题（含答案）

2024-2025学年河北省高一上学期12月百校联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.体操中有“前空翻转体度”这样的动作名称，则化成弧度是( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若为奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.“是小于的钝角”是“是第三象限角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.关于函数图象过定点问题，有以下个命题：
函数的图象经过定点
函数的图象经过定点
函数的图象经过两个定点．
其中，真命题的个数为( )
A. B. C. D.
6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据与小数记录法的数据满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为参考数据：( )
A. B. C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列判断错误的是( )
A. 当时，
B. “，”的否定是“，”
C. 函数为增函数
D. “，，，这四个数都是质数”的否定是“，，，这四个数不都是质数”
10.在固定压力差压力差为常数下，当气体通过圆形管道时，其流量单位：与管道的半径单位：的四次方成正比，当气体在半径为的管道中时，流量为，则( )
A. 当气体在半径为的管道中时，流量为
B. 当气体在半径为的管道中时，流量为
C. 要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
D. 要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
11.已知定义在上的函数的图象关于点对称，且在上单调递减，则( )
A. 是偶函数
B. ，且，
C. 不等式的解集为
D. 当表示不大于的最大整数时，不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则不等式的解集为 ．
13.若函数是上的减函数，则的取值范围为 ．
14.如图，网格纸上的小正方形的边长均为，一次函数的图象不仅平分正方形的面积，也平分矩形的面积，则 ，函数的零点为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，求值：．
若，且，求的取值范围．
16.本小题分
求函数的最小值
若，，求的最大值．
17.本小题分
已知函数．
求的解析式
求的值域．
18.本小题分
已知函数对任意实数，，都有．
求的值
求函数在区间上的最小值
证明：
19.本小题分
若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”．
试问函数与是否互为“和幂函数”说明你的理由．
已知函数与互为“积幂函数”．
证明：函数存在负零点，且负零点唯一．
已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围结果用含字母的区间表示．
参考答案
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15.解：原式；
当时，，满足题意；
当时，，则，
所以，满足题意．
综上，的取值范围为
16.解：因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故函数的最小值为．
因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，又，
当且仅当，
即时，等号成立，所以，
当且仅当时，取得最小值，
且最小值为．
故的最大值为．
17.解：解：令，得，
则，
所以．
令，则，所以．
，，
当时，取得最大值，且最大值为又，
所以的值域为，即的值域为
18.解：令，得，解得．
由，得．
所以，．
当，即时，；
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，则．
综上，
证明：因为，
且
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
故
19.解：与互为“和幂函数”，理由如下：
因为，，
所以与的定义域均为．
因为
，且为幂函数，
所以与互为“和幂函数”．
证明：，则，即．
设，则为增函数，因为，所以，
令，得．
设函数，因为，，
易知的图象是连续不断的曲线，所以在上存在零点，
即存在负零点．
因为为减函数，所以的零点唯一，即存在负零点，且负零点唯一．
解：当时，，，
则 ，
因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以．
令，得．
因为，，，
且在上有两个零点，所以的取值范围为
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