2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨四中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨四中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“对任意，都有”的否定是( )
A. 存在，使得 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 对任意，都有
3.不等式的解集是( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.下列各组函数是同一函数的是( )
与；
与；
与；
与．
A. B. C. D.
6.下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
8.十六世纪中叶，英国数学家雷德科在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首先使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，，，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数、的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
10.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 函数的最小值是
11.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影设，用符号表示不大于的最大整数，如，称函数叫做高斯函数下列关于高斯函数的说法正确的有( )
A. B. 若，则
C. 函数的值域是 D. 函数在上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.若正数，满足，则的最小值是______．
13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
14.，则函数的解析式为______．
15.若幂函数在区间上是严格减函数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，．
求集合、；
求和．
17.本小题分
已知函数．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并证明．
18.本小题分
已知函数，且．
求；
判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明．
画出函数在上的大致图象要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势
19.本小题分
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥等人工费元已知这种水果的市场售价大约元千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为单位：元．
求单株利润元关于施用肥料千克的关系式；
当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调增区间写出结论即可；
在的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围．
当，求函数在上的最小值．
参考答案
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16.解：集合，
集合；
；
或，
所以．
17.解：根据题意，函数，
则有且，
解可得：且，
即函数的定义域为；
函数是偶函数．
证明如下：函数的定义域为，
则，
故，
，
所以是偶函数．
18.解根据题意，函数，且，
所以，所以．
函数，函数在上是单调递减．
证明如下：设，
则．
因为、，所以，所以，，
又因为，所以，
所以，即，
所以函数在上是单调递减．
函数在上的大致图象如图，

19.解：依题意，
又
所以
当时，，图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为．
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
因为，
所以当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的单株最大利润是元．
20.解：当时，，
根据二次函数的性质可知，的单调增区间为，；
当时，化为在上恒成立，
因为函数在上单调递减，
所以，所以，
即的取值范围为；
当时，，开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递增，；
当时，，对称轴，
结合二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，，，
所以，
即，
综上所述，．
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