2024-2025学年北京二十中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年北京二十中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，若，则的值可以为( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.设，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，直线：，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知空间中的两条直线，都与一个平面平行，则和的位置关系为( )
A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面
6.在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知椭圆，双曲线，其中若与的焦距之比为：，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
9.已知直线：被圆：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
平面截正方体所得的截面图形是五边形；
直线到平面的距离是；
存在点，使得；
面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知为虚数单位，复数，则的虚部为______．
12.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．
13.已知圆：与圆：相交，写出满足条件的实数的一个取值为______．
14.双曲线的上焦点为，，为曲线上两点，若四边形为菱形，则的离心率为______．
15.如图，已知矩形中，，，其中，分别为边，上的点，且，将四边形折起至四边形，使平面与平面垂直动点在四边形及其内部运动，动点在四边形及其内部运动给出下列四个结论：
存在点，，使得；
存在点，，使得；
到直线和的距离相等的点有无数个；
若，则四面体的体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点求证：
Ⅰ平面；
Ⅱ平面．
17.本小题分
已知直线与直线的交点为．
Ⅰ直线经过，且与直线：垂直，求直线的方程；
Ⅱ直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆：．
Ⅰ过点作直线，其倾斜角为，求直线被圆截得的弦长；
Ⅱ求过点的圆的切线方程．
19.本小题分
已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，、分别为、的中点，过的平面交于点，平面平面．
Ⅰ证明：为的中点；
Ⅱ取的中点，连接，，，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：
到平面的距离；
二面角的余弦值．
条件：；
条件：平面．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，．
Ⅰ若，中点的纵坐标为，求直线的方程；
Ⅱ若弦长，求的值．
21.本小题分
已知椭圆：的短轴的两个端点分别为，，离心率为．
Ⅰ求椭圆的标准方程及焦点的坐标；
Ⅱ若直线与椭圆交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.证明：Ⅰ，分别为，的中点，，，
且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
Ⅱ四边形为正方形，，
，，
平面，平面，
，
，，又，，平面，
平面．
17.解：Ⅰ联立，解得，则，
又直线经过，且与直线：垂直，
直线的斜率为，则直线的方程为，即；
Ⅱ直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，
当直线过坐标原点时，直线方程为，
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，把代入，
得，即，则直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．
18.解：Ⅰ过点作直线，其倾斜角为，可得直线方程为：，即，
圆：的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，
直线被圆截得的弦长：．
Ⅱ圆：的圆心，半径为，，
由，点在圆外，当过点的直线与轴垂直，，满足题意．
当切线的斜率垂直时，设为，切线方程为，可得，解得，
切线方程为：，即．
所求切线方程为：或．
19.Ⅰ证明：因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
又是的中点，
所以为的中点．
Ⅱ解：选择条件：
因为，，所以，即，
因为正方形，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为，分别为，的中点，所以，
所以平面，
因为是正三角形，且为的中点，所以，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以到平面的距离为．
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为，所以，，，四点共面，
所以平面的法向量为，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
选择条件：
因为，分别为，的中点，所以，
又平面，所以平面，
因为是正三角形，且为的中点，所以，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以到平面的距离为．
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为，所以，，，四点共面，
所以平面的法向量为，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
20.解：Ⅰ易知直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
若，中点的纵坐标为，
此时，
解得或，
因为，
所以，
则直线的方程为；
Ⅱ由Ⅰ知，，
所以
，
解得负值舍去，
又，
所以满足条件．
故．
21.解：根据题意，椭圆：的短轴的两个端点分别为，，
则，
又由椭圆的离心率，即，变形可得，
则有，则，
故椭圆的方程为；
证明：椭圆的方程为，设，，，
将直线，代入椭圆方程化简得：，
，解得：，
则，，
则的方程为：，
令，解可得，则，
则，
欲证，即，，三点共线，只需证明即可，
只需证明成立即可，
只需证明即可，
又由，，
代入，易得该式成立，
故．
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