2024-2025学年江西省景德镇市乐平三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省景德镇市乐平三中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
3.“”是“两条直线，平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.定义：将小时内降水在平地上积水厚度来判断降雨程度其中小雨，中雨，大雨，暴雨，小明用一个圆锥雉形容器接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( )
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
5.直线关于对称的直线为，直线的方程是( )
A. B. C. D.
6.若是所在平面外一点，且，，则点在所在平面内的射影是的( )
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
7.四边形是矩形，，点，分别是，的中点，将四边形绕旋转至与四边形重合，则直线，所成角在旋转过程中( )
A. 逐步变大 B. 逐步变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小
8.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 若向量、与空间任意向量都不能构成一组基，则
B. 若非零向量，，满足，，则有
C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基
10.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是( )
A. 直角三角形 B. 直角梯形 C. 正五边形 D. 正六边形
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.设直线，的方向向量分别为，，若，则 ______．
13.有一根高为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______结果用表示．
14.如图，已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面，交线段于点，交，的延长线于，两点则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知直线．
若直线 不经过第一象限，求的取值范围；
若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为为坐标原点，求的最小值和此时直线的方程．
16.如图，平面，，，，，．
求证：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，．
若为中点，求证：平面；
求直线与直线所成角的大小；
设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论．
18.如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．
若为中点，求证：；
若平面，求线段长度的 最小值．
19.在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为其中，该方程称为平面的一般式方程如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
求平面的一般式方程．
求到直线的距离．
在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
当时，方程可化为，不经过第一象限；
当时，方程可化为，
要使直线不经过第一象限，则
解得．
综上，的取值范围为．
由题意可得，
由取得，
取得，
所以，
当且仅当时，即时取等号，
综上，此时，直线的方程为．

16.证明：平面，且，平面，
故AE，，而，
故以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，．
设，则．
则是平面的法向量，又，可得
又直线平面，
平面；
解：依题意，
设为平面的法向量，
则，令，得，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.证明：连结，交于，连接，
为矩形，
为的中点，
在中，，分别为，的中点，
，
因为面，面，
所以平面．
解：，
，
是直线与直线所成角，
为矩形，
，
平面平面，
又平面，平面平面，
平面，
，平面，
，，
在中，，，
，
，
，
又，，平面，平面，
平面，
平面，
，
在中，，
，
，
即直线与直线所成的角为；
解：与平面垂直．
证明如下：
为矩形，
，
平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，
则，
由可知平面，
平面．
18.解：由已知，，，，
所以，
，
，
因为为中点，
所以，
又
，
所以，
所以，
即；
连接，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，，
平面，，
所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
、、、、，
，
，
设平面法向量为，，
则，所以，
令，则， ，即，
因为点在平面内，
故设点的坐标为，
因为
，
所以，
因为平面，所以，
则，
所以，
所以当时，有最小值，最小值为．

19.解：由于，，，，平面，
所以平面，所以是直线与平面所成的角，
所以，所以．
所以，
所以，
，
设平面的法向量为，
则，则，
故可设，平面，
则平面的方程为，
即．
在中，，，
设到的距离为，则，
由于平行四边形和平行四边形全等，
所以到直线的距离等于设到的距离，
即到直线的距离为．
，，，，
即，而，
所以，
设，
则，即，
所以，，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
故可设，
设平面的法向量为，
则，则，
故可设，
若平面平面，则，
即，
解得，负根舍去，
所以存在符合题意的点，且．
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