2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
2.设正项等比数列的公比为，若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆和圆，则圆和圆的公切线的条数为( )
A. B. C. D.
4.已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
5.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若四边形的面积等于，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线：与：交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，动直线过点，下列结论正确的是( )
A. 当与圆相切于点时，
B. 点到圆上点的距离的最大值为
C. 点到圆上点的距离的最小值为
D. 若点在上，与圆相交于点，，则
10.已知数列满足，则( )
A. 是等比数列 B. 是单调递减数列
C. D. 数列的前项和
11.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面平面
C. 当时，直线与所成角的余弦值为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
12.已知抛物线：，点在上，过点的直线与相交于，两点，直线，的斜率分别为，，则( )
A. B.
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线和：，若，则实数 ______．
14.已知抛物线上一点，则点到该抛物线的焦点的距离为______．
15.已知双曲线，直线：被所截得的弦长为，则 ______．
16.在数列与中，已知，，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设等差数列的前项和为，已知，．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，若，求正整数的最大值．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，且的离心率为，焦距为．
求的方程；
直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程．
19.本小题分
已知直四棱柱的底面是菱形，且，，，分别是侧棱，的中点．
证明：四边形为菱形．
求点到平面的距离．
20.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明是等比数列，并求的通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面．
证明：．
若，，与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆：经过点和．
求的方程；
若点，异于点是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.解：设等差数列的公差为，
由，，可得，，
解得，
所以．
由得，
所以，
所以．
令，解得，
即正整数的最大值为．
18.解：因为双曲线的离心率为，焦距为，
所以，
解得，，
则，
故C的方程为；
由知，
易知直线的斜率不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，，
由韦达定理得，
所以，
因为的面积为，
所以，
整理得，
解得，
即．
则直线的方程为或．
19.证明：取的中点，连接，因为底面是菱形且，所以，
易知，，两两垂直．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，可得，，，，，．
则，，
所以，，且，
所以四边形为菱形．
解：设平面的法向量为，
因为，，
所以，即，，得，
又，
所以点到平面的距离．
20.解：证明：由，，即，
得，
令，可得，解得，
时，，可得，
当时，，
两式相减得，
则．
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
由知，，
所以．
设，
则，
所以，
即，
由是首项为，公比为的等比数列，
可得，
所以．
21.证明：如图，
取的中点，连接，，，因为为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，因为平面，，
所以平面平面，因为平面平面，平面平面，
所以，因为，
所以，由平面，
可得，又，
所以平面，从而，又的中点为，
所以是的中垂线，
所以；
解：因为平面，所以与平面所成的角为，
又，，所以，
作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则令，得，
设平面的法向量为，
则令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
22.解：因为椭圆经过点和，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
证明：当直线不垂直于轴时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
此时，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
即，
整理得，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，
所以，
此时直线的方程为，
则直线过定点；
当直线垂直于轴时，
不妨设直线的方程为，
因为，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
解得或舍去，
此时直线的方程为，也过点．
综上，直线过定点．
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