2024-2025学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.方程组的解集是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递增，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设函数，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知，其中，，，为常数，若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.实数的值为______．
12.函数的定义域为 ．
13.函数的最小值是______．
14.已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ______；当时， ______．
15.已知函数给出下面四个结论：
的定义域是；
是偶函数；
在区间上单调递增；
的图像与的图像有个不同的交点．
其中正确的结论是______填序号．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知关于的不等式．
当时，求此时不等式的解集；
若此不等式的解集为，求实数，的值．
17.本小题分
已知全集，集合，．
若，求和；
若，求的取值范围．
18.本小题分
某专营店经销某商品，当售价不高于元时，每天能销售件，当价格高于元时，每提高元，销量减少件，若该专营店每日费用支出为元，用表示该商品定价，表示该专营店一天的净收入除去每日的费用支出后的收入．
把表示成的函数；
试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值．
19.本小题分
设函数．
判断函数的奇偶性，并用定义证明；
直接写出函数的单调区间，并用函数单调性的定义证明函数在时的单调性；
解不等式．
20.本小题分
已知函数．
当，时，求函数的最大值和最小值；
若函数在上的最小值为，求实数的值．
21.本小题分
有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质．
，，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
设集合，且，若集合具有性质，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.解：时，不等式为，
可化为，
解得；
所以不等式的解集为．
若不等式的解集为，
则对应方程的实数根为和；
由根与系数的关系知，，
解得，．
17.解：，
当时，，或，
所以，
或；
由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是
18.当，，
当，销量为，此时，
故．
当，，
当，，
，
当时，函数取得最大值，此时，
综上当商品定价为元时，一天的净收入最高，净收入的最大值为．
19.解：是奇函数，证明如下：
定义域是，
因为，所以是奇函数；
的单调增区间是和，
且，，所以，，，
则，
所以，即，
所以在上是增函数；
，又在和上都是增函数，
时，由得，所以，
时，由得，所以，
所以原不等式的解集为．
20.解：根据题意，当，，
是对称轴为的二次函数，
当时，其最小值为，
最大值为，
故的最大值为，最小值为；
根据题意，函数，是对称轴为，开口向上的二次函数，
当，即时，在上递增，的最小值为，
则有，解可得，符合题意；
当，即时，的最小值为，
不成立，不符合题意，
当，即时，在上递减，的最小值为，
若，解可得，不符合题意；
综合可得：．
21.解：集合不具有性质，集合具有性质．
，，不具有性质；
，，具有性质．
若三个数，，成等差数列，
则不具有性质，理由是，
取最大，则，
，由题意知不具有性质，
要使取最大，
则，
，
要使取最大，检验可得，
若集合具有性质，则的最大值为．
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