北京市第171中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

北京市第 171 中学 2025 届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = ，集合 = { | > 2}， = { |1 < < 3}，那么阴影部分表示的
集合为( )
A. { | > 2} B. { | ≤ 2} C. { | ≥ 2} D. { | ≤ 1}
2+
2.如果复数 ( ∈ )的实部与虚部相等，那么 =( )

A. 2 B. 1 C. 2 D. 4
3.设等差数列{ }的前 项和为 ，且 3 = 2， 1 + 4 = 5，那么 6 =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2
4.已知函数 ( ) = 2 ，则不等式 ( ) > 0的解集是( )
A. (0,1) B. ( ∞,2) C. (2,+∞) D. (0,2)
5.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，点 为 上一动点，线段 的垂直平分线与 = 1交于点 ，那么( )
A. | | ≥ | | B. | | > | | C. | | ≤ | | D. | | < | |

6.若函数 ( ) = sin( + )( > 0)在( , )上单调，且在(0, )上存在极值点，则 的取值范围是( )
3 2 4
1 2 2 7 1 7
A. ( , 2] B. ( , 2] C. ( , ] D. ( , ]
3 3 3 6 3 6

7.在△ 中，∠ = 90°，∠ = 30°，∠ 的平分线交 于点 .若 = + ( , ∈ )则 =( )

1 1
A. B. C. 2 D. 3
3 2
8.已知数列{ }为无穷项等比数列， 为其前 项的和，“ 1 > 0，且 2 > 0”是“ ∈
，总有 > 0”
的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件
9.已知在三棱锥 中， = = 2√ 34, = = 10, = = 2√ 41，则三棱锥 的体
积为( )
A. 40 B. 80 C. 160 D. 240
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10.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发
明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数
的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001)，可得 的值为( )
2 3 7 11 13
0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
√ 4 2
11.函数 ( ) = 的定义域为______．


12.( + )5( ∈ )的展开式中 3的系数为10，则实数 = ______．

2 2
13.已知直线 = 2 与双曲线 ： 2 2 = 1没有公共点，那么双曲线 的离心率的一个值是______．
14.在平面直角坐标系 中，点 为圆( 2)2 + 2 = 1上的动点，点 的坐标为( , )，其中 为常
数且0 ≤ ≤ .如果 的最大值为0，那么 = ______，此时 的最小值为______．
| 1|, ≤ 1,
15.已知函数 ( ) = { 其中 > 0且 ≠ 1.给出下列四个结论：
( 2)( 1), > 1.
①若 ≠ 2，则函数 ( )的零点是0;
②若函数 ( )无最小值，则 的取值范围为(0,1)；
③若 > 2，则 ( )在区间( ∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增;
④若关于 的方程 ( ) = 2恰有三个不相等的实数根 1， 2， 3，则 的取值范围为(2,3)，且 1+ 2 + 3
的取值范围为( ∞,2)．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知在△ 中， + = 2 ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 4，在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ 存在且唯一，求△ 的周长．
①△ 的面积为5√ 3；
② = √ 13；
√ 3
③ 边上的高线 长为 ．
2
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17.(本小题14分)
如图，矩形 ， = 1， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°， = 1， = = 2，平面 与
棱 交于点 ．
(1)求证： // ；
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值；

(3)求 的值．

18.(本小题13分)
在2021年12月9日发布的《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》中，义务教育体育与健康考核评价包
括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日
施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项
考试内容．
某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓
球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项
相互独立．
(Ⅰ)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
(Ⅱ)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，设 为这3人中选考1分钟跳绳的人数，
求随机变量 的数学期望 ；
(Ⅲ)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人
得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选
考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 1，其中男生的乒乓球平均分的估计值为 2，试比较 1与 2
的大小. (结论不需要证明)
19.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且椭圆 的左顶点 ，上顶点 ，下顶点 围成的三角形 2
的面积为2．
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(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)已知点 (0,2)，直线 交椭圆 于点 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，若直线 与 轴交于 点，
| |
过 且平行于 轴的直线与 交于 点，求 的值．
| |
20.(本小题15分)
1
已知 ( ) = + 2，其中 > 1．
2
(1)当 = 0时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)当 = 1时，求函数 ( )的极值；
1
(3)若 ( ) ≥ 2 + + 对于 ∈ 恒成立，求( + 1) 的最大值．
2
21.(本小题15分)
已知数列{ }，从中选取第 1项、第 2项、…、第 项( 1 < 2 < < )，若 < < < ，则称新1 2
数列 , , … , 为{ }的长度为 的递增子列，若 > > > ，则称新数列 , ,…, 为{ }的1 2 1 2 1 2
长度为 的递减子列，递增子列和递减子列统称为{ }的单调子列.规定：数列{ }的任意一项都是{ }的长
度为1的单调子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列；
(Ⅱ)已知数列{ }的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ，长度为 的递增子列的末项的最小值为 .若0 0
< ，求证： < ； 0 0
(Ⅲ)若数列{ }有
2 +1项，且任意两项均不相等，证明：{ }必存在长度为 + 1的单调子列．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[ 2,0) ∪ (0,2]
12.【答案】2
13.【答案】2(答案不唯一)
2
14.【答案】 2
3
15.【答案】①④

16.【答案】解：(1)由正弦定理 = = ，得 + = 2 ，

所以sin( + ) = 2 ，
因为 + + = ，所以sin( + ) = ，所以 = 2 ，
1
因为 ∈ (0, )， ≠ 0，所以2 = 1，即 = ，
2

又因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
(2)选择①：
1
因为 △ = 5√ 3，即 = 5√ 3， 2
1 √ 3
即 × × 4× = 5√ 3，所以 = 5，
2 2
1
又因为 2 = 2 + 2 2 ，即 2 = 25+ 16 2 × 5 × 4 × ，
2
所以 = √ 21，所以△ 的周长为9 +√ 21；
选择②：
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因为 = √ 13，
1
又因为 2 = 2 + 2 2 ，即13 = 2 + 16 2 × × 4 × ，
2
所以 = 1或3，
因为△ 存在且唯一，所以舍去；
选择③：
√ 3 √ 3
因为 边上的高线 长为 ，即 = ，所以 = 1，
2 2
1
又因为 2 = 2 + 2 2 ，即 2 = 1 +16 2 × 1 × 4 × ，
2
所以 = √ 13，所以△ 的周长为5 +√ 13．
17.【答案】(1)证明：由题知，∵矩形 ，∴ // ，
∵ // ，且 平面 ， 平面 ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴平面 //平面 ，
∵平面 与棱 交于点 ，且 平面 ，∵平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
平面 //平面 ，
故 AG// ；
(2)解：矩形 ， = 1， ⊥平面 ， // ，∠ = 90°， = 1， = = 2，
由题知， ⊥平面 ，且∠ = 90°，∴ ， ， 两两垂直，
以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,1)， (2,2,1)，
∴ = (2,2,1), = (0,2,0), = (0,0,1)，

设平面 的法向量为 = ( , , )，则有{ = 0，
= 0
2 + 2 + = 0
即{ ，不妨令 = 1，可得 = (1,0, 2)，
2 = 0
2 2√ 5
记直线 与平面 夹角为 ，∴ = |cos , | = | | = | | = ，
| | | | √ 5 5
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故直线 与平面 夹角的正弦值为2√ 5；
5
(3) 由题知，设 = ，∴ = ， = ( 1,0,1)，故 G(1 , 0, )，

由(2)知平面 的法向量为 = (1,0, 2)，且 ∈平面 ，
故
1
= 0，∵ = (1 , 0, )，∴ 1 2 = 0，∴ = ，
3
1
故 = ．
3
18.【答案】解：(Ⅰ)样本中选考乒乓球的男生的人数为1100× 10%= 110人，女生的人数为1000× 5% = 50
人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件 ，
110+50 8
则该学生选考乒乓球的概率 ( ) = = ；
1100+1000 105
(Ⅱ)设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
由题意 ( ) = 0.4， ( ) = 0.5，
由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ( = 0) = (1 0.4)2 × (1 0.5) = 0.18， ( = 1) = 12 × 0.4× (1 0.4)× (1 0.5) + (1 0.4)
2 ×
0.5 = 0.42，
( = 2) = 12 × 0.4× (1 0.4)× 0.5+
2
2 × 0.4
2 × (1 0.5) = 0.32， ( = 3) = 0.42 × 0.5 = 0.08，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.18 0.42 0.32 0.08
所以 ( ) = 0× 0.18 + 1 × 0.42 + 2 × 0.32+ 3 × 0.08 = 1.3；
100×8+40×7.5+20×7 31 60×8+40×7.5+10×7 85
(Ⅲ)由题意可知， 1 = = ， 2 = = ， 160 4 110 11
所以 1 > 2．
2 = 2 + 2
√ 3
19.【答案】解：(Ⅰ)依题意： = = 2 ，解得 = 2， = 1， = √ 3，
1
{ × 2 × = 22
2
椭圆的标准方程为 + 2 = 1；
4
(Ⅱ)如图，
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= + 2
直线 ： = + 2，{
2
，
+ 4 2 = 4
6 4
解得 = ， = .若直线 ： = 0， 5 5
| | 3
则 = ，若直线 ： = + 2，
| | 2
= + 2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，{ ， 2 +4 2 = 4
整理得(1 + 4 2) 2+ 16 + 12 = 0，
= 256 2 48 192 2 = 64 2 48 > 0，
解得 √ 3或 √ 3
16 12
> < ， 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
2 2 1+4 1+4
+1
直线 ： = 1 1，令 = 0，
1
1
得 =
1 . 2 直线 ： = + 1， 1+1 2
4 2 6( 2 1) 2( 1+1) = 6( 2+1) 2( 1+3) 8 1 2+6( 1+ 2)令 = ，得
5 5( 2 1)
，因为 = + = + = = 0， 2 1 2 1 1 2
| | |2 | 3
所以 ， ， 三点共线，所以 = = ，
| | | 0| 2
| | 3
综上知： = ．
| | 2
1
20.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = + 2，函数定义域为 ，
2
可得 ′( ) = + ，
此时 ′(0) = 1，
又 (0) = 1，
所以曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 1 = 1 × ( 0)，
即 = + 1；
1
(2)当 = 1时， ( ) = + 2，
2
可得 ′( ) = 1+ ，
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令 ( ) = 1 + ，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = +1 > 0， ( )单调递增，
又 ′(0) = 0，
所以当 ≤ 0时， ′( ) ≤ ′(0) = 0，当 > 0时， ′( ) > 0，
即函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以函数 ( )的极小值为 (0) = 1，无极大值；
1
(3)若 ( ) ≥ 2 + + 对于 ∈ 恒成立，
2
即 ( + 1) ≥ 0在 ∈ 恒成立．
设 ( ) = ( + 1) ，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = ( +1)，
因为 > 1，
当 < ln( + 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > ln( + 1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = ln( + 1)时， ( )取得极小值，
极小值 (ln( + 1)) = ln( +1) ( + 1)ln( + 1) = ( + 1) ( + 1)ln( + 1) ，
易知( + 1) ( + 1)ln( + 1) ≥ 0，
所以 ≤ ( + 1) ( + 1)ln( + 1)，
可得( + 1) ≤ ( + 1)2 ( +1)2 ln( + 1)，
设 ( ) = 2 2 ，函数定义域为(0,+∞)，
可得 ′( ) = 2 (2 + ) = (1 2 )，
当0 < < √ 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > √ 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

所以 ( ) = (√ ) = √ = ， 2

即( + 1) ≤ ．
2

故( + 1) 的最大值为 ．
2
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意知，数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列为递增子列，是1，3，5，6，9；
(Ⅱ)设长度为 ，末项为 的递增子列为 ， ，…， ， ， 0 1 2 1 0
由 < ，可得 ≤ ≤ ， 1 0
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因为数列{ }的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ， 0
又因为 ， 1 ，…， ， 是{ }的长度为 的递增子列， 2 1
所以 ≤ ， 0
由此可得 ≤ ． 0 0
(Ⅲ)因为数列{ }任意两项均不相等，现以数列的每一项 为首项选取长度最大的单调子列，设其共有 项，
组成数列 1， 2 ，
若 1， 2，…， 2+1中有一个 ≥ +1，那么数列{ }存在一个长度为 + 1的递增子列，
所以数列{ }存在一个长度为 + 1的单调子列，
若数列{ }不存在长度超过 的递增子列，
即0 < ≤ ， = 1，2，3…，
2+ 1，
所以在 1， 2，…， 2+1中，至少有 +1个数是相等的，
取其中 + 1项，不妨设为 = = = = ，其中 < < < ， 1 2 +1 1 2 +1
下面证明当 = ，且 < 时 > ，
证明：假设 < ，将 加到以 为首项长度为 的递增子列前面，
构成了以 为首项、长度为 + 1的递增子列，
以 为首项的最长递增子列的项数为 矛盾，假设不成立，所以 > ，
由此可知 > > > ， 1 2 +1
所以 ， ，…， 构成了一个长为 + 1的递减子列， 1 2 +1
综上所述，{ }必存在长度为 + 1的单调子列．
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