福建省泉州市永春县第二中学等校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷（含答案）

福建省永春县第二中学等校 2024-2025 学年高一上学期期中联考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = { | 1 < < 1}， = { |0 ≤ < 2}，则 ∩ =( )
A. { | 1 < < 2} B. { |0 ≤ < 1} C. { |0 < < 1} D. { | 1 < < 0}
2.命题“ ∈ ， 3 ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 3 > 0 B. ∈ ， 3 < 0
C. ∈ ， 3 > 0 D. ∈ ， 3 ≥ 0
+1
3.函数 = ( 4)0 + 的定义域是( )
√ +1
A. [ 1, +∞) B. ( 1, +∞)
C. [ 1,4) ∪ (4, +∞) D. ( 1,4) ∪ (4, +∞)
2
4.函数 ( ) = 2 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
2 + 1, ≤ 0 1
5.若函数 ( ) = { 1 ，且 ( ( 1)) = ，则 =( )
, > 0 2

1
A. 1 B. 0 C. D. 1
2
4
6.已知函数 = + ( > 1)，函数的最小值等于( )
1
4√
A. B. 4√ 2 + 1 C. 5 D. 9
√ 1
7.命题“ ∈ ， 2 + + 1 < 0”为假命题，则实数 的取值范围是( )
第 1 页，共 7 页
A. [ 2,2] B. ( 2,2)
C. ( ∞, 2] ∪ [2, +∞) D. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
8.设定义在 上的函数 ( )满足 (0) = 1，且对任意的 、 ∈ ，都有2 ( + 1) = ( ) ( ) ( ) 2 +
6，则函数 ( ) = √ ( )的值域为( )
1
A. [1, +∞) B. [ 1, +∞) C. [0, +∞) D. [ , +∞)
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 满足 < < ，且 < 0，那么下列各式中一定成立的是( )
A. ( ) < 0 B. ( ) < 0 C. 2 > 2 D. >
10.下面命题正确的是( )
1
A. “ > 1”是“ < 1”的充分不必要条件

B. “ < 0”是“二次方程 2 + ( 3) + = 0有一正根一负根”的充要条件
C. “ ≤ 1且 ≤ 1”是“ + ≤ 2”的充要条件
D. 设 ， ∈ ，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
11.一般地，若函数 ( )的定义域为[ , ]，值域为[ , ]，则称[ , ]为 ( )的“ 倍跟随区间”；若函数的
定义域为[ , ]，值域也为[ , ]，则称[ , ]为 ( )的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A. 若[1, ]为 ( ) = 2 2 + 2的“跟随区间”，则 = 2
1
B. 函数 ( ) = 1 + 存在“跟随区间”

1
C. 若函数 ( ) = √ + 1存在“跟随区间”，则 ∈ [ , 0]
4
1
D. 二次函数 ( ) = 2 + 存在“3倍跟随区间”
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 ( ) = ( 2 1) 的图象关于 轴对称，则 的值为______．
4 +
13.已知两个正实数 ， 满足 + = 1，则 的最小值是______．

√ 2 3 + 1, | | ≤ 1
14.设 、 ∈ ，已知函数 ( ) = { 是奇函数，则 = ______，若函数 ( )是在 上的
+ , | | > 1

增函数，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |2 ≤ ≤ 6}， = { |0 < < 5}， = { | < < + 1}， = ．
第 2 页，共 7 页
(1)求 ∪ ，( ) ∩ ；
(2)若 ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知 ， ， ∈ ，关于 的不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1或 > }．
(1)求 ， 的值；
(2)解关于 的不等式 2 ( + ) + < 0．
17.(本小题12分)
新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源(或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置)，综
合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车
包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车
越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需
求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润 (单位：万元)与营运年数 ( 是正整数)成一元二次函数关系，营
运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元．
(1)求出 关于 的函数关系式；
(2)求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数)．
18.(本小题12分)

已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0时， ( ) = ．
+1
(1)求 ( )在( ∞, 0)上的解析式；
(2)用定义法证明 ( )在[0, +∞)上单调递增；
(3)求不等式 (1 ) < ( )的解集．
19.(本小题12分)
若函数 在 ≤ ≤ ( < )上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 = 1，则称函数
是在 ≤ ≤ 上的“美好函数”．
(1)函数① = + 1；② = |2 |；③ = 2，其中函数_____是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”；(填序号)
(2)已知函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)．
①函数 是在1 ≤ ≤ 2上的“美好函数”，求 的值；
②当 = 1时，函数 是在 ≤ ≤ + 1上的“美好函数”，请直接写出 的值；
(3)已知函数 ： = 2 2 3 ( > 0)，若函数 是在 + 2 ≤ ≤ 2 + 1( 为整数)上的“美好函数”，

且存在整数 ，使得 = ，求 的值．

第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】9
14.【答案】1 [√ 2 1,1]
15.【答案】解：(1)因为集合 = { |2 ≤ ≤ 6}， = { |0 < < 5}，
故 A∪ = { |0 < ≤ 6}，
又 = { | < 2或 > 6}，
所以( ) ∩ = { |0 < < 2}；
(2)因为 = { | < < + 1}，且 ，
{ ≥ 0所以 ，解得0 ≤ ≤ 4，
+ 1 ≤ 5
所以 的取值范围为[0,4]．
16.【答案】解：(1)因为不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1或 > }，
所以 1 = 1与 2 = 是方程
2 3 + 2 = 0的两个实数根，
3
1 + =
由根与系数的关系，得{ ，
2
1 × =

解得 = 1， = 2．
(2)由(1)知不等式 2 ( + ) + < 0为 2 (2 + 1) + 2 < 0，即( 1)( 2) < 0，
①当 = 0时，易得不等式的解集为{ | > 2}；
第 4 页，共 7 页
1 1
②当 < 0时，不等式可化为( )( 2) > 0，不等式的解集为{ | 或 2}；

1
③当 > 0时，不等式可化为( )( 2) < 0，

1 1 1
当 > 2，即0 < < 时，不等式的解集为{ |2 < < }，
2
1 1
当 = 2，即 = 时，不等式的解集为 ，
2
1 1 1
当 < 2，即 > 时，不等式的解集为{ | < < 2}．
2
17.【答案】解：(1)已知公共充电桩的历年总利润 (单位：万元)与营运年数 ( 是正整数)成一元二次函数
关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元，
则二次函数的开口向下，且顶点坐标为(6,110)，
所以设该函数为 = ( 6)2 + 110( < 0)，
营运三年时总利润为20万元，
即 (3 6)2 + 110 = 20，
解得 = 10，
所以 = 10( 6)2 + 110 = 10 2 + 120 250( ∈ ).
即 = 10 2 + 120 250( ∈ ).
(2)由(1)知 = 10 2 + 120 250( ∈ )，
10 2+120 250 25 25
所以营运的年平均总利润为 = = 10( + ) + 120 ≤ 20√ + 120 = 20，

25
当且仅当 = ，即 = 5时，等号成立，

故营运的年平均总利润的最大值为20万元．

18.【答案】解：(1)当 ≥ 0时， ( ) = ，设 < 0，则 > 0，
+1

则 ( ) = = ，
+1 1

又 ( )为偶函数，则 ( ) = ( ) = ( < 0)，
1

即当 ∈ ( ∞, 0)时， ( ) = ；
1
+
(2)证明：设0 ≤ < ，则 ( ) ( ) = 1 2 = 1 2 1 1 2 2 1 21 2 1 2 = ， 1+1 2+1 ( 1+1)( 2+1) ( 1+1)( 2+1)
又0 ≤ 1 < 2，则 1 2 < 0，( 1 + 1)( 2 + 1) > 0，
故 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[0,+∞)上单调递增；
第 5 页，共 7 页
(3)不等式 (1 ) < ( )即为 (|1 |) < (| |)，
2 2 1则|1 | < | |，即1 2 + < ，解得 > ，
2
1
所以不等式的解集为( , +∞)．
2
19.【答案】解：(1)对于① = + 1，
当 = 1时， = 2，当 = 2时， = 3，
∴ = 1，符合题意；
对于② = |2 |，
当 = 1时， = 2，当 = 2时， = 4，
∴ ≠ 1，不符合题意；
对于③ = 2，
当 = 1时， = 1，当 = 2时， 4，
∴ ≠ 1，不符合题意；
故答案为：①；
(2)①二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)对称轴为直线 = 1，
当 = 1时， 1 = 4 ，当 = 2时， 2 = 3 ，
当 > 0时，则当1 ≤ ≤ 2时， 随 的增大而增大，
∴ 2 1 = 3 ( 4 ) = 1，
∴ = 1，
当 < 0时，则当1 ≤ ≤ 2时， 随 的增大而减小，
∴ 2 1 = 4 ( 3 ) = 1，
∴ = 1，
综上所述， = 1或 = 1；
②二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)为 = 2 2 3，对称轴为直线 = 1，
当 = ， 1 =
2 2 3，
当 = + 1时， 2 22 = ( + 1) 2( + 1) 3 = 4，
当 = 1时， 3 = 4．
若 > 1，则 2 22 1 = 4 ( 2 3) = 1，解得 = 1(舍去)；
1
若 ≤ ≤ 1，则 2 3 =
2 4 ( 4) = 1，解得 = 1(舍去)， = 1；
2
第 6 页，共 7 页
1
若0 ≤ < ，则 1
2
3 = ( 2 3) ( 4) = 1，解得 = 0， = 2(舍去)； 2
若 < 0，则 = 21 2 2 3 (
2 4) = 1，解得 = 0(舍去)．
综上所述， = 0或 = 1；
(3)由(2)可知，二次函数 ： = 2 2 3 ( ≠ 0)对称轴为直线 = 1，
又∵ + 2 ≤ ≤ 2 + 1，
∴ > 1，
∴ 3 < + 2 ≤ ≤ 2 + 1，
∴当 + 2 ≤ ≤ 2 + 1时， 随 的增大而增大，
当 = 2 + 1时取得最大值， = + 2时取得最小值，
2
∴ =
(2 +1) 2 (2 +1) 3 4 +4 8
= 2 = = 4 ( +2) 2 ( +2) 3 +3 +3
∵ ， 为整数，且 > 1，
∴ + 3 = 8，即 的值为5，
又∵ = 1，
∴ (10 + 1)2 2 (10 + 1) 3 [ (5 + 2)2 2 (5 + 2) 3 ] = 1，
1
∴ = ．
64
第 7 页，共 7 页