安徽省池州市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省池州市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {0,1,2,3,4,5}，集合 = {0,1,5}， = {0,2,3,5}，则 ∩ ( ) =( )
A. {2,3} B. {1,4} C. {0,5} D. {0,2,3,4,5}
2.命题 ： ≤ 0， 2 2 + ≤ 0的否定是( )
A. > 0， 2 2 + ≤ 0 B. > 0， 2 2 + ≤ 0
C. ≤ 0， 2 2 + > 0 D. ≤ 0， 2 2 + > 0
3.下列函数为奇函数的是( )
3 1 1
A. = 2 B. = 3 C. = 3 + 1 D. =
| |
(2 )
4.若函数 ( 1)的定义域为[ 1,3]，则 = 的定义域为( )
√
A. (0,6] B. (0,4] C. (0,2] D. (0,1]
4 1
5.已知 > 0， > 0，且 + = 5，若 + 2 + 1恒成立，则实数 的取值范围是( )
+1 +2
2 1 1
A. ( ∞, ] B. ( ∞, ] C. ( ∞, ] D. ( ∞, 4]
5 16 2
6.已知关于 的不等式 2 4 + 4 > 0在[1,5]上有解，则实数 的取值范围是( )
4 20
A. ( , +∞) B. ( , +∞) C. ( ∞, 1) D. (1, +∞)
5 29
( ) ( )
7.已知函数 ( )的定义域为 ， ( 2)是偶函数，当 1 < 2 < 2时，
1 2 > 0恒成立，设 = ( 3)，
1 2
= (0)， = (2)，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
8.已知定义域为(0, +∞)的增函数 ( )，满足 ， ∈ (0, +∞)均有 ( + ) = ( ) + ( )，且 ( ) = 1，则
2
不等式 ( + 3) + ( 2 4) > 2的解集为( )
A. ( 3, 2) ∪ (2, +∞) B. ( ∞, 2) ∪ (1, +∞)
C. ( 3, 2) D. ( 3, 2) ∪ (1, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合 = { | 2 6 = 0}， = { | 1 = 0且 ≠ 0}.若 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，则实数
的值可以为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 2 3
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10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理
数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非
空的子集 与 ，且满足 ∪ = ， ∩ = ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称( , )
为戴德金分割.下列结论正确的是( )
A. 若 = { ∈ | < 1}， = { ∈ | > 1}，则( , )是一个戴德金分割
B. 若 = { ∈ | < }， = { ∈ | > }，则( , )是一个戴德金分割
C. 若 中有最大元素， 中没有最小元素，则( , )可能是一个戴德金分割
D. 若 中没有最大元素， 中没有最小元素，则( , )可能是一个戴德金分割
11.已知[ ]表示不超过 的最大整数，例如[2.3] = 2，[ 1.8] = 2，则下列说法正确的是( )
1
A. [ ] = 0
2+2
B. 若[2 ] = 2，则 = 0或 = √ 2或 = 2
C. ， ∈ ，[ ] + [ ] ≤ [ + ]
D. 不等式[ ]2 2[ ] ≤ 3的解集为[ 1,4)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.若关于 的不等式 2 + + 0的解集是[ 2,4]，则 = ______．

2 + 4 , < ,
13.已知函数 ( ) = { 2 若 ( )存在最小值，则实数 的最大值为______． , ≥ ,
10
14.已知实数 > 0，命题 ： ∈ (0, +∞)，( 1)( 2 + 1) ≥ 0为真命题，则 + 的最小值为______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |( 2)( 5) ≤ 0}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产
20 2 21 + 332,0 < 2,
千台智能按摩椅，获利 ( )千元，且 ( ) = { 80 更新技术后需要另外投入费用( +
492 21 , 2 < 5.
1
2)千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完．
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(1)求更新技术后的利润 ( )(千元)关于年产量 (千台)的函数解析式；
(2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润．
17.(本小题12分)
已知幂函数 ( ) = (2 2 5 + 3) 是非奇非偶函数．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2[ ( )]2 2．
(ⅰ)求函数 ( )的解析式；
(ⅱ)若函数 ( )在区间[ 1, 2]上单调递增，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
2 + 1 4
已知函数 ( ) = 2 是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 ( ) = ． +1 2 5
(1)求 ， 的值；
(2)判断函数 ( )在[ 1,1]上的单调性，并根据定义证明．
(3)若函数 ( )满足不等式 (2 1) < (2 3 )，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 ( )和 ( )的定义域分别为 1和 2，若对任意的 0 ∈ 1，都存在 个不同的实数 1， 2， 3，…，
∈ 2，使得 ( 0) = ( )(其中 = 1，2，3，…， ， ∈
)，则称 ( )为 ( )的“ 重覆盖函数”．
1
(1)( )判断 ( ) = | |是否为 ( ) = ， ∈ [1, +∞)的“2重覆盖函数”？请说明理由；

1 1
( )设 ( ) = | | + 2( ≠ 0)是 ( ) = ， ∈ (0, +∞)的“ 重覆盖函数”，求 的值；
| |
2 + (2 4) + 3, ≤ 1,
(2)若 ( ) = { 1 为 ( ) = ， ∈ (0, +∞)的“2重覆盖函数”，求实数 的取值范
, > 1,

围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
4
13.【答案】2
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)由题可得： = { |2 ≤ ≤ 5}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}，
因为 ∩ = ，所以 ，
1 ≤ 2,
所以{ 解得2 ≤ ≤ 3，
2 + 1 ≥ 5,
故实数 的取值范围为{ |2 ≤ ≤ 3}；
(2) = { |2 ≤ ≤ 5}， = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}，
因为 ∪ = ，所以 ，
1 ≤ 2 + 1,
当 ≠ 时，{ 1 ≥ 2, 解集为 ，
2 + 1 ≤ 5,
当 = 时， 1 > 2 + 1，解得 < 2，满足题意；
综上，实数 的取值范围为{ | < 2}．
16.【答案】解：(1)根据题意，可得 ( ) = ( ) ( + 2) + 2 ，
20 2 21 + 332,0 < ≤ 2 20 2 20 + 330,0 < ≤ 2
结合{ 80 ，可得 ( ) = { 80 ；
492 21 , 2 < ≤ 5 490 20 , 2 < ≤ 5
1 1
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80 80 80
(2)当2 < ≤ 5时， ( ) = 490 20 = 490 [ + 20( 1) + 20] ≤ 470 2√ 20( 1) =
1 1 1
390，
80
当且仅当 = 20( 1)，即 = 3时， ( ) = 390； 1
1
当0 < ≤ 2时， ( ) = 20 2 20 + 330 = 20( )2 + 325，
2
由二次函数的性质，可知当 = 2时， ( ) = 370．
因为370 < 390，所以 ( )的最大值为390，
综上所述，当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元．
17.【答案】解：(1)由 ( ) = (2 2 5 + 3) 是幂函数，
1
得2 2 5 + 3 = 1，即2 2 5 + 2 = 0，解得 = 或 = 2，
2
1
当 = 时， ( ) = √ ，是非奇非偶函数， 2
当 = 2时， ( ) = 2，是偶函数，
故 ( )的解析式是 ( ) = √ ；
(2)当 ≥ 0时， ( ) = 2 + 2 ，
(ⅰ)设 < 0，则 > 0，∴ ( ) = ( )2 + 2( ) = 2 2 ，
又 ( )为奇函数，∴ ( ) = ( )，则 ( ) = 2 + 2 ．
2 + 2 , < 0
即 ( ) = { 2 ； + 2 , ≥ 0
(ⅱ)作函数 ( )的图像如图所示，
2 > 1
由图可知，要使 ( )在[ 1, 2]上单调递增，则{ ，即1 < ≤ 3，
2 ≤ 1
所以 的取值范围是(1,3]．
2 + 1 4
18.【答案】(1)因为函数 ( ) = 2 是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 ( ) = ， +1 2 5
(0) = = 0
则{ 1 1+ 4 ( ) = = ，解得 = 1， = 0，
2 1 +1 5
4
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2
所以函数 ( ) = 2 ， +1
2
检验： ( ) = 2 = ( )，故函数 ( )为奇函数，所以 = 1， = 0； +1
(2) ( )在[ 1,1]上单调递增．
证明如下：对于任意 1， 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
则 2 1 > 0， 1 2 < 1， 1 2 1 < 0，
2 2 2(
则 ( ) ( ) = 1 2 = 1
2 1)( 2 1)
1 2 2+1 2
< 0，
1 2+1 (
2
1+1)(
2
2+1)
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
故函数 ( )在[ 1,1]上单调递增；
(3)不等式 (2 1) < (2 3 )，
因为 ( )是增函数，且 ∈ [ 1,1]，
1 ≤ 2 1 ≤ 1
1 3
所以{ 1 ≤ 2 3 ≤ 1，解得 ≤ < ，
3 5
2 1 < 2 3
1 3
所以 的取值范围是[ , )．
3 5
19.【答案】解：(1)(ⅰ) ( )不是 ( )的“2重覆盖函数”，理由如下：
由题 (1) = 0， ( ) = | | = 0，解得 = 0，只有一个解，不满足；
所以 ( )不是 ( )的“2重覆盖函数”；
1
(ⅱ)因为 ( ) = ( > 0)单调递减，且 ( ) ∈ (0, +∞)，

函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，
1 1
( ) = | | + 2 = | | + 2 = ( )，
| | | |
所以函数 ( )为偶函数，
则当 ∈ (0, +∞)时， 1 1 + 2 ≥ 2√ 2 = 0，

1
当且仅当 = ，即 = 1时等号成立．

1 1
则当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = | | + 2 = + 2，
| |
由对勾函数性质知，当 ∈ (0,1)时， ( )单调递减，
当 ∈ (1, +∞)时， ( )单调递增．
1
作出 ( ) = | | + 2( ≠ 0)的图象，如图所示：
| |
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所以对 ( )的值域中的每个数，
都存在4个不同的 的值，使 ( ) = ( 0)(其中 = 1，2，3，4)，
所以 ( )是 ( )的“4重覆盖函数”，即 = 4；
(2)可得 ( ) = 的定义域为(0, +∞)，值域为(0, +∞)，
即对任意 0 ∈ (0, +∞)，存在2个不同的实数 1， 2，
使得 ( ) = ( 0)(其中 = 1，2)，
即 ( ) = ( 0) ∈ (0, +∞)，
1
当 > 1， ( ) = ∈ (0, +∞)，

即对任意 > 0， ( ) = 有2个实根，
1
当 > 1时， ( ) = = 已有一个根，

故只需 ≤ 1时， ( ) = 仅有1个根，
当 = 0时， ( ) = 4 + 3，符合题意，
当 > 0时，则需满足 (1) = + 2 4 + 3 ≤ 0，
1
即3 1 ≤ 0，解得0 < ≤ ，
3
当 < 0时，抛物线开口向下， ( )有最大值，
不能满足对任意 > 0， ( ) = 仅有1个根，故不成立．
1
综上，实数 的取值范围是[0, ]．
3
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