2024-2025学年河北省石家庄二十四中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省石家庄二十四中高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是幂函数，则( )
A. B. C. D.
2.函数零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
5.若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )
A. B. C. D.
6.设函数，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.已知在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若，则
D. 若，，且，则的最小值为
10.定义在上的函数，对任意的，，都有，且函数为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. 关于直线对称
B. 在上单调递增
C.
D. 若，则的解集为
11.已知函数其中若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数可能的值有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数且的图象经过定点，则定点坐标______．
13.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集为______．
14.教材必修第页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
求值：；
．
16.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数为奇函数．
写出的定义域，并求的值；
判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
某机械厂生产一批零件，受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率与日产量万件之间满足关系：其中为小于的正整数已知每生产万件合格的零件该厂可以盈利万元，但每生产万件次品将亏损万元，故厂方希望定出合适的日产量使得利润最大注：次品率次品数生产量，如表示每生产件产品，有件为次品，其余为合格品．
将生产这批零件每天的盈利额万元表示为日产量万件的函数；
当日产量为多少时，该厂可获得最大利润？
19.本小题分
已知函数．
若，求在区间上的值域；
若方程有实根，求实数的取值范围；
设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：原式；
原式．
16.解：当时，，所以，
，
所以，；
若，则，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述：的取值范围为．
17.解：函数的定义域为，
则，解得，此时，
满足，
所以；
由知：，
则函数在定义域上单调递增，
证明如下：
设任意的，
则，则，，，
则，
所以，即，
所以函数在定义域上单调递增．
因为不等式对任意的恒成立，
且函数为上的奇函数，
所以，对任意的恒成立，
又因为函数为增函数，则，
则对任意的恒成立，
所以，解得．
因此实数的取值范围是．
18.解：次品率与日产量万件之间满足关系为：
其中为小于的正整数，
又，
当时，，故，
当时，，故，
盈利额万元与日产量万件间的函数关系为：
；
当时，每天的盈利额为；只需求时的最大值，
设，，则，且，
，
当，即时，，
当且仅当，即时，
取最大值，此时；
当，即时，易知在上单调递增，
在上单调递减，
当，即时，取最大值．
综上所述，当时，日产量万件时，可获最大利润；
当时，日产量万件时，可获最大利润．
19.解：当时，，
令，因为，所以，
则原函数即为二次函数，开口向上，对称轴为，
所以当，函数单调递增，
所以，
，
所以．
所以时，在区间上的值域为；
由知当令，，，
则，
即有实数根，此时实数根大于零，
所以可得，
即，解得：．
所以方程有实根时，
实数的取值范围为；
由题意得，
若对任意的，总存在，使得，可得，
由函数可得，
当时单调递减，当时单调递增，
又函数为增函数，
所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，
所以当时，有最小值，
由知当令，，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在时均单调递增，
所以函数在时单调递增，
所以，
所以，．
所以实数的取值范围为
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