2024-2025学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省卓越县中联盟、皖豫名校联盟高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知集合，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
4.已知，为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知幂函数的图象经过点，函数，则( )
A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为增函数 D. 为减函数
6.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列各组中的函数与是同一个函数的是( )
A. ，
B.
C. ，
D.
11.对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，设函数，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则 ______．
14.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：，，设为假命题时实数的取值范围为集合．
求集合；
设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
计算：；
计算：；
已知，且，求的值．
17.本小题分
已知关于的函数．
若，求时的取值范围．
是否存在实数，满足当时，的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求的值；
若，用定义证明在上单调递增；
若存在正数满足，求的取值范围．
19.本小题分
对于非空的有限整数集，定义，，．
若集合，求和．
已知，为非空的有限整数集，且．
(ⅰ)若，求集合；
(ⅱ)证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：当“，”为真命题时，
，所以或，
则；
因为是的必要不充分条件，所以，
因为时，只需，解得，
经检验，和时满足条件，
综上所述，的取值范围是．
16.解：；
；
由题意可知，所以，
，
因为，所以，所以，
所以．
17.解：关于的函数．
当时，可转化为：．
所以或．
所以的取值范围是：．
函数在的最大值，可能是在行或或时取得．
若，解得或．
当时，，对称轴为，故不合题意；
若此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意．
若此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意；
综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为．
18.解：根据题意，，其定义域为，
若为偶函数，则有，
即，变形可得，必有；
故；
证明：当时，；
设，
则，
因为，所以，
同时由于，，所以，
所以，
故在上单调递增．
根据题意，因为有正数解，所以有正数解，
所以有正数解，所以有正数解；
令，因为，则，
所以在上有解，所以在上有解，
令，且均在上单调递增，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以．
19.解：对于非空的有限整数集，定义，，．
若集合，
由题意可得，．
，为非空的有限整数集，且．
(ⅰ)设，则，
因为，所以，所以，
即，因此，
因为，所以，所以，
由此可知中至少有和两个元素，所以，
故B或．
(ⅱ)证明：设，因为，所以，
又因为，所以，即，
若，则，故A可以是；
若，则，故A可以是，；
若，则，故A可以是，；
若，则，，，
像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集；
若，则，，，
同样不符合是有限集；
同理可得，当或时，也不符合是有限集；
综上，可以是，，，，，
均满足．
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