2024-2025学年山东省菏泽市菏泽一中高一（上）质检数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽一中高一（上）质检数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.已知，且，，且，若，则与在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
4.如图，终边在阴影部分含边界的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知扇形的周长为，圆心角为弧度，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下运算中正确的有( )
A. 若，，则
B.
C.
D.
10.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则或
D. 若方程有两个不同的实数根，则
11.对于任意的，表示不超过的最大整数十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. ，
D. 对于任意的，，不等式恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.幂函数的图象过点，则______．
13.已知，不等式对恒成立，则的取值范围是______．
14.已知函数，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求，的值；
当时，，，，求的最小值．
16.本小题分
已知函数，是奇函数，
求，的值；
若是区间上的减函数且，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的值域；
设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
“宸宸”“琮琮”“莲莲”是年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本百万元与利润百万元的关系如表：
百万元
百万元
当投资成本不高于百万元时，利润百万元与投资成本百万元的关系有两个函数模型与可供选择．
当投资成本不高于百万元时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
当投资成本高于百万元时，利润百万元与投资成本百万元满足关系，结合第问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本百万元应该控制在什么范围结果保留到小数点后一位参考数据：
19.本小题分
若函数在定义域的某区间上单调递增，而在区间上单调递减，则称函数在区间上是“弱增函数”．
判断和在上是否为“弱增函数”写出结论即可，无需证明；
若在上是“弱增函数”，求实数的取值范围；
已知是常数且，若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：若不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以，，即；
由，知，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
16.解：函数，是奇函数，
，且，
解得，．
，
．
是奇函数，
，
是区间上的减函数，
，即有，
，
则实数的取值范围是．
17.解：当时，，，
令，
因为，则，
所以，其中，
所以当时，；
当时，，
即，
所以的值域为；
因为，，
设，
则在单调递减，在单调递增，
由复合函数单调性得在单调递减，在单调递增，
故，
因为对任意，存在，使得成立，
则，
所以在上恒成立，
令，
因为，则，
即在上恒成立，
则在 上恒成立，
而在 上单调递增，
故，
所以，
即．
18.解：最符合实际的函数模型为，
理由如下：
若选函数，将点，代入可得，
解得，所以，
当时，可得，与实际数据差别较大；
若选函数，
将点，代入可得，解得，
所以，当时，可得，符合题意，
综上可得，最符合实际的函数模型为．
由题意知，利润与投资成本满足关系式，
要获得不少于一千万的利润，即，
当时，即，即，
又因为，所以；
当时，即，可得，
解得，又因为，所以，
综上可得，，
所以要获得不少于一千万的利润，投资成本千万的范围是．
19.解：根据题意，对于，
因为在上单调递增，
故不是上的“弱增函数”；
对于，在上单调递增，
有在上单调递减，
故是上的“弱增函数”；
根据题意，若在上是“弱增函数”，
则在上单调递增，且在上单调递减．
的对称轴为，
在上单调递增；
令，，为对勾函数，
当时，，由对勾函数性质知：在单调递减，
当时，即时，在上单调递减；
在上为“弱增函数”时，的取值范围是．
根据题意，若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，
而，则有，
分种情况讨论：
当时，分析可得：在为常数函数，故不是“弱增函数”；
当时，若在区间上为“弱增函数”，
则单调递增，单调递减．
令，
当时，分析可得：在单调递增，故不可能为“弱增函数”；
当时，为对勾函数，在单调递减，在单调递增．的对称轴为；
为“弱增函数”可得或，
解可得：或．
时，为“弱增函数”；
当时，若为“弱增函数”，则有，解可得：；
综上可得，的取值范围是．
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