广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市部分学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ | ≤ 7}，集合 = {1,2,3,4}， = {1,3,5}，则 ( ∪ ) =( )
A. {1,2,3,4,5} B. {0,1,3,5,6,7} C. {0,6,7} D. {6,7}
2.设 ∈ ，则“1 < < 2”是“ 2 2 3 < 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数 ( )与 ( )的对应关系如下表.则 [ ( 1)]的值为( )
1 0 1
( ) 1 3 2
1 2 3
( ) 0 1 1
A. 0 B. 3 C. 1 D. 1
4.下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )
A. 对于实数 ， ∈ ，有 2 + 2 2 2 + 2 < 0
B. 幂函数的图象过定点(1,1)和点(0,0)
C. 存在幂函数的图象过点(2,4)
D. 当 < 0时，幂函数 = 在第一象限内函数值随 值的增大而减小
(2 3 ) + 1, ≤ 1
5.若函数 ( ) = {1 是 上的减函数，则 的取值范围为( )
1, > 1

2 2 2 2
A. [ , +∞) B. ( , +∞) C. ( , 1] D. [ , 1]
3 3 3 3
1 4
6.若 ， 均大于零，且 + = 2，则 + 的最小值为( )

9
A. 5 B. 4 C. 9 D.
2
7.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷( )，当时数学家们处理的大部
分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年
1, ∈ ,
给出了著名函数： ( ) = { (其中 为有理数集， 为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家
0, ∈
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们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研
, ∈ ,
究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： ( ) = { (其
, ∈
中 ， ∈ 且 ≠ )，以下对 ( )说法错误的是( )
A. 定义域为
B. 当 > 时， ( )的值域为[ , ]；当 < 时， ( )的值域为[ , ]
C. ( )为偶函数
D. ( )在实数集的任何区间上都不具有单调性
8.已知函数 ( ) = 2 2 + 1在区间( ∞, 1]上递减，且当 ∈ [0, + 1]时，有 ( ) ( ) ≤ 2，则
实数 的取值范围是( )
A. [ √ 2, √ 2] B. [1, √ 2] C. [2,3] D. [1,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
A. ( ) = √ 2 1与 ( ) = √ + 1 √ 1
B. ( ) = | |与 ( ) = √ 2
| | 1, ≥ 0
C. ( ) = { , ≠ 0 与 ( ) = {
1, = 0 1, < 0
1 1
D. ( ) = ( )2 1与 ( ) = ( )2 1
3 3
10.已知关于 的不等式 2 + + > 0的解集为( ∞, 2) ∪ (3, +∞)，则( )
A. < 0
B. 不等式 > 0的解集为{ | < 6}
C. 4 + 2 + > 0
1 1
D. 不等式 2 + ≥ 0的解集为[ , ]
3 2
11.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 2 ，则( )
A. ( )的最小值为 1 B. ( )在( 2,0)上单调递减
C. ( ) ≤ 0的解集为[ 2,2] D. 存在实数 满足 ( + 2) + ( ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = {( , )| 2 + 2 ≤ 3， ∈ ， ∈ }，则集合 真子集个数为______(填数字)．
13.命题 ： > 2， 2 1 > 0，则命题 的否定是______．
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( ) ( )
14.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 3，对任意两个不等的实数 ， 都有 > 1，则不等式 ( 2

1) < 2 + 1的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
1
已知 ( ) = √ 3 + 的定义域为集合 ，集合 = { | < < 3 6}．
√ +2
(1)求集合 ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)

已知 ( )是定义在[ 1,1]上的偶函数，且 ∈ [ 1,0]时， ( ) = 2 ． +1
(1)求 (0)， ( 1)；
(2)求函数 ( )的表达式；
(3)判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．
17.(本小题15分)
设函数 = 2 + ( ∈ , ∈ )．
(1)若 = 1，且集合{ | = 0}中有且只有一个元素，求实数 的取值集合；
(2)解关于 的不等式 < ( 1) 2 + ( + 2) 2 ；
18.(本小题15分)
某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目．该项目的月处理成本 (元)与月处理量 (
1
3 80 2 + 5050 , 120 ≤ < 150,
吨)之间的函数关系可以近似地表示为： = {3 ，每处理一吨生活垃圾，
1
2 200 + 80000,150 ≤ < 500．
2
可得到的煤油的价值为200元，若该项目不能获利，政府将给予补贴．
(1)当 ∈ [200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每月最多
需要补贴多少元，才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19.(本小题17分)
2 3 1
已知幂函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 2 2，满足 (2) < (4)．
(1)求函数 ( )的解析式；
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(2)若函数 ( ) = ( + 3)，是否存在实数 ， ( < )，使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]？若存在，
求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】511
13.【答案】 > 2， 2 1 ≤ 0
14.【答案】( 1,2)
{3 ≥ 015.【答案】解：(1)要使函数有意义，则有 ，解之可得： 2 < ≤ 3，
+ 2 > 0
所以集合 = { | 2 < ≤ 3}．
(2)因为 ∪ = ，所以 ，
因为 = { | < < 3 6}，所以分 = 和 ≠ 两种情况，
3
若 = ，则 ≥ 3 6，解得： ≤ ；
2
3 6 >
3
若 ≠ ，要使 成立，则有{ ≥ 2 ，解得： < ≤ 2，
2
3 6 ≤ 3
综上所述：实数 的取值范围( ∞, 2]．
1
16.【答案】解：(1)当 = 0， = 1时， (0) = 0, ( 1) = ;
2

(2)设 ∈ [0,1]，则 ∈ [ 1,0]，则 ( ) = 2 ， +1

因为函数 ( )为偶函数，所以有 ( ) = ( )，即 ( ) = 2 ， +1

2 , ∈ [0,1]
{ +1所以 ( ) = ;
2 , ∈ [ 1,0) +1
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(3)设0 < 1 < 2 < 1，
则 ( 2) ( 1)
2 1
=
22 + 1
2
1 + 1
( )( 1)
= 2 1 1 22 2 ， ( 2+1)( 1+1)
∵ 0 < 1 < 2 < 1，
∴ 2 1 > 0， 1 2 1 < 0，
(
∴ 2
1)( 1 2 1)
2 < 0， (1+ 1)(1+ 22)
∴ ( 2) < ( 1).
∴ ( )在[0,1]为单调减函数．
17.【答案】解：(1)若 = 1，{ | = 0}有且只有一个元素，
所以 2 + 1 = 0有且仅有一个根，
当 = 0时， 1 = 0，即 = 1，则{ | = 0} = {1}，满足题设；
1
当 ≠ 0时， = 1 + 4 = 0，即 = ，则{ | = 0} = {2}，满足题设；
4
1
所以 的取值集合为{ , 0}．
4
(2)由 2 + < ( 1) 2 + ( + 2) 2 ，得 2 ( + 1) + = ( )( 1) < 0，
当 < 1时，解集为{ | < < 1}；
当 = 1时，解集为 ；
当 > 1时，解集为{ |1 < < }．
1 1
18.【答案】解：(1)当 ∈ [200,300]时，该项目的利润 = 200 ( 2 200 + 80000) = ( 400)2，
2 2
∵ ∈ [200,300]，则 < 0，故该项目不能获利，
当 = 200时， 取到最小值 20000，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损．
1
3 80 2 +5050 1
(2)当12 ≤ < 150时，平均处理成本 = 3 = ( 120)2 + 250，
3

当 = 120时，平均处理成本 取到最小值250；

1
2 200 +80000
当150 ≤ < 550时，平均处理成本 = 2
1 80000 1 80000
= + 200 ≥ 2√ 200 = 200，
2 2
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1 80000
当 = ，即 = 400时，平均处理成本 取到最小值200；
2
∵ 250 > 200，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
2 3 1
19.【答案】解：(1)由幂函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 2 2，满足 (2) < (4)，
3 1
可得 2 3 + 3 = 1，且 2 > 0，
2 2
1
求得 = 2，故 ( ) = 2 = √ ．
(2)函数 ( ) = ( + 3) = √ + 3，
假设存在实数 ， ( < )，使函数 ( )在[ , ]上的值域为[ , ]，
由于 ( )在其定义域内单调递减，则 √ + 3 = ①， √ + 3 = ②，
两式相减，可得：√ + 3 √ + 3 = = ( + 3) ( + 3) = (√ + 3 + √ + 3) (√ + 3 √ + 3).
∴ √ + 3 + √ + 3 = 1 ③．
将③代入②得， = + √ + 3 = + 1 √ + 3
1
令 = √ + 3，∵ < ，∴ 0 ≤ < ，
2
2 1 9得： = 2 = ( )2 ，
2 4
9
故得实数 的取值范围( , 2]．
4
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