2024-2025学年江苏省常州市横林高级中学高二(上)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.圆心在轴上,半径为,且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.如图,某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分忽略笔筒的厚度,该笔筒中间最窄处的直径为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.已知点在椭圆上,点,分别为椭圆的左、右焦点,满足,的面积为,椭圆的焦距为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.已知为抛物线上的一个动点,直线:,直线:,则到直线、的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
7.瑞士数学家欧拉在三角形的几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上这条直线被称为欧拉线已知的顶点,,,若直线:与的欧拉线平行,则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,点在的右支上,与的一条渐近线平行,交的另一条渐近线于点,若,则的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 若直线的方程,则直线的倾斜角为
B. 已知曲线:不全为,则曲线的周长为
C. 若直线与直线垂直,则
D. 圆:与圆:的公切线条数为
10.已知椭圆的左、右两个焦点分别为,,为椭圆上一动点,,则下列说法正确的是( )
A. 存在点使 B. 的周长为
C. 的最大面积为 D. 的最大值为
11.已知是抛物线:的焦点,,是抛物线上的两点,为坐标原点,则( )
A. 若,则的面积为
B. 若垂直的准线于点,且,则四边形周长为
C. 若直线过点,则的最小值为
D. 若,则直线恒过定点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若从点引圆的切线,则切线长是______.
13.已知双曲线:的一条渐近线与圆:交于,两点,则 ______.
14.已知为直线上的一点,过作圆:的两条切线,切点分别为,,若直线上有且只有一个点满足,则 ______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为实数,直线:恒过一定点记作,为直角的一个顶点,为直角顶点,点在轴上.
求点,的坐标;
求斜边中线所在的直线方程.
16.本小题分
已知和为圆:上两点.
求圆的方程;
过点向圆作切线,求切线的方程;
若过的直线交于另一点,若的面积最大,求此时的方程.
17.本小题分
已知抛物线:的焦点为,点是上的一点,且.
求和的值;
过点的直线与交于,两点,记直线,的斜率分别为,,其中为坐标原点,求证:为定值.
18.本小题分
已知双曲线,其中一条渐近线的倾斜角为,点,坐标原点.
求的值;
直线经过点,与的两条渐近线分别交于点,若的面积为,求直线的方程;
如图,直线交双曲线的右支于不同两点,,若,求实数的取值范围.
19.本小题分
在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,短轴的一个端点的坐标为.
求椭圆的方程;
点为椭圆的右焦点,过上一点的直线:与直线:交于点为,直线交于另一点,设与交于点证明:
;
为线段的中点.
参考答案
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15.解:将:整理可得,
令,解得,,
故直线恒过定点,
设,,则,即,
即,可得,
解得,故B;
由于,,故AB的中点坐标,
则,
所以直线方程为,
即.
16.解:和为圆:上两点,
可得,解得,
故圆的方程为.
圆的圆心为,半径为,
若直线的斜率存在,设直线的方程为,即,
由题意可得,解得,
此时,直线的方程为,即.
若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时,圆心到直线的距离为,合乎题意;
综上所述,直线的方程为或.
,
当且仅当时,等号成立,
此时,是等腰直角三角形,且,
则圆心到直线的距离为,
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时圆心到直线的距离为,不合乎题意,
,直线的斜率存在,设直线的方程为,即,
由题意可得,整理得,解得或,
因此,直线的方程为或,
即直线的方程为或.
17.解:根据题意可得,,抛物线方程为,
又因为在抛物线上,所以,因此;
证明:根据第一问知焦点为,显然直线与不重合,
令直线的方程为,设,,
根据,得,所以,
又因为,,
因此,
因此.
18.解:根据题意可得,;
由题意可知直线的斜率存在,
设直线的方程为:,
联立,可得,不妨取,
,
同理可得,,
的面积为,解得,
直线的方程为:,即;
由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值,
,
设,,的中点为,
联立,可得,
,
又,
,,
又,,
,
联立,可得,,
将代入双曲线方程中,可得,
在双曲线的右支内部,,
又,,,
.
19.解:设椭圆的半焦距为,
椭圆的短轴的一个端点的坐标为,
,
又,则,
结合可知,,,
椭圆的方程为;
证明:将代入得,,解得,则,
又,,则,
,
,故;
由直线过焦点,得直线的方程为,
代入椭圆方程,并结合整理得,,
设,则,
设中点为,则,,
,
,即共线,即的中点在直线上,从而与重合,
故是线段的中点.
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