辽宁省名校联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省名校联盟 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.90 × 91 × 92 × …× 100 =( )
A. 10 11 12 11100 B. 100 C. 100 D. 101
2 2
2.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ( 1,0)，且椭圆 上的点与两焦点构成的三角形的面积的
最大值为2√ 2，则椭圆 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
9 8 9 6 8 7 6 5
3.若 3 +6 4 218 = 18 ，则 的值为( )
A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 2或4
4.已知直线 ： 2 + 2 = 0( ∈ )过定点 ，若 为圆 ：( 5)2 + ( 6)2 = 4上任意一点，则| |
的最大值为( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
5.已知向量 = (2, 1,2)， = ( 1,3, 3)， = (13,6, )，若 ， ， 共面，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2 2 3 5
6.已知双曲线 ： + = 1，则 的渐近线方程为 = ± 是 的离心率为 的( )
4 4
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图所示，在正方体 1 1 1 1中， 是棱 1的中点，点 在棱 1 1
上，且 = 1 1 1，若 1 //平面 1 ，则 =( )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
2
D.
3
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8.据典籍《周礼 春官》记载，“宫、商、角、微、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”
就是指此五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音
阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是( )
A. 50 B. 64 C. 66 D. 78
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2
9.已知在( + ) 的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则( )
√
A. = 6 B. 展开式的各项系数和为243
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中不含常数项
10.已知空间中三点 (2,0,1)， (2,2,0)， (0,2,1)，则( )
2√ 5 √ 5A. 与向量 方向相同的单位向量是(0, , )
5 5
B. 在 上的投影向量是( 1,1,0)
1
C. 与 夹角的余弦值是
5
4 4 8
D. 坐标原点 (0,0,0)关于平面 的对称点是( , , )
3 3 3
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 2处发
出的光线，经过双曲线在点 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 1，且
双曲线在点 处的切线平分∠ 1 2．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 过点(3, 1)，其左、右焦点分别为 1， 2.
若从 2发出的光线经双曲线右支上一点 反射的光线为 ，点 处的切线交 轴于点
，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线 的方程为 2 2 = 8
B. 过点 且垂直于 的直线平分∠ 2
C. 若 2 ⊥ ，则| 1| | 2| = 18
4√ 30
D. 若∠ 1 2 = 60°，则| | = 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知抛物线 2 = 4 ，点 是抛物线上一动点，点 (4,2)是平面上的一定点，则| | + | |的最小值为
______．
13.若直线 + (1 + ) 2 = 0与直线 + 2 + 4 = 0平行，则实数 的值______．
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14.如图，在三棱锥 中，底面是边长为2的等边三角形， ， 分别是 ，
的中点，且 = = = 1，则直线 与平面 所成角为______，四
棱锥 的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(1 + 2 )2 + (1 + 2 )3 + + (1 + 2 ) = 9 + + 21 2 + +
．
(1)求 的值；
(2)求( 1 + 3 + 5 + ) ( 2 + 4 + 6 + )的值；
(3)求 2的值. (结果用数字表示)
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
为 1 1与 1 1的交点，若 = ， = ， 1 = ，
(1)用 ， ， 表示 和 1；
(2)求cos < 1 >的值．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系 中，已知动圆 与圆 2 + 2 2 = 0内切，且与直线 = 2相切，设动圆圆心 的
轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 (1,0)作两条互相垂直的直线与曲线 相交于 ， 两点和 ， 两点，求四边形 的面积 的最小
值．
18.(本小题17分)
在四棱柱 1 1 1 1中，已知 1 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2， 1 = √ 5，
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是线段 1 上的点．
(1)点 1到平面 1 的距离；
(2)若 为 1 的中点，求异面直线 1与 所成角的余弦值；
√ 5
(3)在线段 1 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，请确定 点位置；若不存在，5
试说明理由．
19.(本小题17分)
通过研究发现对任意平面向量 = ( , )，把 绕其起点 沿逆时针方向旋转 角可得到向量 =
( , + 0)，这一过程叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 ．

(1)已知平面内点 ( √ 3, 2√ 3)，点 (√ 3, 2√ 3)，把点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，求点 的坐标；
3
2 2
(2)已知二次方程 2 + 2 = 1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆
2
+ 2 = 1( > > 0)绕原点


逆时针旋转 所得的斜椭圆 ．
4
( )求斜椭圆 的离心率；
√ 6 √ 6
( )过点 ( , )作与两坐标轴都不平行的直线 1交斜椭圆 于点 ， ，过原点 作直线 2与直线 1垂直，3 3
√ 2 1
直线 2交斜椭圆 于点 ， ，判断 + 2是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． | | | |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】1
11
14.【答案】
2 2
15.【答案】解：(1)由题意令 = 0，则1 × ( 1) = 9，解得 = 10；
(2)由(1)，已知等式化简为：(1 + 2 )2+. . . +(1 + 2 )10 = 9 + 1 +. . . +
10
10 ，
令 = 1，则( 1)2 + ( 1)3+. . . +( 1)10 = 9 1 + 2 3+. . . + 10，
即9 1 + 2 3+. . . + 10 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 = 1，
所以 1 2 + 3 . . . 10 = 8，则( 1 + 3 + 5 + 7) ( 2 + 4+. . . + 10) = 1 2 + 3 . . . 10 = 8．
(3)由题意可知 2为展开式中含
2项的系数，
则 2 =
2
2 2
2 + 2 23 2 +. . . +
2
10 2
2 = 4 × ( 33 +
2 2
3 + 4+. . . +
2
10) = 4 ×
3
11 = 4 × 165 = 660．
16.【答案】解：(1)连接 1 ， ， 1，如图：
∵ = ， = ， 1 = ，
在△ 1 中，根据向量减法法则可得： 1 = 1 = ，
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∵底面 是平行四边形，∴ = + = + ，
∵ // 1 1且| | = | 1 1|，∴ 1 1 = = + ，
1 1
又∵ 为线段 1 1中点，∴ = 1 1 1 = ( + )， 2 2
1 1 1在△ 1 中 = 1 + 1 = + ( + ) = + + ， 2 2 2
平行四边形 1 1 中， = 1 + 1 = + + ．
(2) ∵ 1 = + + ， = ，
1 1
2 1+ +
又cos < ，
1 ( + + ) ( ) + + 2 2 2 √ 6 1 >= = = = = = ． | | | 1| 1×√ 6 √ 6 √ 6 √ 6 3
17.【答案】解：(1)设圆 的半径为 ，圆 2 + 2 2 = 0的圆心 (1,0)，半径为1，
因为圆 与圆 内切，所以| | = 1，
因为圆 与直线 = 2相切，
所以圆心 到直线 = 2的距离为 ，
故 到直线 = 1的距离为 1，
故圆心 到点 的距离与到直线 = 1的距离相等，
由抛物线的定义，曲线 是以 (1,0)为焦点，直线 = 1为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 2 = 4 ．
(2)设直线 的方程为 = + 1， ≠ 0， ( 1, 1)， ( 2, 2).
= + 1
联立方程组{ 2 ，整理得
2 4 4 = 0，
= 4
+ = 4
由韦达定理得{ 1 2 ，
1 2 = 4
所以| | = | | + | | = 1 + 1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = ( 1 +
2
2) + 4 = 4 + 4，
1
因为 ⊥ ，直线 的方程为 = + 1，

4
同理可得| | = 2 + 4，
1 1 4
所以， = | | | | = (4 2 + 4)( 2 + 4) 2 2
2 1 1= 8(2 + + ) ≥ 8(2 + 2√ 2 ) = 32
2 2
1
当且仅当 2 = 2，即 = ±1时，取等号．
所以四边形 面积的最小值是32．
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18.【答案】解：(1)根据题意，以点 为坐标原点， ， ， 1的方向分
别为 ， ， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,2,0)， 1(1,1,2)， 1(1,2,2)，
则 = (0,0,2)， = ( 1,1,0)， = 1 1 1 = (0,1,2)
= 2 = 0
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，则{
1 ，
= + = 0
令 = 1，则 = 1， = 0，所以 = (1,1,0)，
| | 1 √ 2
所以点 1到平面 1 的距离 =
1 = = ；
| | √ 2 2
1 3
(2)根据题意，因为 为 1 的中点，所以 ( , , 1)， 2 2
1 3所以 = ( , , 1)， = 1 1 = (0,1,2)， 2 2
3

cos , = 1
+2 √ 70
所以 1 =
2 =
| || 1| 1 9 10
，
√ + +1×√ 1+4
4 4
所以异面直线 1与 所成角的余弦值为
√ 70；
10
(3)设 = 1 = (1, 1,2) = ( , , 2 )，其中0 < ≤ 1，
则 = + = ( , 2 , 2 )， = (1,1,0)， = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + (2 ) + 2 = 0
则有{ ，
= + = 0
令 = ，则 = ， = 1 ，
所以，平面 的一个法向量为 = ( , , 1 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + (2 ) + 2 = 0
则{ ，
= 2 = 0
令 = 2，由于0 < ≤ 1，则 = 0， = 1，
所以平面 的一个法向量为 = ( 2,0,1)，
1 3
所以cos , = =| | | |
√ 2 2 2
，
√ 5 + +(1 )
若存在点 ，使得二面角 一 √ 5 — 的余弦值为 ，
5
1 3 √ 5
则| | = 2
2
2 2 2 5 ，所以3 2 = 0，解得 = 0(舍)或 = ，
√ 5 √ + +(1 ) 3
2 4 4
故存在 ( , , )满足题意，即存在点 在靠近 的三等分点处．
3 3 3 1
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19.【答案】解：通过研究发现对任意平面向量 = ( , )，
把 绕其起点 沿逆时针方向旋转 角可得到向量 = ( , + )，
这一过程叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 ．

(1)平面内点 ( √ 3, 2√ 3)，点 (√ 3, 2√ 3)，把点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，
3
1 √ 3
可得 = (2√ 3, 4√ 3)， = ， = ， = ，
3 2 2
所以 = (6 + √ 3, 3 2√ 3)，
不妨设 ( 0, 0)，
此时 = ( 0 + √ 3, 0 2√ 3) = (6 + √ 3, 3 2√ 3)，
解得 0 = 6， 0 = 3，
则点 的坐标为(6,3)；
(2)( )联立直线 = 与 2 + 2 = 1，
解得直线与椭圆交点为(1,1)和( 1, 1)，则 2 = 2，
由 = 与 2 2
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3
+ = 1交点为( , )和( , )，
3 3 3 3
则 2
2
= ．
3
2√ 3
4 √ 6
所以 2 = ， = 3 = ．
3 √ 2 3
√ 2 √ 2
( )设直线 1： = ( )， √ 3 √ 3
√ 2 2
与斜椭圆 2 + 2 = 1联立得：( 2 + 1) 2 + (3 2 2 1) + (1 )2 1 = 0，
√ 3 3
2 2 1
√ 2 2 3 +1 2 2
∵ 1 + 2 = 2 ，
2
√ 3 1
2 = ，
+1 3
2
+1
2 2 1
√ 2 2 3 +1 2 2
2
√ 2(1+ )
∴ | | = √ (1 + 2)[( 1 + 22) 4 1 ] = √ (1 + 2)[( )2 4 ×
2
2 ] = ， √ 3 2 2 2 +1 3 +1 +1
1 2 2 2 1 2 1设直线 ： = ，与斜椭圆 + = 1联立得 + + 22 2 = 1，
2 2
2 +1∴ = 2 ，∴ | |
2 = 2 ，
+ +1 + +1
2 2
√ 2 1 +1 + +1
故 + = + = 2．
| | 2 2 2| | +1 +1
√ 2 1
即 + 为定值2．
| | 2| |
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