2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题：本大题共12小题，共60分。
1.在四面体中，( )
A. B. C. D.
2.圆的圆心的坐标为( )
A. B. C. D.
3.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
4.设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.若直线与椭圆交于点，，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
7.已知空间向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
9.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
11.如图所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
12.如图，已知菱形的边长为，且分别为棱中点将和分别沿折叠，若满足平面，则线段的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
13.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为 ．
14.已知双曲线的一个焦点，渐近线为，则的标准方程是 ．
15.已知，且共面，则 ．
16.若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 ．
17.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，单位：，小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积单位：的最大值是 ．
18.椭圆，左焦点是，过的直线与椭圆交于两点不同于长轴的端点，已知点则下列说法中正确的是 写出所有正确命题的序号
直线与直线的斜率的和为；与的面积之比为
点到直线的距离等于；．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.已知空间向量，，，，．
求向量，，的坐标
求与夹角的余弦值．
20.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，在棱上
求证：平面平面；
求到平面的距离；
在平面内，求线段的长．
21.已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为
求圆方程
过点的直线与圆交于、两点，且的面积是为坐标原点，求直线的方程．
22.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且焦距为．
求椭圆的方程和离心率；
过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，若，求的值．
23.已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足；为偶数，那么称集合具有性质已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
若集合，判断是否具有性质；
若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”．
参考答案
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19.因为，，，
所以，所以，，
所以，，
因为，，
所以，
所以，所以；
，，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角的余弦值为．

20.因为平面，平面，所以，
因为，，，
所以，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
因为平面，，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，令，所以，，所以，
所以到平面的距离；
设，
，，，
所以，
因为平面的法向量为，在平面内，
所以，所以，即，所以，
所以，所以，
所以线段的长为．

21.解：
Ⅰ设圆心，则圆的方程为
，
圆的方程为
Ⅱ当斜率不存在时，此时直线方程为，原点到直线的距离为，
令代入圆方程得，，
满足题意此时方程为．
当斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，

原点到直线的距离，
整理，得，此时无解．
综上所述，所求的直线的方程为．

22.由题可知，
所以椭圆的方程为，离心率为．
由可知，

设直线，
联立，整理得，
显然，得，
易知，
所以
．
因为，得，
所以．

23.集合具有性质，理由如下：
取，满足，，是偶数，
因此集合具有性质；
集合不具有性质，理由如下：
若取，为奇数，不满足条件；
若取或或，均有，不满足条件，
所以不具有性质．
由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，
因为不是偶数，所以不合题意．
当时，由，得，即，或，
因为是偶数，不是偶数，所以不合题意．
所以集合，令，解得，
显然，所以集合是集合的“期待子集”．
先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，
使得均属于，不妨设，令，，，
则，即满足条件，
因为，所以，即满足条件，
因为，所以为偶数，即满足条件，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质
再证必要性：
当集合具有性质，则中存在，同时满足；；为偶数，
令，，，则由条件得，
由条件得，由条件得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，所以，
因为，所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”，
综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质．

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