2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练：最短路径（含解析）

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2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专题训练：最短路径
一、单选题
1．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
3．如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
4．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
6．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
8．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ．
10．如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为 ．
11．如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为 ．
13．如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
14．如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
15．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度．
16．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向两个开发区运货．（分别在图上找出点，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．）
(1)若要求货站到两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
(2)若要求货站到两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？
18．如图，某护城河在处直角转弯，河宽均为，，到外河岸的距离都为，从处到达处，需经两座桥：，（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使从处到处所走的路程最短？
19．按要求完成作图：
(1)作关于y轴对称的；
(2)写出各顶点的坐标．
(3)在x 轴上确定一点P，使 的值最小
20．如图，在中，，．

(1)求的长；
(2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B D B C
1．D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示，
则
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
2．D
【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
【详解】解：如图，连接，与交于点P，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
即长就是的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，
连接交于点E，点C、关于直线对称，推出当点D与B重合时，的值最小，最小值为线段的长．
【详解】解：连接交于点E，过点B作直线，
∵， 是等边三角形，边长为8，
∴是等边三角形，，
∵A、B、三点在同一直线上，
∴和关于直线l的对称，
∵，
∴
，
∵，
∴，，
∴点C、关于直线对称，
∴当点D与点B重合时，的值最小，
最小值为线段，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键．
【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，
根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短，
故选：．
5．B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：
则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
6．D
【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得．
【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F，
则，，
∴，
∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，
∵四边形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径．
7．B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，
平分交于点，
，，
，
，
且，
当点在线段上时，的最小值是，
，
的最小值为7．
故选：

【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．
8．C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
9．7
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴点关于的对称点为点，
∴连接，，则，如图所示，
∴，当时，的值最小，则的值最小，
∵是等边三角形，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为： ．
10．
【分析】作，点关于的对称点，过点作的平行线，过点作的平行线，由矩形,，，得到，，，根据对称的性质得到，由，得到，由是平行四边形，得到，，进而得到，由，点到当点在点时，取得最小值，长即为所求，由，求出，由为梯形的中位线，求出，根据，即可求解，
本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到．
【详解】解：过点作，垂足为，作点关于的对称点，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，连接与交于点，
∵矩形,，，
∴，，，
∵、关于对称，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
在中，
∴当点在点时，取得最小值，长即为所求，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵为中点，，
∴为梯形的中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
11．B
【分析】本题考查了最短路径问题，线段、、、中哪一条最短，根据“垂线段最短”的性质，可得最短．
【详解】解：根据“垂线段最短”的性质，可得最短，
故答案为：B．
12．
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的性质、轴对称的性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由题意可得两点关于轴对称，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，待定系数法求出直线的解析式，令，即可求出点的坐标；
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
两点关于轴对称，
如图，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，
直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
的坐标为，
故答案为：；
13．5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
14．
【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等．
【详解】解：∵点和点在直线的同旁，
∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
16．4
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识．
连接过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,据此即可求出答案．
【详解】解：连接过点A作于点H，
∵，，
∴，
解得，
∵的垂直平分线分别交于点，点，
∴，
∴，
当且仅当A、F、G三点共线时，，
∵点是直线上的一动点，
∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,
即的最小值为4．
故答案为：4
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称和垂直平分线的应用和作图，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线与的交点即为货站的位置，可得货站到两个开发区的距离相等．
（2）作点的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可得货站到两个开发区的距离和最小．
【详解】（1）解：要使货站到两个开发区的距离相等，可连接，线段中垂线与的交点即为货站的位置，如图：
（2）解：由于两点之间线段最短，所以过点作关于对称，连接，与的交点即为货栈站的位置，如图：
18．见解析
【分析】本题属于最短路径问题，分析题意，利用平移河宽，将折线问题转化为直线是解题关键；过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置．
【详解】解：如图所示，作法如下：
（1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，（则河宽，即相当于将桥平移到，的位置）．
（2）连接，分别与河岸相交于点，．
（3）过点作垂直于河岸于点，过点作垂直于河岸于点，
由作图可知，
∴最短路径为，
∴，即为两座桥的位置．
19．(1)见详解
(2)；；
(3)见详解
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据（1）中写出点、、坐标即可；
（3）确定出点关于轴的对称点的位置，然后连接，与轴的交点即为所求的点．
【详解】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：；；
（3）解：确定出点关于轴的对称点的位置，然后连接，与轴的交点即为所求的点；
20．(1)8
(2)
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键．
（1）证明是等边三角形即可求解；
（2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，

由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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