2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知向量，，点为线段中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面、平面相交但不垂直 D. 以上均有可能
8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美下面给出四个结论：
平面；
；
二面角的平面角余弦值为；
过点至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
9.九章算术是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面上的投影为矩形的中心，，，，，长度单位：丈则楔体的体积为体积单位：立方丈
A.
B.
C.
D.
10.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上的动点给出下列结论错误的是( )
A. 三棱锥体积为定值
B. 存在唯一点使
C. 若，则点轨迹的长度为
D. 平面截正方体表面得到的截面所有边长之和为
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若直线的方向向量是，平面的法向量是，则这条直线和这个平面的位置关系是______填写“面内、相交、平行”中的一种
12.如果一个圆锥的底面半径为，侧面积为，那么圆锥的母线与底面所成的夹角等于______填写具体的角度大小
13.如图，在正四面体中，所有棱长均为，若，，，，，则 ______； ______．
14.如图，在正四棱柱中，若是的中点，则与所成角的余弦值为______；正四棱柱的外接球表面积为______．
15.如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为______．
16.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成点位于平面上方，连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：
平面；
与的夹角为定值；
三棱锥体积最大值为；
点的轨迹的长度为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，．
求直线与直线所成角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，．
求证：平面；
判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.相交
12.
13.；
14.
15.
16.
17.解：在中，由，，，可知；
再由直三棱柱性质可知，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可知，，，，
所以，
因此，
可得直线与直线所成角的余弦值为．
又易知，可得，
结合中结论可设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，可得，，
即可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
易知，又可知，
点到平面的距离为．
18.解：Ⅰ证明：因为、，、，
所以、，所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：连接，因为平面，
由Ⅰ知，所以平面，
又因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以；
Ⅲ因为平面，所以，，
又因为是正方形，所以，
于是、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
可知平面的法向量为，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以二面角的余弦值为．
19.解：证明：底面为平行四边形，，
又平面，平面，
平面，同理平面，又，
平面平面，又平面，
平面；
如图，连接，
平面平面，平面平面，，
平面，，又，，，
平面，，
，，两两垂直，
以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建系如图，则根据题意可得：
，，，
，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设线段上存在点，使得平面平面，
设，，
，
设平面的法向量为，又，
则，取，
若平面平面，则，
即，解得，
线段上存在点，使得平面平面，且此时．
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