2024-2025学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省濮阳市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是( )
A. B.
C. D.
3.若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
4.在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5.若直线：与圆：相离，则点( )
A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 位置不确定
6.已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7.曲线的周长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，为底面内的一个动点包括边界，底面，底面，且，则的最小值与最大值分别为( )
A.
B. ，
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.已知直线的方程为，，，则下列结论正确的是( )
A. 点不可能在直线上
B. 直线恒过点
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 直线上恒存在点，满足
11.如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在，，使得
B. 不存在点，，使得
C. 的最小值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为______．
13.若圆：关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是______．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点．
求圆的方程；
若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是矩形．为的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知直线：．
若直线与平行，且，之间的距离为，求的方程；
Ⅱ为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，．
设向量为平面的法向量，证明：；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，定义，为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作．
已知点和点，直线：，求和．
Ⅱ已知圆：和圆：．
若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系；
若，圆与轴交于，两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为的直线与圆交于，两点，记直线为，直线为，证明：
参考答案
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14.
15.解：已知圆的圆心在直线和直线的交点上，
联立，
得，
即圆心坐标为，
又圆过点，
所以，
所以圆的方程为．
由知，圆的圆心为，半径，
圆的方程可化为，
则圆的圆心为，半径．
因为，
所以，
所以圆与圆相交．
16.解：证明：，
，
，
，
，
，
，，平面，
平面，
又平面，
．
四边形是矩形，，
平面，，平面，
，，
以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
．
设平面的法向量为，
则，则，
令，可得，，
平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由直线与平行，设直线的方程为，
由，之间的距离为，得，解得或，
所以直线的方程为或；
Ⅱ设点关于直线：的对称点为，
则，解得，，即，
而，当且仅当，，三点共线时取等号，
直线的方程为，即，
将直线的方程与直线的方程联立方程组，解得，，点，
所以取得最大值时点的坐标．
18.解：证明：如图，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
是边长为的等边三角形，
．
以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
是平面的一个法向量，令．
，，
，，
．
，
设平面的法向量为，
则，则
令，可得，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离为．
，
设平面的法向量为，
则，则
令，可得，
平面的一个法向量为，
由可知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：根据切比雪夫距离的定义，设上任意一点为，
，，．
则，，．
当时，；
当时，，
的最小值为，故．
Ⅱ由题可知圆的标准方程为，圆心为，半径由圆的方程知圆心为，半径．
．
当，即时，由，解得，
．
此时，圆与圆相切．
当，即时，由，解得，．
此时，圆与圆相切．
，都在轴上，，
，得或舍去．
此时圆，令，解得或，
点在圆外，，．
由题意设直线的方程为，，
由可得，
当，即时，
有．
，
，，
直线与关于轴对称，即关于直线对称，
由对称性知
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