人教版九年级数学下名师点拨与训练第28章 锐角三角函数29.1 投影

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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
29.1 投影
学习目标：
1、理解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。
2、理解平行投影和中心投影的区别与联系。
3、理解正投影概念，理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识尝试解答。
学习重点：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
学习难点：在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影、正投影。
老师告诉你
物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
规律：1.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点
2.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
一、知识点拨
知识点1 、 平行投影
1.投影的概念：
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面
2.平行投影：由平行光线所形成的投影称为平行投影.
注意：平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【新知导学】
例1-1．下面四幅图是某校园内一棵小树不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序排列，是　 　.
例1-2．在太阳光的照射下，摆动一张正方形卡片，它在地面上的投影可能是什么图形
【对应导练】
1．如图，有甲、乙两根木杆，线段AB是甲木杆的投影，在图中画出形成投影的太阳光线及乙木杆的投影.
2．下列投影是平行投影的是（　　）
A．太阳光下窗户的影子 B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子 D．路灯下行人的影子
3．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．
4．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度.如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？
知识点2 、中心投影
1.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2.中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
3.判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影。
4.视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区
【新知导学】
例2-1．下列现象属于中心投影的有（　　）
①小孔成像； ②皮影戏；③手影； ④放电影.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2-2．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上.已知树高1m，树与墙之间的距离为10m，与射灯之间的距离为5m.求树在墙上的影长.
【对应导练】
1． 如图，路灯下一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是．
（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；
（2）在图中画出表示大树的线段．
2．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
3．如图，身高 米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高 线段 在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．
（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；
（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；
（3）若 米，求路灯灯泡P到地面的距离．
知识点3 、正投影的概念
1.正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
2.正投影的规律
物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
规律：（1）.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点
（2）.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
3.画几何体的正投影
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关
【新知导学】
例3-1．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
例3-2．一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形　 　投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形　 　投影面.
【对应导练】
1．已知一纸板的形状为正方形ABC D(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、C D与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面积.
2．几何体在平面P的正投影，取决于（　　）
①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　）
A． B． C． D．
题型训练
利用平行投影求物体高度
1．小王的身高是，在太阳光线下，他的影长是.
（1）小明的身高是，求同一时刻小明的影长(精确到).
（2）同一时刻旗杆的影长是，求旗杆的高.
2．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
3．如图所示，太阳光与地面成60°角，一颗倾斜的大树在地面上所成的角为30°，这时测得大树在地面上的影长约为10m，试求此大树的长约是多少？（得数保留整数）
利用中心投影与相似解决生活问题
4．如图分别是两根木棒及其影子的情形．
（1）哪个图反映了太阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）在太阳光下，已知小明的身高是1.8米，影长是1.2米，旗杆的影长是4米，求旗杆的高；
（3）请在图中分别画出表示第三根木棒的影长的线段．
5．如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
6．高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：
（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路灯O的高度，并说明理由．
正投影与作图
7 .画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
8 .画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
【答案】见解析。
【解析】如图所示：
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
2．如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（　　）
A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形
3．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　）
A．A B C D B．D B C A
C．C D A B D．A C B D
4．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（　　）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
5．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子(　　)
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
6．如图，灯光与影子的位置最合理的是（　　）
A． B．
C． D．
7．圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，如图，已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36π平方米 B．0.81π平方米
C．2π平方米 D．3.24π平方米
8．春分时日，小彬上午9：00出去，测量了自己的影长，出去了一段时间之后，回来时，他发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小彬出去的时间大约是（　　）小时．
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而　 　 (填“变大”、“变小”或“不变”).
10．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高　 　m．
11．如图，林林在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为　 　
12．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为　 　 m
13．如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为　 　 ．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
15．如图，树、红旗、人在同一直线上，已知人的影子为AB，树的影子为CD，确定光源的位置并画出旗杆的影子．
16．如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．
（2）在图中画出表示大树高的线段．
17．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
18．与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树．晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子（如图所示），树影是路灯灯光形成的．请你确定此时路灯光源的位置．
19．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
29.1 投影
学习目标：
1、理解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。
2、理解平行投影和中心投影的区别与联系。
3、理解正投影概念，理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识尝试解答。
学习重点：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
学习难点：在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影、正投影。
老师告诉你
物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
规律：1.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点
2.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
一、知识点拨
知识点1 、 平行投影
1.投影的概念：
一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面
2.平行投影：由平行光线所形成的投影称为平行投影.
注意：平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【新知导学】
例1-1．下面四幅图是某校园内一棵小树不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序排列，是　 　.
【答案】③④①②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，③，④是上午，①，②是下午，
根据影子的长度可知先后为③④①②．
故答案为：③④①②．
【分析】我们国家在北半球，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．
例1-2．在太阳光的照射下，摆动一张正方形卡片，它在地面上的投影可能是什么图形
【答案】解：在太阳光的照射下，摆动一张正方形卡片，它在地面上的投影可能正方形、长方形、菱形、平行四边形或一条直线．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】利用平行投影的性质思考解题即可．
【对应导练】
1．如图，有甲、乙两根木杆，线段AB是甲木杆的投影，在图中画出形成投影的太阳光线及乙木杆的投影.
【答案】解：如图所示：
【知识点】平行投影；作图-平行线
【解析】【分析】已知线段AB是甲木杆的投影，连接甲杆的顶端与B即可得到太阳光线，再根据太阳光线互相平行，过乙的顶端做刚才得到太阳光线的平行线.
2．下列投影是平行投影的是（　　）
A．太阳光下窗户的影子 B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子 D．路灯下行人的影子
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；故选A．
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
3．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．
【答案】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴=，即=
∴DE=12（m）．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）根据太阳光线为平行光线，连结AC，然后过D点作AC的平行线交BC于E即可；
（2）证明△ABC∽△DEF，利用相似比计算DE的长．
4．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度.如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？
【答案】解：如图所示，过作于，
则，.
同一时刻物高和影长成正比，
，
，
，
答：这棵大树高为.
【知识点】平行投影
【解析】【分析】 过D作DE⊥AB于E， 在BE=CD=2m，DE=BC=5m，进而根据同一时刻物高和影长成正比建立方程，求解即可.
知识点2 、中心投影
1.中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2.中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
3.判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影。
4.视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区
【新知导学】
例2-1．下列现象属于中心投影的有（　　）
①小孔成像； ②皮影戏；③手影； ④放电影.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据中心投影的定义可知答案为：D，
故答案为：D.
【分析】中心投影：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影。这个“点”就是中心，生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等。由此可得出答案.
例2-2．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上.已知树高1m，树与墙之间的距离为10m，与射灯之间的距离为5m.求树在墙上的影长.
【答案】∵树高：影子长=灯与树距离：灯与墙的距离，
∴1：影子长=5：15，解得，影子长=3m.
【知识点】中心投影
【解析】【分析】根据中心投影的概念，列出比例式求解.
【对应导练】
1． 如图，路灯下一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是．
（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；
（2）在图中画出表示大树的线段．
【答案】（1）解：见解析：如图，点P即为所求，
（2）解：见解析：如图，线段即为所求．
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：
【分析】 （1）连接CA、FD并延长，交点即为路灯P的位置；
（2）连接PN，过点M作MQ⊥MN交PN于Q，MQ即为表示大树的线段．
2．如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4 米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？
【答案】解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，
∵CD 米，∠DCE=45°，
∴DE=CE=CD =4，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ ，解得EF=2DE=8，
∴BF=10+4+8=22，
∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴△EDF∽△BAF，
∴ ，即 ，
∴AB=11米．
答：旗杆的高度为11米．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】 延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 证出 △EDF∽△BAF， 再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
3．如图，身高 米的小明站在距路灯底部O点10米的点A处，他的身高 线段 在路灯下的影子为线段AM，已知路灯灯杆OQ垂直于路面．
（1）在OQ上画出表示路灯灯泡位置的点P；
（2）小明沿AO方向前进到点C，请画出此时表示小明影子的线段CN；
（3）若 米，求路灯灯泡P到地面的距离．
【答案】（1）
（2）如图：
（3）∵AB∥OP，
∽ ，
，即 ，
解得 ．
即路灯灯泡P到地面的距离是8米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；中心投影
【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质，连接MB并延长交OQ于一点，该点就是路灯灯泡位置的点P ；
（2）根据中心投影的性质，连接PD并延长，交OM于点N，线段CN就是小明在路灯下的影子；
（3）根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △MAB∽△MOP， ，根据相似三角形对应边成比例得出 ， 根据比例式建立方程求解即可求出OP的长，从而得出答案。
知识点3 、正投影的概念
1.正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影
2.正投影的规律
物体正投影的投影规律：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同，并且物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
规律：（1）.线段正投影的投影规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点
（2）.平面图形正投影的投影规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
3.画几何体的正投影
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关
【新知导学】
例3-1．当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：投影线的方向是从上往下，因为杯口和杯底是圆，所以能看到一个圆和一条小线段。
故答案为：D。
【分析】由投影线的照射方向，可从向上往下看水杯得到图形。
例3-2．一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形　 　投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形　 　投影面.
【答案】//；不平行于
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：长方形与投影面平行时，正投影不改变大小；
当长方形与投影面不平行时，正投影的形状将会改为，可能为线段，平行四边形。
故答案为：//；不平行于
【分析】长方形的正投影与投影面的相对位置的不同，得到的正投影的大小也不一样。长方形与投影面的特殊的相对位置有：互相平行，互相垂直。平行时，正投影与原长方形形状大小一样；其他相对位置时，正投影的形状大小将会改变。
【对应导练】
1．已知一纸板的形状为正方形ABC D(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、C D与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面积.
【答案】解：过A作AE
BB1，交于点E，
因为∠ABB1=45°，
所以AE=BE=
cm
因为四边形ABCD是正方形，AD、BC与投影面β平行，
所以A1D1=B1C1=AD=BC=10cm，
所以正投影A1B 1C1D1的面积=10×
＝
(cm2)
【知识点】平行投影
【解析】【分析】AD、BC与投影面β平行，则A1D1=B1C1=AD=BC，而且四边形ABCD是正方形，可得正投影A1B 1C1D1是正方形，求出A1B1的长即可（根据∠ABB1=45°可求得）。
2．几何体在平面P的正投影，取决于（　　）
①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，
∴只有①②符合题意
故答案为；A
【分析】根据几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，即可得出答案。
3．把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图；平行投影
【解析】【解答】根据投影的性质可得，该物体为五棱柱，则正投影应为矩形．故选B．
【分析】根据正投影的性质：当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形．
题型训练
利用平行投影求物体高度
1．小王的身高是，在太阳光线下，他的影长是.
（1）小明的身高是，求同一时刻小明的影长(精确到).
（2）同一时刻旗杆的影长是，求旗杆的高.
【答案】（1）解：设同一时刻小明的影长为xm，则
．
解得．
答：同一时刻小明的影长约为1.45m；
（2）解：设旗杆高为hm，则
．
解得．
答：旗杆的高为18.64m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）设同一时刻小明的影长为xm，同时同地物高与影长成正比，据此列式计算即可得解；
（2）设同一时刻旗杆高为hm，同时同地物高与影长成正比，据此列式计算即可得解．
2．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆长，它的影长为，测得为，求金字塔的高度．
【答案】解：太阳光线是平行线，．
又，，
，．
答：金字塔的高度为．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】由平行线的性质证出，根据对应边成比例求解即可．
3．如图所示，太阳光与地面成60°角，一颗倾斜的大树在地面上所成的角为30°，这时测得大树在地面上的影长约为10m，试求此大树的长约是多少？（得数保留整数）
【答案】解：过B作BM⊥AC于M，
∵∠A=30°，
∴BM= BC=5，AM=5 ，
又∵∠CBE=60°，
∴∠ACB=30°，
∴AB=CB，
∴CM=AM=5 ，
∴AC=10 ≈17．
答：此大树的长约是17m．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行投影
【解析】【分析】先过B作BM⊥AC于M，构造含30°角的直角三角形，求得AM的长，再根据△ABC为等腰三角形，利用三线合一求得AC的长．
利用中心投影与相似解决生活问题
4．如图分别是两根木棒及其影子的情形．
（1）哪个图反映了太阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）在太阳光下，已知小明的身高是1.8米，影长是1.2米，旗杆的影长是4米，求旗杆的高；
（3）请在图中分别画出表示第三根木棒的影长的线段．
【答案】解：（1）图2反映了太阳光下的情形，图1反映了路灯下的情形；（2）设旗杆的高为xm，根据题意得，解得x=6，所以旗杆的高为6m；（3）如图1中，FG为在路灯下的第三根木棒的影长；如图2，FG为在太阳光下的第三根木棒的影长．
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）把木棒的顶端与投影的顶点连结起来即可得到投影线，然后根据投影线的关系判断是中心投影还是平行投影；
（2）对于平移投影，根据同一时刻身高与影长正比例进行计算；
（3）根据中心投影和平行投影的定义画图．
5．如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，
（1）球在地面上的阴影是什么形状？
（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？
（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？
【答案】解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；（2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；（3）设球在地面上阴影的半径为x米，则，解得：x2=，则S阴影=π平方米．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；
（2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；
（3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积．
6．高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：
（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．
（2）求出路灯O的高度，并说明理由．
【答案】解：（1）
（2）由于BF=DB=2（米），即∠D=45°，
所以，DP=OP=灯高，
△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP
∴△CEA∽△COP，即，
设AP=x，OP=h则：
①，
DP=OP表达为2+4+x=h②，
联立①②两式得：
x=4，h=10，
∴路灯有10米高．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】（1）连接DF并延长与CE的延长线交与一点即可得到路灯的位置；
（2）由于BF=DB=2米，即∠D=45°，则DP=OP=灯高，得出△CEA∽△COP，即，进而求出路灯的高．
正投影与作图
7 .画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
【答案】见解析。
【解析】如图所示：
8 .画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
(1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P；
(2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面P，并且其对角线AE垂直于投影面P．
【答案】见解析。
【解析】如图所示：
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．
故选B．
【分析】根据中心投影的定义当小亮从远处走到灯下，他在地上的影子逐渐变短，当他再远离路灯的时，他在地上的影子逐渐变长．
2．如图，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（　　）
A．圆 B．圆柱 C．梯形 D．矩形
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影特点，图中圆柱体的正投影是矩形．故选D．
【分析】根据平行投影特点可知．
3．下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（　　）
A．A B C D B．D B C A
C．C D A B D．A C B D
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
故选C．
【分析】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
4．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（　　）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧.故答案为：C.
【分析】由平行投影中影子的长度取决于物体的长度，中心投影中影子的长度和方向不仅与物体的长度有关，而且还要看物体到光源的距离可以得出本题结论.
5．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子(　　)
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据光源是由远到近的过程和中心投影的特点可得：小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短，
故答案为：A．
【分析】该投影是中心投影， 小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处 的过程中，光源是由远到近的过程，根据中心投影的特点，小亮在路灯下由远及近向路灯靠近时，其影子应该逐渐变短。
6．如图，灯光与影子的位置最合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：根据中心投影的特点：①影子与光源应在物体的异侧，②连接物体和它影子的顶端的直线必定经过点光源；
故答案为：B.
【分析】根据中心投影特点一一分析即可得出答案.
7．圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，如图，已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
A．0.36π平方米 B．0.81π平方米
C．2π平方米 D．3.24π平方米
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；中心投影
【解析】【解答】如图，根据常识桌面与地面平行，
所以，△ADE∽△ABC，
∴
即 ，
解得BC=1.8，
所以，地面上阴影部分的面积= =0.81π（平方米）．
故答案为：B．
【分析】根据常识，桌面与地面是平行的，然后判断出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出地面阴影部分的直径，再根据圆的面积公式列式进行计算即可得解．
8．春分时日，小彬上午9：00出去，测量了自己的影长，出去了一段时间之后，回来时，他发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小彬出去的时间大约是（　　）小时．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：依题意，要令影长相等，就要使太阳高度角相等．已知上午9：00与15：00的太阳高度角是相等的，
故可求出小彬出去的之间为15﹣9=6（小时）．
故选：C．
【分析】结合题意，要使两个时间的影长相等，必须使阳光照射的角度相等，根据地理常识可知：上午9：00与15：00的阳光照射的角度相等，故则小彬出去的时间大约为6小时．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而　 　 (填“变大”、“变小”或“不变”).
【答案】变小
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD.
当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小.
故答案为：变小.
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．
10．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高　 　m．
【答案】9
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：延长AD交BC延长线于E，
根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4，
∵CD=2m，
∴CE= m，
∴BE=BC+CE=5+ = m，
∴BE：AB=1：1.4，
∴AB=9m．
故答案为：9．
【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE，再求AB即可．
11．如图，林林在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为　 　
【答案】4m
【知识点】锐角三角函数的定义；平行投影
【解析】【解答】解：根据题意构建如图所示的三角形：
∴∠ECF=90°，ED=2 m，DF=8 m，CD为树高.
∵∠1+∠2=∠E+∠2=90°，
∴∠1=∠E.
∴tan E=tan∠ 1，
即 = ，
解得CD=4 m.
【分析】根据题意构建如图所示的三角形：根据同角的余角相等，再由等角的正切相等得 ，解之即可得出答案.
12．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为　 　 m
【答案】5
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：小桥所在圆的圆心为点O，连结OG，设⊙O的半径为Rm，如图，
∵=，
∴=，解得GH=8，
∵MN为弧GH的中点到弦GH的距离，
∴点O在直线MN上，GM=HM=GH=4，
在Rt△OGM中，OM=R﹣2，OG=R，GM=4，
∵OM2+GM2=OG2，
∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，
即⊙O的半径为5m．
故答案为5m．
【分析】小桥所在圆的圆心为点O，连结OG，设⊙O的半径为Rm，如图，先利用平行投影的性质和相似的性质得到=，于是可求出GH=8，再根据垂径定理得到点O在直线MN上，GM=HM=GH=4，然后根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，再解方程即可．
13．如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为　 　 ．
【答案】（D）（C）（A）（B）
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，南偏西，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列，为（D）（C）（A）（B）．
【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射人室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m，求窗户的高度AB．
【答案】解：∵BN∥AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴ 即
解得：CA=3，
∴AB=3-1=2，
答：窗户的高度AB为2m．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】阳光可看作一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形的性质可求出AC的长，进而求出AB的长即窗户的高度.
15．如图，树、红旗、人在同一直线上，已知人的影子为AB，树的影子为CD，确定光源的位置并画出旗杆的影子．
【答案】解：如图所示是灯光的光线．原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过人的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，其交点就是光源的位置；然后再过旗杆的顶端连接光源的直线，交地面于一点，连接这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子．
【知识点】平行投影
【解析】【分析】利用两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点，这样得到的投影是中心投影，此点就是光源的位置所在．
16．如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．
（1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．
（2）在图中画出表示大树高的线段．
【答案】解：（1）如图所示：P点即为路灯的位置；
（2）如图所示：GM即为所求．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】（1）利用对应点连线相交于一点进而得出路灯位置；
（2）利用路灯的位置得出大树高．
17．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
【答案】解：（1）∵圆锥的底面半径和高都为2m，∴CH=HE=2m，∵∠SBA=30°，∴HB=2m，∴影长BE=BH﹣HE=2﹣2（m）；（2）作CD⊥SA于点D，在Rt△ACD中，得CD=ACcos30°=AC=，∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°，∴∠DSC=45°，∴SC==2，∴SB=2+BC=2+4，∴SF=SB=（+2）m，答：光源S离开地面的高度为（2+）m．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】（1）根据已知得出CH=HE=2m，进而得出HB的长，即可得出BE的长；
（2）首先求出CD的长进而得出∠DSC=45°，利用锐角三角函数关系得出SC的长即可．
18．与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树．晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子（如图所示），树影是路灯灯光形成的．请你确定此时路灯光源的位置．
【答案】解：
∴点O为路灯光源的位置．
【知识点】中心投影
【解析】【分析】直接连接树的顶端和影子的顶端形成的直线，再根据反射的原理作出经过玻璃反射的光线形成的直线，两条直线的交点处即为点光源的位置．
19．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
【答案】解：（1）如图，EF为此时DE在阳光下的投影；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得DE=10（m），
即DE的长为10m．
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连结AC，过点D作DF∥AC，则EF为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比计算出DE的长．
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