北京市北京市工业大学附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

北京市工业大学附中 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线 2 = 0的斜率为( )
1
A. 0 B. 2 C. D. 不存在
2
2.空间直角坐标系中，若点 ( 2,1,4)关于点 ( 2,0,0)的对称点为 ，则点 的坐标为( )
1
A. ( 2, 1, 4) B. ( 4, 1, 4) C. ( 6,1,4) D. ( 2, , 2)
2
3.已知点( , 2)( > 0)到直线 ： + 3 = 0的距离为1，则 等于( )
A. √ 2 B. 2 √ 2 C. √ 2 1 D. √ 2 + 1
4.已知 1( 1,0)， 2(1,0)是椭圆 的两个焦点，过 2且垂直 轴的直线交 于 ， 两点，且| | = 3，则 的
方程为( )
2 2 2 2 2 2 2
A. + 2 = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
2 3 2 4 3 5 4
5.已知圆 ： 2 + 2 6 + 4 4 = 0，则过点 (4, 1)的最短弦所在直线 的方程为( )
A. + 2 2 = 0 B. 5 = 0 C. + 3 = 0 D. 2 6 = 0
6.若直线2 + 1 = 0是圆 2 + 2 2 + 2 1 = 0的一条对称轴，则 =( )
1 1
A. B. C. 1 D. 1
2 2
7.已知直线 过点 (1,2,1)和点 (2,2,0)，则点 (1, 1, 1)到 的距离为( )
A. 3 B. 2√ 3 C. √ 11 D. 2√ 2
2 2
8.若直线 ： + = 4和圆 ： 2 + 2 = 4没有交点，则过点( , )的直线与椭圆 + = 1的交点个数
9 4
为( )
A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个
9.若给定一向量组 = { 1, 2 … , }和向量 ，如果存在一组实数 1， 2，…， ，使得 = 1 1 + 2 2 +
+ ，则称向量 能由向量组 线性表示，或称向量 是向量组 的线性组合，若 = { 1 + 2 , 2 3}, =
1 + 3 , 1 , 2 , 3为三个不共面的空间向量，且向量 是向量组 的线性组合，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 0 D. 1
10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为定值 ( ≠ 1)的点的轨迹是圆.人们
| | 1
将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知 ( 1,0)， (2,0)，动点 满足 = ，记动点 的轨迹为曲
| | 2
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线 ，给出下列四个结论：
①曲线 的方程为( + 2)2 + 2 = 4；
②曲线 上存在点 ，使得 到点(1,1)距离为6；
③曲线 上存在点 ，使得 到直线 = + 1的距离为√ 6；
④曲线 上存在点 ，使得 到点 与点( 2,0)距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2
11.双曲线 2 = 1的两条渐近线的方程为______．
3
12.抛物线 = 8 2的焦点坐标为______．
13.设 ， ∈ ，向量 = ( , 1,1)， = (1, , 1)， = (2, 4,2)，且 ⊥ ， // ，则| + | =______．
14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因
而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极
图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 轴右侧部分的边界
为一个半圆.已知直线 ： = ( 2).若直线 与黑色阴影区域的边界曲
线有2个公共点.则 的取值范围是______．
15.在△ 中，∠ = 30°，| | = 2， = √ 3.若以 ， 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆的离心率 =
______．
2 2
16.已知椭圆 ： + = 1，过原点 的直线 = 交椭圆 于 ， 两点，过点 向 轴引垂线，垂足为 ，
4 2
连接 并延长，交椭圆 于点 ，直线 和 的斜率分别为 1， 2，则下列选项正确的有______．
1 1 4√ 6
① 2 = ② 1 2 = ③ 1 = 1④若 = 1，则| | = 4 2 9
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 1 的中点.应用空间向量方法求解下列问题．
(1)求 的长；
(2)证明： ⊥平面 1 ．
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18.(本小题12分)
已知直线2 + = 0和圆 ： 2 + 2 = 5，
(1) 为何值时，没有公共点；
(2) 为何值时，截得的弦长为2；
(3)若直线和圆交于 、 两点，此时 ⊥ ，求 的值．
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 1 = = = 2，∠ = 90°， 是 1的中点．
(1)求证： //平面 1 1 1；
(2)求平面 1 与平面 夹角的余弦值；
√ 3
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 1 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的长；若不存6
在请说明理由．
20.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： +
2 2
= 1( > > 0)的长轴长为4，且点 (1, )在椭圆 上．
2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)过点 (4,0)的直线 与椭圆 交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，且 1 2 ≠ 0.问： 轴上是否存在点 ，使得直
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线 ，直线 与 轴围成的三角形始终是底边在 轴上的等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，
说明理由．
21.(本小题12分)
对于空间向量 = ( , , )，定义|| || = {| |, | |, | |}，其中 { , , }表示 ， ， 这三个数的最大
值．
11 1
(1)已知 = (6, , 1)， = ( , , )．
2 2
①写出|| ||，写出|| ||(用含 的式子表示)；
②当0 ≤ ≤ 4，写出|| ||的最小值及此时 的值；
(2)设 = ( 1, 1, 1)， = ( 2, 2, 2)，求证：|| + || ≤ || || + || ||
(3)在空间直角坐标系 中， (2,0,0)， (0,4,0)， (0,0,6)，点 是以 为球心，1为半径的球面上的动
点，点 是△ 内部的动点，直接写出|| ||的最小值及相应的点 的坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 ± √ 3 = 0
1
12.【答案】(0, )
32
13.【答案】3
4
14.【答案】( , 1)
3
√ 3 1
15.【答案】
2
16.【答案】②③④
17【. 答案】(1)解：以 为原点，分别以 ， ， 1所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示：
由正方体的棱长为2，则 1(2,0,2)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)，
1(0,0,2)， (0,0,0)，
因为 ， 分别为 ， 1 的中点，所以 (2,1,0)， (1,1,1)，
则 = ( 1,0,1)，可得| | = √ 1 + 0 + 1 = √ 2；
(2)证明：由(1)可得 = (0, 2,0)， 1 = ( 2,0, 2)，
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所以 = 0， 1 = 0，
所以 ⊥ ， ⊥ 1 ，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ．
| | | |
18【. 答案】解：(1)由已知，圆心为 (0,0)，半径 = √ 5，圆心到直线2 + = 0的距离 = = ，
√ 4+1 √ 5
| |
∵直线与圆无公共点，∴ > ，即 > √ 5，
√ 5
∴ > 5或 < 5．
故当 > 5或 < 5时，直线与圆无公共点．
2
(2)由平面几何垂径定理知 2 2 = 12，即5 = 1．
5
得 = ±2√ 5，
∴当 = ±2√ 5时，直线被圆截得的弦长为2．
(3)由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
√ 2 | | √ 2
∴ = ，即 = √ 5，
2 √ 5 2
5√ 2
解得 = ± ．
2
5√ 2
故当 = ± 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
2
19.【答案】(1)证明：在三棱柱 1 1 1中，
侧面 1 1为平行四边形，
故 AB// 1 1，又 平面 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1，
所以 //平面 1 1 1；
(2)解：因为 1 ⊥平面 ，∠ = 90°，
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 (2,0,0)， (0,2,0)， 1(2,0,2)， (0,0,1)，
所以平面 的一个法向量为 = 1 = (0,0,2)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
因为 = (2,0,1), 1 = (0,2, 1)，
1 = 0 2 + = 0所以{ ，即{ ，
= 0 2 = 0
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令 = 1，则 = 1， = 2，
故 = ( 1,1,2)，
4 √ 6
所以cos < , >= = = ，
| || | 2×√ 6 3
因为平面 1 与平面 夹角为锐角，
√ 6所以平面 1 与平面 夹角的余弦值为 ； 3
(3)解：假设存在点 ，设 = = (0,0, ), ∈ [0,1]，
= + = (0, 2,0) + (0,0, ) = (0, 2, )，
设 与平面 1 所成的角为 ，由(2)可知，平面 1 的法向量为 = ( 1,1,2)，
| | | 2+2 | √ 3
则 = |cos <
, > | = = =
| || | 2 6 ，
√ 6×√ 4+
所以7 2 16 + 4 = 0，
2
解得 = 或 = 2(舍去)，
7
2
所以在线段 上存在一点 ，使得 与平面 1 所成角的正弦值为
√ 3，此时 = ．
6 7
1 3
20【. 答案】解：(Ⅰ)由题意可得2 = 4，即 = 2，将 点的坐标代入椭圆的方程可得 + 2 = 1，解得
2 = 1，
4 4
2
所以椭圆的方程为： + 2 = 1；
4
(Ⅱ)由题意可得直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由题意可得 ， 的纵坐标同号，
假设存在 ( , 0)， ≠ 0，
= + 4
联立{ 2 2 ，整理可得：(4 +
2) 2 + 8 + 12 = 0，
+ 4 = 4
可得 = 64 2 4 × 12 × (4 + 2) > 0，即 2 > 12，
8 12
且 1 + 2 = ， = ， 4+ 2 1 2 4+ 2
设直线 ，直线 与 轴的交点分别为 ， ，

设直线 的方程为： = 1 ( )，令 = 0，可得 = 1 ， 1 1

同理可得直线 与 轴的交点 的纵坐标为 =
2 ，
2
由题意可得 + = 0，

即= 1 + ( 2 ) = 0，
1 2
整理可得： 1( 2 + 4 ) + 2( 1 + 4 )，因为 ≠ 0，
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即2 1 2 + (4 )( 1 + 2) = 0，
24 (4 ) ( 8 )
即 2 + 2 = 0，整理可得： ( 1) = 0， = 1时不论 为何值，等式恒成立， 4+ 4+
即 (1,0)，
所以存在 (1,0)满足条件．
11 1
21.【答案】解：(1)由题可知，‖ ‖ = {6, , 1} = 6, ‖ ‖ = {| |, | |, | |} = | |, = (6
2 2
11 1
, , 1 + )，
2 2
11 1
‖ ‖ = {|6 |, | |, |1 + |},0 ≤ ≤ 4．
2 2
11 1
在同一个坐标系中作出 = |6 |, = | |, = |1 + |的图像如下图所示．
2 2
11 1
因为‖ ‖ = {|6 |, | |, |1 + |}，
2 2
则函数 = ‖ ‖的图像是图中加粗部分折线，
11 1
直线 = 6 与 = 交于点 (1,5)，
2 2
11 1
直线 = + 1与直线 = 交于点 (3,4)，
2 2
由图可知，当 = 3时，‖ ‖有最小值4．
(2)|| + || = {| 1 + 2|, | 1 + 2|, | 1 + 2|} ≤ {| 1| + | 2|, | 1| + | 2|, | 1| + | 2|}，
因为|| || = {| 1|, | 1|, | 1|}, || || = {| 2|, | 2|, | 2|}，
所以| 1|, | 1|, | 1| ≤ || ||, | 2|, | 2|, | 2| ≤ || ||，
所以|| + || ≤ {| 1| + | 2|, | 1| + | 2|, | 1| + | 2|} ≤ || || + || ||．
(3)因为 是以 为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为 2 + 2 + 2 = 1，
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面 的方程为 + + = 1，即6 + 3 + 2 = 12，
2 4 6
一个法向量为 = (6,3,2)， ⊥平面 是|| ||取最小值的必要条件，证明如下：
不妨取 (1,0,0)，若 ′ ⊥平面 于 ′，
显然 ′ // ，则 ′ = 且 ∈ ，所以 ′ = (6 , 3 , 2 )，
对于面 上任意点 ( , , )都有| | ≥ | ′ |，即| 1|2 + | |2 + | |2 > |6 |2 + |3 |2 + |2 |2，
所以|| ‖ = {| 1|, | |, | |} ≥ || ′ || = {|6 |, |3 |, |2 |}，仅当 ， ′重合时取等号，
综上，‖ ||取最小，必有 ⊥平面 ，
由| | ≥ | | | |，当 ， ， 共线时取等号，故最小值在 ， ， 共线且 ⊥平面 时取得，此时
12
= (6 , 3 , 2 )且 ∈ ，则36 + 9 + 4 = 49 = 12，即 = ，
49
72 36 24
所以 ( , , )，
49 49 49
1
取 (6 , 3 , 2 )且 ∈ ，则36 2 + 9 2 + 4 2 = 1，即 = ，
7
6 3 2
所以 ( , , )，
7 7 7
72 36 24 6 3 2 30 15 10 30
综上， ( , , )、 ( , , )时，|| ‖ = { , , } = 最小．
49 49 49 7 7 7 49 49 49 49
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