2024-2025学年四川省成都市树德中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市树德中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. ， B. ，
C. 或 D.
3.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题：，，命题：，恒成立若和都为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D.
5.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
6.用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若幂函数在区间上是减函数，则
D. 命题“，”的否定为“，”
9.已知函数满足，则关于函数正确的说法是( )
A. 的定义域为 B. 值域为，且
C. 在单调递减 D. 不等式的解集为
10.已知，均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 值域为
C. 当时，恒有成立
D. 若，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为______．
13.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，，求的取值范围；
若，，求的取值范围．
16.本小题分
已知集合为使函数的定义域为的的取值范围，集合为常数，，若是的必要条件，试求实数的取值范围．
17.本小题分
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式；利润销售收入成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
18.本小题分
已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．
求的值，
判断函数的单调性并加以证明；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
时，求不等式的解集；
当，时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值．
参考答案
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12.，
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15.若，，则，
当时，，满足，
当时，，要使，
则需，解得，
综上所述，的取值范围是．
若，，，
当时，，要使，
则需或，解得．
当时，，满足．
综上所述，时，或，
所以当时，．
16.解：集合为使函数的定义域为，
故，
所以，解得；
集合，
故：，整理得：，
由于是的必要条件，
所以，
故，整理得．
17.解：．
当时，，
，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
，
，
当年产量为万台时，该公司获得的利润最大为万元．
18.解：函数的定义域为，
对任意正实数、都有，且当时，．
令，则，所以，
所以．
函数在上是增函数，
证明：设，则，
因为，所以，故，
所以，所以函数在上是增函数；
当时，关于的不等式恒成立．
对任意正实数、都有，
所以，
又因为，则可化为．
由知函数在上是增函数，
所以对任意的恒成立，所以且对任意的恒成立．
所以，记，，
二次函数在区间上为增函数，所以，，所以．
因此，实数的取值范围是．
19.解：设函数，
若，且集合中有且只有一个元素，
当时，，
当时，由，解得，满足题意；
当时，由有一解，得，解得或，
所以实数的取值集合；
由，得，
整理得，即，而，则，
当时，，解得或；
当时，，解得；
当时，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为；
当，时，记不等式的解集为，集合，
若对于任意正数，，
集合，对于任意正数，，由，
得当时，函数，则，即，
因此，令，则，
于是，当且仅当，即，，时取等号，
所以的最大值为．
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