2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，分别是长方体的棱，的中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知向量，，，若，，共面，则等于( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，直线与直线所成角的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知平面，，直线，，如果，且，，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如图，在正方体中，点为棱的中点，点为面内一点，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板若其中三根柱子，，的高度依次为，，，则另外三根柱子的高度之和为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，，则 ______．
12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ______．
13.如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于______．
14.已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为______．
15.已知正方体的棱长为，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面E.给出下列四个结论：
的面积的最大值为；
满足使的面积为的点有且只有个；
点可以是的中点；
线段的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．
求直线的斜率；
求中线的方程．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点求证：
Ⅰ平面；
Ⅱ平面．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，点是的中点，直线交平面于点．
求证：点是的中点；
求二面角的大小
求点到平面的距离．
20.本小题分
在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21.本小题分
个有次序的实数，，，所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量设，，
则和的内积定义为，且．
直接写出个两两垂直的维信号向量．
证明：不存在个两两垂直的维信号向量．
已知个两两垂直的维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.
16.解：由，，可得直线的斜率；
由，，可得边的中点，则直线的斜率，
所以直线的方程是，即．
17.证明：Ⅰ，分别为，的中点，，，
且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
Ⅱ四边形为正方形，，
，，
平面，平面，
，
，，又，，平面，
平面．
18.Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
Ⅱ解：因为平面，，平面，
所以，，
因为底面是正方形，
所以，
如图建立空间直角坐标系，
因为，底面是边长为的正方形，
所以，，，，，，，
则，
设平面的法向量为，
则有，可得，
令，所以，，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为直线交平面于点，
所以平面平面，平面，
所以，所以，
因为点是的中点，所以点是的中点．
因为平面，，平面，
所以，，
因为，
所以，，两两相互垂直，
如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，于是，，所以，
又因为平面的法向量为．
所以，
由题知，二面角是钝角，
所以二面角的大小为．
设点到平面的距离为，
因为，则．
20.证明：如图，设为的中点，连接，，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
又为等腰直角三角形，，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
解：由知，可建立以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
由题可知，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为；
解：存在．理由如下：假设在线段上存在点，使平面平面，
设，，因为，所以，所以，
因为，，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
因为平面平面，所以，解得，
所以存在点使得平面平面，此时．
21.解：依题意，可写出个两两垂直的维信号向量为：
，，，．
证明：假设存在个两两垂直的维信号向量，
因为将这个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有个分量为，
设的前个分量中有个，则后个分量中有个，，
则，则，矛盾，
所以不存在个两两垂直的维信号向量．
证明：任取，，计算内积，
将所有这些内积求和得到，则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
则，所以，故．
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