重庆市第一中学2024-2025学年高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.若为函数的零点，则所在区间为( )
A. B. C. D.
3.已知：函数为增函数，：，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过天后，该植物的长度是原来的倍，则天后该植物的长度是原来的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数是偶函数，，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数为常数是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是( )
A. B. 在上单调递减
C. 的值域为 D. 的解集为
10.已知不等式的解集是，则下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集是
C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是
D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或
11.已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在中至少存在两个不同元素，，，，使得，则称集合具有性质，下列选项正确的有( )
A. 若集合是由所有正奇数组成的集合，则集合具有性质
B. 若集合是由所有正偶数组成的集合，则集合具有性质
C. 若，，则集合具有性质
D. 若，且为奇数，则集合具有性质和，但不具有性质
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上是减函数，则的值为______．
13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
14.定义在上的函数满足，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求值：
Ⅰ；
Ⅱ．
16.本小题分
已知集合，集合，．
Ⅰ若，求实数的值；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数为奇函数，且．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ判断在定义域内的单调性，并说明理由不需要证明；
Ⅲ解不等式．
18.本小题分
已知函数，，函数．
Ⅰ当时，求在区间上的值域；
Ⅱ若，都，使得成立，求实数的取值范围；
Ⅲ设，问是否存在实数，使得函数图像上存在两个不同的点关于对称？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的单调递增区间；
Ⅱ当时，若在上单调递增，求实数的取值范围；
Ⅲ若函数有个不相等的零点，，，在此条件下无论取何值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ
；
Ⅱ

16.解：Ⅰ因为集合，集合，．
可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得舍去或．
Ⅱ方程在区间上有个不等根，
所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
17.解：由题意可得，即，
根据奇函数定义域关于原点对称，故，
由，得，，定义域为，且，故为奇函数，
所以．
Ⅱ设，则，
因为在单调递增，在单调递增，
故在单调递增．
Ⅲ因为为奇函数且在单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以不等式的解集为．
18.解：Ⅰ当时，，图象开口向下，对称轴为，
由二次函数的图象与性质可得，
又，所以在区间上的值域为．
Ⅱ由题意可知，，即在上恒成立，
即，
由，知，则，即的取值范围是．
Ⅲ由，
若函数图象上存在两个不同点关于对称，
则存在实数，使，
即方程有解，
化简可得：有解，
分离参数可得：，
设，，，
则，由在上单调递增，
故，则，
所以．
19.解：Ⅰ当时，，
作出函数的图象如图所示：
由图象可得的单调递增区间为，．
Ⅱ当时，，
可知在上单调递增，要使在上单调递增，
只需在单调递增，故，即的取值范围是．
Ⅲ当时，由可知，在上单调递增，有个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，至多个零点，
时，，至多个零点，
故在至多个零点，不合题意；
当时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
因为有个不相等的零点，故，则．
易知当时，有个零点，
当时，有个零点，
由对称性知：，故恒成立．
当即时，，是方程的较小根，
故在单调递增，则
当，即时，是方程的较大根，
故，
在单调递减，则，
综上，故，即的取值范围是．
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