2024-2025学年安徽省六安市新世纪学校B班高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省六安市新世纪学校B班高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为( )
A. B. C. D.
2.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生人、人、人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是( )
A. B. C. D.
3.某班级从名同学中挑出名同学进行大扫除，若小王和小张在这名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出下列说法正确的是( )
性别与喜欢理科有关
女生中喜欢理科的比为
男生不比女生喜欢理科的可能性大些
男生不喜欢理科的比为
A. B. C. D.
5.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.甲同学近次数学考试成绩情况如下：，，，，，，，，，，则甲同学数学考试成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
7.从装有个白球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件( )
A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球
C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球
8.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图为某地年至年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这年粮食年产量的极差为
B. 这年粮食年产量的第百分位数为
C. 这年粮食年产量的中位数为
D. 前年的粮食年产量的方差大于后年粮食年产量的方差
10.已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
11.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，为棱上一点，，且，若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，且球的体积为，则( )
A. B.
C. 平面平面 D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差为______；
13.一定时段内，降落到水平地面上假定无渗漏、蒸发、流失等的雨水深度叫做雨量，如日降雨量是在日内降落在某面积上的总雨量已知日降雨量小于称为小雨、日降雨量在称为中雨、日降雨量在称为大雨、日降雨量在称为暴雨某天下雨，小明将一个无盖的圆锥形的容器放置于屋外，一天后测得圆锥内水的深度为，已知圆锥的高为，则日降雨量为______．
14.如图，在正方体中，，，，，，分别是，，，，的中点，存在过点，的平面与平面平行，平面截该正方体得到的截面面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
柜子里有双不同的鞋，分别用，；，；，表示只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚如果从中随机地取出只，那么
写出试验的样本空间；
求下列事件的概率：
取出的鞋都是一只脚的；取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋．
求取出的鞋不成双的概率．
16.本小题分
某校随机抽取了名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩单位：分，然后按，，，分成组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知．
求，的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第百分位数；
已知成绩在内所有同学的平均成绩为分，方差为，成绩在内所有同学的平均成绩为分，方差为，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差．
17.本小题分
已知正方体的棱长为，为的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
某中学高三年级某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，其中，且该名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
频数
根据频率分布直方图，求，，的值，并估计数学成绩的平均分同一组数据用该区间的中点值代表；
若数学成绩不低于分的为“优”，物理成绩不低于分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率．
19.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面．
求证：平面；
求与平面所成的角；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，
，，，，；
记：“取出的鞋都是一只脚的”，
，，，，，，
，
；
记：“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，
，，，，
，
，
记：“取出的鞋不成双”，
由得，
，，，
，
．
16.解：根据题意可得，
于是有，
因为，，
所以参加竞赛的同学成绩的第百分位数估计在，设为，
于是有，所以分；
成绩在和成绩在内的学生人数之比为：：，
所以有分，
．
17.解：证明：如图，连接，，
则由正方体的性质易得，，
由平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，
所以平面，
又，且，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
由正方体结构特征，易知三棱锥的底面为等腰且高为，
所以三棱锥的体积．
18.解：根据题意可得，
又，，解得，，，
数学成绩的平均分为：
；
数学成绩为“优”的同学有人，物理成绩为“优”有人，
至少有一个“优”的同学总数为名同学，两科均为“优”的人数为人．
仅数学成绩为“优”的同学有人，仅物理成绩为“优”有人，
从人中随机抽取人的所有种情况，
而两人恰好均为物理成绩为“优”的有种情况，
两人恰好均为物理成绩“优”的概率为．
19.解：证明：如图，在梯形中，连接，因为是的中点，
所以，又因为，且，
所以四边形是菱形，所以，
因为沿着翻折成后，平面，且，平面，
所以，，
又因为，，平面，所以平面，
由题意知，，所以四边形是平行四边形，故AE，
所以平面．
因为平面，所以线段在平面内的射影为线段，
所以与平面所成的角即为，
由题可知，，，
所以是正三角形，所以平分，所以，
所以与平面所成的角为．
假设线段上存在点，使得平面，
过点作交于，连接，，如图所示：
因为，所以，所以，，，四点共面，
又因为平面，平面平面，平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点，
故在线段上存在点，使得平面，且．
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