江苏省无锡市江阴市南菁中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省江阴市南菁中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 6}， = { | ≥ 1}，则 ∪ 为( )
A. { | 1 < < 6} B. { |1 < < 6} C. { |1 ≤ < 6} D. ){ | > 1}
2.已知定义在 上的函数 ( )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
1 2 3 4 5 6
( ) 136.1 15.6 3.9 10.9 52.5 232.1
判断函数的零点个数至少有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2
3.函数 = 2 5 6的单调递减区间是( )
5 5
A. ( ∞, ) B. ( , +∞) C. ( ∞, 1) D. (6, +∞)
2 2
4.已知幂函数 = ( )的图象过点(3, √ 3)，则函数 = ( ) + (2 )的定义域为( )
A. ( 2,2) B. (0,2) C. (0,2] D. [0,2]
ln( +√ 2+1)
5.函数 ( ) = 的图象大致为( )
2 2+1
A. B.
C. D.

6.中国的5 技术领先世界，5 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： = 2(1 + ).它表示：在受
噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪

声功率 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，


若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至8000，则 大约增加了( )( 2 ≈ 0.3010)

A. 10% B. 30% C. 60% D. 90%
7.设 ( )是定义域为 的偶函数，且在(0, +∞)单调递减，则( )
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1 3 2 2 3
(log ) > (2 ) > (2
1
A. 3 2 3) B. (log3 ) > (2

3) > (2 2)
4 4
3 2 1 2 3 1
C. (2 2) > (2 3) > (log3 ) D. (2 3) > (2 2) > (log4 3
)
4
lg| 1|, ≠ 1
8.定义域为 的函数 ( ) = { ，若关于 的方程 2( ) + ( ) + = 0恰有5个不同的实数解 ，
1, = 1 1
2， 3， 4， 5，则 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5)等于( )
A. 1 B. 2 2 C. 31 2 D. 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于① > 0，② < 0，③ > 0，④ < 0，⑤ > 0，⑥ < 0，则 为第二象限
角的充要条件为( )
A. ①③ B. ①④ C. ④⑥ D. ②⑤
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“ ∈ ， ≥ 1”的否定是“ ∈ ， < 1”

B. 若 是第二象限角，则(sin( + ), tan( + ))在第三象限
2
1
C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角(正角)为的弧度数为
2
2√ 5
D. 若角 的终边过点( , 2 )( ≠ 0)，则 =
5
11.已知 2 + + > 0的解集是( 2,3)，则下列说法中正确的是( )
A. 若 满足题目要求，则有2024 > 2023 成立
12 8
B. 的最小值是
3 +4 3
C. 函数 = lg( 2 + + 1)的值域为 ，则实数 的取值范围是(0,4)
D. 当 = 2时， ( ) = 3 2 + 6 ， ∈ [ , ]的值域是[ 3,1]，则 的取值范围是[2,4]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知2 = 3，log45 = ，则8
2 = ______．
13.已知奇函数 = ( )在区间[0, +∞)上的解析式为 ( ) = 2 + cos3 ，则 = ( )在区间( ∞, 0)上
的解析式 ( ) = ______．
( ) ( )
14.设 ( )是定义在 上的奇函数，对任意的 1， 2 ∈ (0, +∞)， ≠ ，满足：
2 1 1 2
1 2 > 0，若 (3) = 6， 1 2
则不等式 ( ) 2 ≤ 0的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
若 = { | 2 + 2 19 = 0}， = { | 2 5 + 6 = 0}， = { | 2 + 2 8 = 0}．
(1)若 = ，求 的值；
(2)若 ∩ ≠ ， ∩ = ，求 的值．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = lg(10 1)．
(1)求函数 ( )的定义域和值域；
(2)设函数 ( ) = ( ) lg(10 + 1)，若关于 的不等式 ( ) < 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
5
已知函数 ( ) = cos( + )， ∈ ．
12
√ 3
(1)若 ( ) = ， < < ，求cos( )的值；
3 2 12
5 √ 3 1
(2)若 ( ) ( + ) = ，求 + 的值．
12 12 3 tan
18.(本小题17分)
若函数 = ( )同时满足：
①函数在整个定义域是增函数或减函数；
②存在区间[ , ]，使得函数在区间[ , ]上的值域为[ 2, 2]，则称函数 ( )是该定义域上的“闭函数”．
(1)判断 ( ) = 2 2是不是 上的“闭函数”？若是，求出区间[ , ]；若不是，说明理由；
(2)若 ( ) = √ 2 2 + 2 ( ≥ √ 2)是”闭函数”，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中
16
释放的浓度 (单位：毫克/立方米)随着时间 (单位：小时)变化的关系如下：当0 ≤ ≤ 4时， = 1；
8
1
当4 < < 10时， = 5 .若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻
2
所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的
病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒 (1 ≤ ≤ 4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能
够持续有效消毒，试求 的最小值(精确到0.1，参考数据：√ 2取1.4)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
27
12.【答案】
125
13.【答案】 2 cos3
14.【答案】( ∞, 3] ∪ [0,3]
15.【答案】解：(1)由 中方程变形得：( 2)( 3) = 0，
解得： = 2或 = 3，即 = {2,3}，
由 = ，得到2和3为 中方程的解，
∴ = 2 + 3 = 5；
(2)由 中方程变形得：( 2)( + 4) = 0，
解得： = 2或 = 4，即 = { 4,2}，
∵ ∩ ≠ ， ∩ = ，
∴ 3 ∈ ，
把 = 3代入 中方程得： 2 3 10 = 0，即( 5)( + 2) = 0，
解得： = 5或 = 2，
当 = 5时， = {2,3}，此时 ∩ ≠ ，舍去，
则 = 2．
16.【答案】解：(1)由10 1 > 0，可得 > 0，所以定义域为(0, +∞)；
∵ 10 1 > 0，∴ lg(10 1) ∈ ，
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故函数 ( )的值域为 ．
10 1
(2) ( ) = lg(10 1) lg(10 + 1) = lg(
10
)，
+1
10 1 10 +1 2 2
= = 1 10 +1 10 +1 10
，
+1
1 1
当 > 0时，10 + 1 > 2，则0 < < ，
10 +1 2
2 2
则0 < < 1，则 1 < < 0， 10 +1 10 +1
2
则0 < 1 < 1，即 ( ) < 0， 10 +1
若于 的不等式 ( ) < 恒成立，
则 ≥ 0，
即实数 的取值范围是[0, +∞)．
7 5
17.【答案】解：(1)因为 < < ，可得 < + < ，
2 12 12 12
5 √ 3 5 √ 6
又cos( + ) = ，可得sin( + ) = ，
12 3 12 3
5
由于( + ) + ( ) = ，
12 12 2
5 5 √ 6
所以cos( ) = cos[ ( + )] = sin( + ) = ；
12 2 12 12 3
5 √ 3 5
(2)因为 ( ) ( + ) = ， ( ) = cos( + )，
12 12 3 12
√ 3
所以 + = ，
3
1 1
两边平方，得1 + 2 = ，可得 = ，
3 3
1 1 1
可得 + = + = = = 3．
tan cos sin sin cos 1
3
18.【答案】解：(1) ( ) = 2 2是 上的增函数，
若函数 ( ) = 2 2为“闭函数”，则存在 ， ( < )，使得函数 ( )在[ , ]上的值域为[ 2, 2]，
( ) = 2 2 = 2
所以{ 2， ( ) = 2 2 =
所以关于 的 2 2 + 2 = 0至少有两个不相等的实数根，
因为 = 4 8 < 0，
所以方程无解，
故函数 ( )不是“闭函数”；
(2)因为 ( ) = √ 2 2 + 2 ( ≥ √ 2)是[√ 2, +∞)上的增函数，
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若 ( ) = √ 2 2 + 2 ( ≥ √ 2)是“闭函数”，
则存在 ， ∈ [√ 2, +∞)( < )，使得函数 ( )在[ , ]上的值域为[ 2, 2]，
( ) = √ 2 2 + 2 = 2
所以{ ，
( ) = √ 2 2 + 2 = 2
则关于 的方程√ 2 2 + 2 = 2在[√ 2, +∞)上有两个不相等的实数根，
令 = √ 2 2 ≥ 0，
则 ( ) = 2 + 2 2 ，
所以函数 ( )在[0, +∞)上有两个零点，
= 1 4(2 2 ) > 0 7
则{ ，解得 < ≤ 1，
(0) = 2 2 ≥ 0 8
7
所以实数 的取值范围为( , 1]．
8
19.【答案】解：(1) ∵一次喷洒4个单位的净化剂，
64
1,0 ≤ ≤ 4
∴浓度 ( ) = 4 = {8 ，
20 2 , 4 < < 10
64
则当0 ≤ ≤ 4时，由 4 ≥ 4，
8
解得 ≥ 0，此时0 ≤ ≤ 4，
当4 < < 10时，由20 2 ≥ 4，
解得4 < ≤ 8，
综合得0 ≤ ≤ 8，
∴若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
(2)设从第一次喷洒起，经 (6 ≤ < 10)时，
1 10 16
浓度 ( ) = 2(5 ) + [ 1] = (14 ) + 4，
2 8 ( 6) 14
∵ 14 ∈ (4,8]，而1 ≤ ≤ 4，
∴ 4√ ∈ [4,8]，
故当且仅当14 = 4√ 时， ( )有最小值为8√ 4，
令8√ 4 ≥ 4，
解得24 16√ 2 ≤ ≤ 4，
∴ 的最小值为24 16√ 2 ≈ 1.6．
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