北京市海淀区清华大学附中2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市海淀区清华大学附中 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 3 < < 1}， = { | 1 ≤ < 4}，则 ∩ =( )
A. { | 3 < < 1} B. { | > 3} C. { | 1 ≤ < 1} D. { | < 4}
2.设命题 ： ∈ ， 2 > 2 + 5，则 的否定为( )
A. ∈ ， 2 > 2 + 5 B. ∈ ， 2 ≤ 2 + 5
C. ∈ ， 2 ≤ 2 + 5 D. ∈ ， 2 < 2 + 5
3.下列各组函数中，两个函数相同的是( )
3
A. = (√ )3和 = B. = (√ )2和 =
3 2
C. = √ 2和 = (√ )2 D. = √ 3和 =

4.下列函数在区间(0, +∞)上为增函数的是( )
A. = 2 B. = ( 1)2 C. = 1 D. = 3
5.若实数 ， 满足 > ，则下列不等式成立的是( )
A. | | > | | B. + > + C. 2 > 2 D. 2 > 2
6.“ ≥ 4”是“二次函数 ( ) = 2 + 有零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在下列区间中，一定包含函数 ( ) = 2 + 5零点的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
1, ≤ 0
8.已知函数 ( ) = {1 ，则使方程 + ( ) = 有解的实数 的取值范围是( )
, > 0

A. (1,2) B. ( ∞, 2)
C. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
( ) ( )
9.定义在 上的偶函数 ( )满足：对任意的 1， 2 ∈ [0, +∞)( 1 ≠ 2)，都有
2 1 < 0，且 (3) = 0，
2 1
则不等式 ( ) > 0的解集是( )
A. ( ∞, 3) ∪ (0,3) B. ( 3,0) ∪ (3, +∞)
C. ( 3,3) D. ( ∞, 3) ∪ (3, +∞)
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10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形
2 +
态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数 ( ) = ( ≠ 0, =
2.71828 )来表示．下列结论正确的是( )
A. 若 > 0，则函数 ( )为奇函数 B. 若 > 0，则函数 ( )有最小值
C. 若 < 0，则函数 ( )为增函数 D. 若 < 0，则函数 ( )存在零点
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.函数 ( ) = √ 1的定义域是______．
1
12.已知函数 ( ) = + + 1( > 0)，则当且仅当 = ______时， ( )有最小值______．
4
13.已知集合 = { 2, 0}， = { 3,9}，若满足 ∩ = {9}，则实数 的值为______．
14.已知函数 = ( )在 上是奇函数，当 ≤ 0时， ( ) = 2 1，则 (1) = ______；当 > 0时， ( ) =
______．
15.已知非空集合 ， 满足以下四个条件：
① ∪ = {1,2,3,4,5,6}；
② ∩ = ；
③ 中的元素个数不是 中的元素；
④ 中的元素个数不是 中的元素．
( )如果集合 中只有1个元素，那么集合 的元素是______；
(ⅱ)有序集合对( , )的个数是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}， = { | 1 ≤ ≤ + 1}．
(1)若 = 4，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
17.(本小题6分)
解下列关于 的不等式：
2 +1
(1) ≤ 1；
2
(2)|2 1| ≥ 3；
(3) 2 + ( 2) 2 ≥ 0( ∈ )．
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18.(本小题6分)
已知函数 ( ) = 2 2 是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值，并用定义法证明 ( )在 上单调递增；
(2)解关于 的不等式 (3 2 5 ) + ( 4) > 0．
19.(本小题6分)
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 3，深为3 .如果池底每平方米的造价为150元，池
壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
20.(本小题7分)
已知函数 ( ) = 2 ( 1) + ．
(1)若不等式 ( ) > 0的解集为 ，求 的取值范围；
(2)若不等式 ( ) ≤ 0对一切 ∈ (0, +∞)恒成立，求 的取值范围．
21.(本小题6分)
设 是正整数，集合 至少有两个元素，且 .如果对于 中的任意两个不同的元素 ， ，都有| | ≠ ，
则称 具有性质 ( )．
(1)试判断集合 = {1,2,3,4}和 = {1,4,7,10}是否具有性质 (2)？并说明理由；
(2)若集合 = { 1, 2, , 12} {1,2, ,20}，求证： 不可能具有性质 (3)；
(3)若集合 {1,2, ,2023}，且同时具有性质 (4)和 (7)，求集合 中元素个数的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[1, +∞)
1
12.【答案】 2
2
13.【答案】 3
1
14.【答案】 1 2
2
15.【答案】5 10
16.【答案】解：(1)当 = 4时， = { |3 ≤ ≤ 5}，
因为 = { | 1 ≤ ≤ 4}，
所以 ∩ = { |3 ≤ ≤ 4}．
(2)因为 ∪ = ，所以 ，
又因为 1 < + 1，所以 ≠ ，
+ 1 ≤ 4
所以{ ，解得0 ≤ ≤ 3，
1 ≥ 1
所以 的取值范围是{ |0 ≤ ≤ 3}．
2 +1 +3
17.【答案】解：(1)由 ≤ 1，即 ≤ 0，
2 2
( + 3)( 2) ≤ 0
即{ ，解得 3 ≤ < 2；
2 ≠ 0
2 +1
所以不等式 ≤ 1的解集为[ 3,2)；
2
(2)|2 1| ≥ 3，即2 1 ≥ 3或2 1 ≤ 3，解得 ≥ 2或 ≤ 1；
所以不等式|2 1| ≥ 3的解集为( ∞, 1] ∪ [2, +∞)；
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(3)将不等式 2 + ( 2) 2 ≥ 0( ∈ )可分解为( 2)( + 1) ≥ 0；
当 = 0时，不等式为 2( + 1) ≥ 0，其解集为( ∞, 1]；
2
当 < 2时，不等式( 2)( + 1) ≥ 0的解集为[ 1, ]，

2
当 2 < < 0时，不等式( 2)( + 1) ≥ 0的解集为[ , 1]；

2
若 ≠ 0时，不等式( 2)( + 1) ≥ 0对应方程有两根，分别为 = 和 = 1，

当 = 2时，不等式为 2( + 1)2 ≥ 0，其解集为{ | = 1}；
2
当 > 0时，不等式( 2)( + 1) ≥ 0的解集为( ∞, 1] ∪ [ , +∞)．

2
综上可得，当 < 2时，不等式的解集为[ 1, ]，

当 = 2时，不等式的解集为{ | = 1}；
2
当 2 < < 0时，不等式的解集为[ , 1]；

当 = 0时，不等式的解集为( ∞, 1]；
2
当 > 0时，不等式的解集为( ∞, 1] ∪ [ , +∞)．

18.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 2 是定义在 上的奇函数，
由奇函数性质可知 (0) = 1 = 0，可得 = 1，
当 = 1时， ( ) = 2 2 满足 ( ) = 2 2 = ( )，
即 = 1；
1
取任意 11， 2 ∈ ，且 1 < 2，2 2
2 < 0,1 +
2 +
> 0，
1 2
1
1 1 2 2
2
则 ( ) ( ) = 2 1 2 1 (2 2 2 2) = 2 1 21 2 2 + = (2 1 2 2) + 2 1 2 2 2 1+ 2
1
= (2 1 2 2)(1 + + ) < 0， 2 1 2
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
因此 ( )在 上单调递增；
(2)不等式 (3 2 5 ) + ( 4) > 0等价于 (3 2 5 ) > ( 4) = (4 )；
则3 2 5 > 4 ，即3 2 4 4 > 0，
2
解得 > 2或 < ．
3
2
因此不等式 (3 2 5 ) + ( 4) > 0的解集为{ | > 2或 < }．
3
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19.【答案】解：水池容积为4800 3，深为3 ，则底面积为1600 2，
1600
水池底面一边的长度为 米，则另一边的长度为 .

1600
水池的总造价等于池底造价150 × 1600与池壁造价120(6 + 6 × )的和．

1600
即 = 240000 + 720( + )( > 0)．

1600
≥ 240000 + 720 × 2√

= 240000 + 720 × 2 × 40 = 297600．
1600
当 = 即 = 40时， 有最小值297600．

因此，当水池是底面边长为40 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
20.【答案】解：(1)若 2 ( 1) + > 0的解集为 ，
①当 = 0时， > 0，解集不为 ，不合要求；
> 0 1
②当 ≠ 0时，只需{ > ，
= ( 1)2 4 2 < 0 3
1
故 的取值范围是( , +∞)；
3
(2)因为 2 ( 1) + ≤ 0可化为 ( 2 + 1) ≤ ，
1 3
由于 2 + 1 = ( )2 + > 0，
2 4
1
问题转化为 ≤
2
= 1 对一切 > 0恒成立， +1 + 1

1 1
因为 + ≥ 2√ = 2，当且仅当 = 1时取等号，

1 1
故 1 ≥ = 1，
+ 1 2 1

则 ≤ 1， 的取值范围是( ∞, 1]．
21.【答案】解：(1)因为 = {1,2,3,4}，又 ，
但对于 中4，2两个元素，有|4 2| = 2，
所以集合 不具有性质 (2)，
因为 = {1,4,7,10}，又 ，
但对于 中任意两个元素，有|4 1| = 3，|7 1| = 6，|10 1| = 9，|7 4| = 3，|10 4| = 6，|10 7| = 3，
所以集合 具有性质 (2)．
(2)证明：将集合{1,2, ,20}中的元素分为如下11个集合，
{1,4}，{2,5}，{3,6}，{7,10}，{8,11}. {9,12}，{13,16}，{14,17}，{15,18}，{19}，{20}，
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所以从集合{1,2, ,20}中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素差的绝对值为3，
所以 不可能具有性质 (3)；
(3)先说明连续的11个自然数中集合 中最多选取5项，
以1，2，3， ，11为例：构造集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}，
①若5，6，7同时选，因为具有性质 (4)和 (7)，
所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；
则只剩4，8.故1，2，3， ，11中属于集合 的元素个数不超过5个；
②若5，6，7选2个，
若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，则{4,11}只能选一个元素，
3，8可以选，故1，2，3 ，11中属于集合 的元素个数不超过5个；
若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，
故1，2，3 ，11中属于集合 的元素个数不超过5个；
若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1,8}只能选一个元素，
4，9可以选，故1，2，3 ，11中属于集合 的元素个数不超过5个；
③若5，6，7中只选1个，
又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，
故1，2，3 ，11中属于集合 的元素个数不超过5个；
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合 的元素至多只有5个，
因为2023 = 183 × 11 + 10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合 的元素最多有184 × 5 = 920个．
给出如下选取方法：从1，2，3 ，11中选取1，4，6，7，9；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次．
此时集合 的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31； ，2014，2017，2019，
2020，2022，共920个元素，
经检验可得该集合符合要求，故集合 的元素最多有920个．
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