浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省金砖联盟 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点( 2,6,3)关于 轴的对称点的坐标为( )
A. ( 2,6, 3) B. ( 2, 6, 3) C. (2,6, 3) D. (2,6,3)
2.已知平面 ， ，直线 满足 ， ⊥ ，则“ ⊥ ”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知复数 满足2 = 3 + 6 ，则 =( )
A. 3 2 B. 3 + 2 C. 3 + 2 D. 3 2
2 3
4.已知 > 0， > 0，两直线 1：( 1) 2 1 = 0， 2： 3 + 2 = 0，若 1 ⊥ 2，则 + 的最小值
为( )
A. 12 B. 20 C. 26 D. 32
5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3，从甲罐，
乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件 =“抽取的两个小球
标号之积小于6”，则下列说法错误的是( )
1
A. 事件 发生的概率为 B. 事件 ， 相互独立
12
2
C. 事件 ， 是互斥事件 D. 事件 ∪ 发生的概率为
3
6.当圆 ： 2 + 2 4 60 = 0截直线 ： 3 + 9 = 0所得的弦长最短时，实数 =( )
A. 1 B. √ 2 C. 1 D. √ 2
7.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边 ，其中
| | = 1给出下列结论，其中正确的结论为( )
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A.

与 的夹角为
3
B. + = +
C. | | = √ 2| |
D. 在
√ 2
上的投影向量为 (其中 为与 同向的单位向量)
2

8.已知锐角△ ，角 ， ， 的对边分别 ， ， ，且 + = 2 ，则 的取值范围是( )

1 √ 3 4√ 3 √ 3
A. ( , 2) B. ( , ) C. (√ 3, 2√ 3) D. ( , 2√ 3)
2 3 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲组数据为：2，3，4，4，6，8，8，乙组数据为：1，4，4，7，9，则下列说法正确的是( )
A. 这两组数据的第80百分位数相等
B. 这两组数据的极差相等
C. 这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D. 甲组数据比乙组数据分散
2 2
10.已知椭圆 ： + = 1，点 1， 2为椭圆两焦点，点 为椭圆 上的动点，过点 作∠ 1 2的外角平分4 2
线 ，过椭圆的焦点作直线 的垂线，垂足是 .现有一条长度为4的线段 在直线 ： + 4 = 0上运动，
且始终满足∠ 为锐角，则( )
A. 点 的轨迹方程是 2 + 2 = 4
B. 点 有可能在以 为直径的圆上
C. 点 不可能在直线 上
D. 线段 的中点的纵坐标的取值范围是( ∞, 0) ∪ (4,+∞)
11.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点， 为
正方形 1 1 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A. 直线 1 ⊥平面 1
9
B. 三棱锥 的外接球的表面积为
4
√ 3
C. 直线 与直线 1所成角的正弦值为 9
√ 6 √ 2
D. 若 1 = ，那么 点的轨迹长度为 2 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.若直线 的一个方向向量 = (3, √ 3)，则 的倾斜角大小为______．
13.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几
何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)，现有
一个如图所示的曲池，它的高为2， 1， 1， 1， 1均与曲池的底面垂直，
底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中平面
1 1与平面 1 1所成角的余弦值为______．
2 2
14.设双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点是 ，左、右顶点分别是 1
， 2，过 作 1 2的垂线与双曲

线交于 ， 两点，若 1 ⊥ 2 ，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了100户居民的问卷进行
评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，
[85,90)．
(1)求 的值；
(2)求这100户居民问卷评分的中位数；
(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6户居民，
查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在[65,70)内
的概率．
16.(本小题15分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + + √ 3 = 0．
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(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 7，角 的平分线交 于点 ，求线段 的长．
17.(本小题15分)
如图在四棱锥 中， // ， = 1， ⊥ ， = = = = 2， = √ 7， 是 的
中点．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
3√ 3
(Ⅱ)在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求 的值，若不存
7
在，说明理由．
18.(本小题17分)
如图，已知圆 ： 2 10 + 2 + 16 = 0， (4,0)， 为坐标原点，过点 作直线 交圆 于点 、 ，过点 、
分别作圆 的切线，两条切线相交于点 ．
(1)若直线 的斜率为1，求| |的值；
(2)求点 的轨迹方程；
(3)若两条切线 、 与轴 分别交于点 、 ，求| |的最小值．
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19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1，
√ 3
2，离心率为 ，经过点 2 1
且倾斜角为 (0 < <


)的直线 与椭圆交于 ， 两点(其中点 在 轴上方)，△ 2的周长为8． 2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，将平面 沿 轴折叠，使 轴正半轴和 轴所确定的半平面(平面 1 2)与 轴负半轴和 轴所确定
的半平面(平面 1 2)互相垂直．

①若 = ，求三棱锥 1 2的体积； 6
3
②是否存在 (0 < < )，使得△ 2 2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ？若存在，求 的值；若4
不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
6
7
13.【答案】
9
14.【答案】√ 2
15.【答案】解：(1)根据题意可得(0.01 + 2 + 0.04 + 0.05 + 0.06) × 5 = 1，解得 = 0.02；
(2)因为前几组的频率依次为0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3，
所以中位数在[75,80)内，
0.5 0.05 0.1 0.2
所以中位数为75 + = 77.5(分)；
0.06
(3)评分在[65,70)，[70,75)对应的频率为0.1，0.2，
从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6人，
则评分在[65,70)占2人，记为 ， ，评分在[70,75)占4人，记为 ， ， ， ，
从6人中选取4人的样本空间 = { , , , , , ,
， ， ， ， ， ， ， ， }，共15个样本点，
这4户居民中恰有1户的评分在[65,70)内的事件 = { , , ,
， ， ， ， }，其8个样本点，
8
所以这4户居民中恰有1户的评分在[65,70)内的概率 ( ) = ．
15
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16【. 答案】解：(1)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + + √ 3 = 0，

由正弦定理 = = = 2 可得 + √ 3 = 0，

又 ∈ (0, )， ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
1
所以1 = + √ 3 ，可得sin( + ) = ， 6 2
7 5
又 ∈ (0, )，所以 + ∈ ( , )，所以 + = ，
6 6 6 6 6
2
可得 = ；
3
(2)在△ 中， = 3， = 7，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 2 + 3 40 = 0，
解得 = 8(舍)，或 = 5，
1 2 1 1
由 △ = △ + △ ，得 = | |sin + | |sin ， 2 3 2 3 2 3
15
即15 = 3| | + 5| | = 8| | | | = ．
8
15
故线段 的长为 ．
8
17.【答案】(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
1
因为 ， 分别为 、 的中点，所以 // ，且 = ，
2
1
又 // ， = 1 = ，所以 // ，且 = ，
2
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(Ⅱ)解：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 = = = 2，所以△ 是等边三角形，
所以 ⊥ ，且 = √ 3，
1
因为 // ， = = = 1，且 ⊥ ，
2
所以四边形 为矩形，
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所以 ⊥ ， = = 2，
在△ 中， = 2， = √ 3， = √ 7，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (√ 3, 0,0), (0,1,2), (0,0,2), (0, 1,0)，
所以 = (√ 3, 1,0), = ( √ 3, 0,2), = ( √ 3, 1,2)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = + = (√ 3, 1,0) + ( √ 3 , 0,2 ) = (√ 3 √ 3 , 1,2 )，
√ 3 + 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0 { ，
= 0 √ 3 + + 2 = 0
令 = 2，则 = 0， = √ 3，所以 = (2,0, √ 3)，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为3√ 3，
7
| | |2√ 3(1 )+2√ 3 | 3√ 3
所以|cos < ， > | = = =| | | | 2 2 7 ， √ 3(1 ) +1+4 ×√ 7
2 4
整理得：63 2 54 + 8 = 0，解得 = 或 = ，都符合题意，
3 21
4
所以 = 2或 = ，
17
4
故在棱 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为3√ 3，且 = 2或 = ．
7 17
18.【答案】解：(1)直线 为 = 4，圆 ： 2 10 + 2 + 16 = 0的半径 = 3，
|5 4| √ 2
圆心 (5,0)到直线的距离 = = ，
√ 2 2
√ 2
所以| | = 2√ 2 2 = 2√ 32 ( )2 = √ 34；
2
(2)由(1)知，直线 的斜率不能为0，
故可设直线 的方程为 = + 4，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 4
联立{ ，整理可得：( 2 + 1) 2 2 8 = 0，
2 10 + 2 + 16 = 0
2 8
= 4 2 + 32( 2 + 1) = 36 2 + 32 > 0，且 1 + 2 = 2 ， +1 1 2 = 2 ， +1
过点 的圆的切线方程为：( 1 5)( 5) + 1 = 9，①
过点 的圆的切线方程为：( 2 5)( 5) + 2 = 9，②
由①②解得 = 4， = 9 ，所以点 的轨迹是直线 = 4；
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9+5( 5) 9+5( +4 5) 4
(3)①中令 = 0， 1 = =
1 = + 5 ，
1 1 1
9+5( 5) 9+5( +4 5) 4
②中令 = 0， =
2 = 2 = + 5 ，
2 2 2
4 2 8
2 √ 4 √ ( + ) 4 2 2 1+ 24 4 1 2 1 2 (1+ )
则| | = | | = | + 5 ( + 5 )| = 4 |
2 1 | = 4 = 4
8
=
1 2 1 2 | 1 2|
1+ 2
√ 8 + 9 2，
当 = 0时，| |最小值为2√ 2．
此时直线 为 = 4， ( 4,0)．
2 2
19.【答案】解：(1)椭圆 ： √ 32 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 ， 2

经过点 1且倾斜角为 (0 < < )的直线 与椭圆交于 ， 两点(其中点 在 轴上方)， 2
△ 2的周长为8．
由椭圆的定义知：| 1| + | 2| = 2 ，| 1| + | 2| = 2 ，
∴△ 2的周长 = 4 = 8，∴ = 2，
∵椭圆离心率为√ 3， √ 3∴ = ，∴ = √ 3， 2 = 2 2 = 1，
2 2
由题意知椭圆的焦点应该在 轴上，
2
∴椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)将平面 沿 轴折叠，
使 轴正半轴和 轴所确定的半平面(平面 1 2)与 轴负半轴和 轴所确定的半平面(平面 1 2)互相垂直．
√ 3
①当 = ，6 = , 1( √ 3, 0)时， 3
直线 ： √ 3
2
0 = ( + √ 3)与 + 2 = 1联立，
3 4
√ 3 8√ 3
0 = ( + √ 3) = 0 =
由{ 32 ，解得{ 或{
7 ，
2 = 1 1+ = 1 =
4 7
∵点 在 轴上方，∴ (0,1)， 8√ 3 1 ( , )，
7 7
2
∴ | 1| = 2，| 1| = ， 7

∴当 = 时，三棱锥 1 6 2的体积为：
1 1 √ 3
= × × | 1| × 150° × | 1| × 30° = ． 3 2 21
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3
②不存在 (0 < < )，使得△ 2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ． 2 4
理由如下：
为坐标原点，折叠后原 轴负半轴，原 轴，原 轴正半轴所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设折叠前 ( 1, 1)， ( 2, 2)，折叠后 ， 在新图形中对应点记为 ′， ′，
′( 1, 1, 0)， ′( 2, 0, 2)，
折叠前△ 2周长是8，则折叠后△ ′ ′ 2周长是6，
由| ′ 2| + | ′ 2| + | ′ ′| = 6，| 2| + | 2| + | | = 8，故| | | ′ ′| = 2，
设 方程为 = + √ 3，
= + √ 3
由{ 2 2 ，得( + 4)
2 2√ 3 1 = 0， = 12 2 + 4( 2 + 4) > 0，
+ 2 = 1
4
2√ 3 1
由韦达定理得 1 + 2 = ， 1 2 = 2 ， 2+4 +4
| ′ ′| = √ ( )2 2 21 2 + 1 + 2，| | = √ ( 1 2)
2 + ( 21 2) ，
所以| | | ′ ′| = √ ( )21 2 + ( 1 2 2
2 2
2) √ ( 1 2) + 1 + 2 = 2，(ⅰ)
2 1 2
又 = 22 2 2 ， √ ( 1 ) +( ) +√ ( ) + 2+ 22 1 2 1 2 1 2
∴ √ ( 1 1)2 + ( 1 2)2 + √ ( 2
2 2
1 2) + + = 1 2，(ⅱ)1 1
1
由(ⅰ)(ⅰ)可得√ ( )2 + ( )21 2 1 2 = 1 1 2， 2
1
∵ ( 1 2)
2 + ( 2 2 21 2) = (1 + )( 1 2) = (1
2
2 1 2
) ，
1
即(1 + 2)[( 1 + )
2
2 4
2
1 2] = (′ 2 1 2)
，
2 2√ 3 4 1∴ (1 + )[( 22 ) + 2 ] = (1 + )
2，
+4 +4 2( 2+4)
16 4+32 2+16 4 4+36 2+81
∴ 2 = 2 ，整理得60
4 + 92 2 17 = 0．
( 2+4) 4( 2+4)
2 1 17设 = ≥ 0，则方程转化为60 2 + 92 17 = 0，解得 1 = ， 2 = (舍)， 6 10
∴推导出 2
1
= ，0 < < ，
√ 6
∴ = ，
6 2 6
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检验：当 √ 6 = 时，
6
2 14 +4 4× +4 28
| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 +
2 √ ( 1 + 2)
2 4 61 2 = 2 = 1 = < 2， +4 +4 25
6
这与由已知条件得到的| | = | ′ ′| = 2矛盾，
3
∴不存在 (0 < < )，使得△ 2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ． 2 4
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