2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，，若，，共面，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
2.若圆与圆相切，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，为圆：上一动点，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线左，右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，点在椭圆：运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线与交于点，点在第一象限，若，则与面积之和的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的边长为，、、、分别为、、、的中点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 二面角的大小为
10.抛物线：的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则( )
A. 若，则直线的斜率为或
B. 若，则
C. 若和不平行，则
D. 若，则的最大值为
11.已知，是双曲线的左、右焦点，且，点是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交轴于点，过点作垂直于于点则下列说法正确的是( )
A. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为
B. 当时，面积为
C. 当时，点的坐标为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线
：的距离小，则 ______．
13.如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，
且，则的面积是______．
14.已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点，，且圆心在上．
求圆的标准方程；
若直线：与圆交于、两点，求线段的长度．
16.本小题分
如图，平面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知双曲线的焦距为，离心率为，，分别为的左、右焦点，两点，都在上．
求的方程；
若，求直线的方程；
若，且，，求四个点，，，所构成四边形的面积的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
求证：直线平面；
设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离．
19.本小题分
阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，其中，分别为直线和的斜率结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点．
求椭圆的方程；
求的角平分线所在的直线的方程；
过点的且斜率存在的直线，分别与椭圆交于点，均异于点，若点到直线，的距离相等，证明：直线过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为圆过点，，
所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，
又圆心在上，所以，解得，所以圆心，
又，所以圆的标准方程为．
圆心到直线：的距离，
所以．

16.证明：因为平面，，平面，
所以，，
因为，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，因为平面，，，
所以，，，，，，
因为，，两两垂直，所以为平面的一个法向量，
因为，
所以，所以，
因为平面，
所以平面；
解：由可得，
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：因为双曲线的焦距为，离心率为，
所以，解得，
故曲线的方程为．
由有，因为，所以，所以，
所以直线过右焦点，且直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立，消去可得，
易知，其中恒成立，
，
代入，消元得，
所以，解得，满足，
所以直线的方程为．
因为，，
则，，分别在两支上，且，，都在的上方或的下方，
不妨设都在的上方，又，
则在第二象限，在第一象限，如图所示，
延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点，
由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的倍，
由题设，直线的方程为，直线的方程为，
由第问易得，
因为，所以，
两条直线与间的距离，
所以，
令，
所以，
设，则，在上恒为减函数，
所以在上恒为增函数，
当时即，取得最小值为，
所以四个点，，，所构成的四边形的面积的最小值为．
18.解：证明：由菱形的性质可知，
因为平面
所以，且，
所以直线平面；
以点为坐标原点，，方向为轴，轴正方向，
如图所示，在平面内与垂直的方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，且，
由于，
故：，据此可得：，
即点的坐标为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
据此可得平面的一个法向量为：，
二面角的余弦值为，故：，
整理得，
解得：．
由点的坐标为或．
易知点到底面的距离为或者．
19.解：四边形的面积为，解得，
可得，即，又为椭圆上一点，
，得，解得，，
椭圆的方程为；
由，
，
设的角平分线所在的直线的斜率为，则，
根据到角公式可得，化简得，正值舍去，
此时直线的方程为，即；
证明：设直线，的斜率分别为，，
可得直线：，：，
若点到直线，的距离相等，则，化简得，
由椭圆方程与方程联立，
可得，
，可得，
，
，
同理可得，，
，
，
可得直线的方程为，
化简得，
，
由，解得，
可得直线过定点．

第1页，共1页