2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市哈工大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年黑龙江省哈工大附中高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系是( )
A. 平面
B. 与平面相交
C. 在平面内
D. 与平面的位置关系无法判断
6.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：，直线与抛物线相交于，两点，点为轴上方一点，过点作垂直于的准线于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，，，是左焦点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
10.已知双曲线：的离心率为，下列双曲线中与双曲线的渐近线相同的是( )
A. B. C. D.
11.若直线：与圆：相交于，两点，则长度可能等于( )
A. B. C. D.
12.已知圆，圆，圆，圆，直线：，则( )
A. 与圆，都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支
B. 与圆外切、内切的圆的圆心轨迹是椭圆
C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线
D. 与圆，都外切的圆的圆心轨迹是一条直线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则的值是______．
14.已知抛物线，则其准线方程为______．
15.中岳嵩山是著名的旅游胜地，天气预报月日后连续四天，每天下雨的概率为，利用计算机进行模拟试验，产生之间的整数随机数，假定，，，，，表示当天下雨，，，，表示当天不下雨，每个随机数为一组，产生如下组随机数：
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为______．
16.双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点如图，已知双曲线：，，为双曲线的左、右焦点某光线从出发照射到双曲线右支的点，经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线在点处的切线与轴交于点，若，且反射光线所在直线的斜率为，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图：是平行四边形，平面，，，，．
求证：平面；
求证：平面．
19.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点．
Ⅰ求抛物线的标准方程、焦点坐标；
Ⅱ经过焦点且斜率是的直线，与抛物线交于、两点，求以及的面积．
20.本小题分
已知双曲线，抛物线的焦点是双曲线的右顶点，且以为圆心，以为半径的圆与直线：相切．
求双曲线的标准方程；
已知直线与双曲线交于、两点，且双曲线是否存在上存在点满足，若存在，求出的值，若不存在请说明理由．
21.本小题分
椭圆：的一个焦点为，且过点．
求椭圆的标准方程和离心率；
若过点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，点在直线上，且与轴平行，求直线恒过的定点．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.或
17.解：因为，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，故，所以．
由余弦定理得，所以，
故．
18.证明：取的中点，连，，
因为，，，即，且，
则为平行四边形，则，且，
又因为是平行四边形，则，且，
可得，且，
可知为平行四边形，则，
且平面，平面，
所以平面；
在中，，，，
由余弦定理可得，即，
则，可得，
因为平面，平面，则，
且，，平面，
所以平面．
19.解：Ⅰ因为抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点，
设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，
解得，
所以抛物线的标准方程为，焦点坐标为；
Ⅱ因为直线经过焦点且斜率是，
所以直线的方程为，
联立，
消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，，
此时，
又，
故．
20.解：抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，即，
，
双曲线的方程是；
设，，
联立方程得，消去得，
，解得或，
由韦达定理得，，，
，，
即，
，
解得，
不满足式，所以不存在符合题意．
21.解：法一：由题意，可得，
则椭圆的标准方程为：，离心率为；
法二：设椭圆的左焦点为，
则由椭圆的定义知，
所以，又，得，则椭圆的标准方程为：，
离心率为；
因为直线过点且斜率不为，
所以设直线方程为，，，则，
联立，消去得，，
所以，所以，
直线方程为，由对称性可知直线恒过的定点在轴上，
所以令，得，且，
所以，
可得，直线恒过的定点．
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