2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则( )
A. 或 B. C. D.
3.已知点在圆：外，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.如图，在直三棱柱中，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
5.直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点若，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知圆上一点到直线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆已知椭圆：的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程为时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线过点，则( )
A. 抛物线的标准方程可能为
B. 抛物线的标准方程可能为
C. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点不同于左、右顶点，则下列说法正确的是( )
A. 当直线与轴垂直时， B. 的周长为
C. 的最大值为 D. 的内切圆的面积的最大值为
11.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 若，则
D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线垂直，则实数 ______．
13.在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______．
14.已知双曲线的两个焦点分别为，，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆：相切，则 ______用含，的式子表示，双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，圆上存在关于直线对称的两点．
求圆的标准方程；
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知平面，底面为矩形，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点，过椭圆右焦点垂直于长轴的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若为坐标原点的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
若抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合．
求抛物线的方程；
已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线：的实轴长为，离心率为．
求双曲线的方程；
若，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的右焦点，直线过且与双曲线的右支交于，两点，，分别交直线于，两点．
若直线的斜率存在，证明为定值；
若为轴上一动点，当直线的倾斜角变化时，若为钝角，求的取值范围．
参考答案
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15.解：圆：，圆上存在关于直线对称的两点，
可得圆心在直线，
而圆心，所以，解得，
所以圆的标准方程为；
将点代入圆的方程可得：，即点在圆外部，
当斜率不存在时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离，
此时弦长为，显然符合条件，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
即，
设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，
可得，
而圆心到直线的距离，
解得，此时直线的方程为，
即，
综上所述：满足条件的直线的方程为或．
16.证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
所以，
所以平面．
解：，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意可设椭圆方程为，
因为椭圆经过点，故，
由题意可知，在椭圆上，则，
于是，又，
所以可得，，
故椭圆的标准方程为．
椭圆的右焦点的坐标为，
设直线的方程为，，，
由，得，
可得，
所以，，
所以的面积
，
因为的面积为，所以，解得，
所以直线的方程为或．
18.解：由椭圆的方程可得右焦点，
由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为：；
由可得抛物线的准线方程为，，
因为，即点在抛物线外部，
因为点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，
即最小值等于点到点与到焦点的距离减去的值，且点在，之间，
因为直线的斜率，
可得直线的方程为：，
即，代入抛物线的方程可得，
即，解得舍或，
可得，
可得点；
此时，即三点共线时取等号，
此时．
19.解：由题意知，解得，
所以双曲线的方程为．
由题意知直线的斜率不可能为，设其方程为，，，，
联立，得，
所以，，
所以，，
证明：若直线的斜率存在，则，
因为，所以直线的方程为，直线的方程为，
令，可得，，
所以，
故为定值．
解：由知，，且，
因为，
所以，，
所以，
因为为钝角，且，，三点不可能共线，
所以，即，解得，
故的取值范围为．
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