中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级上册期末考前突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．若分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的倍 D．不变
3．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
7．用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4 B．x3﹣4x2﹣12x
C．x2﹣2x D．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
9．如图， 的外角 的平分线 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ，其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在的纸片中，，沿剪开得四边形，则的度数为 °．
12．若点关于y轴的对称点是点，则a= ．
13．因式分解： ．
14．如图，直角坐标系中，已知A(－2，－1)，B(3，－1)，C(1，2)，请你在y轴上找一点P．使 ABP和 ABC全等，则点P的坐标是 ．（写出一个即可）
15．如图，在等边 中， ，点O在线段 上，且 ，点 是线段 上一点，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交线段 于一个点 ，连接 ，如果 ，那么 的长是 ．
16．如图，有5个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为32，则每个小长方形的对角线为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）已知 在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）直接写出三个顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ）
（2）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘 ，得到点 、 、 ，在图中描出点 、 、 ，并画出 ；
（3） 边上的高为 ．
18．（9分）已知关于x的方程
（1）当时，求方程的解；
（2）当m取何值时，此方程无解；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
19．（9分）在等边中，D是的中点，，的两边分别交直线、于E、F．
（1）问题：如图1，当E、F分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；
（2）探究：如图2，当E落在边上，F落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；
（3）应用：如图3，当E落在射线上， F落在射线上时，，，则 ．
20．（9分）问题背景
如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得．
类比探究
类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算： ；
（2）运用完全平方公式计算：；
（3）已知，，求的值．
21．（9分）学方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
（2）【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由.
22．（9分）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
23．（9分）在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
24．（9分）
（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB的度数是 ；
（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB= （用含，的代数式表示）；
（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，，应该满足怎样的数量关系？请说明理由；
（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级上册期末考前突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，两边的部分能够重合的图形是轴对称图形”逐一判断即可．
2．若分式的的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ）
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的倍 D．不变
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴分式的的值同时扩大到原来的10倍，分式的值不变，
故答案为：D.
【分析】利用分式的性质（分式的分子和分母同乘或除不等于0的整式，分式的值不变）分析求解即可.
3．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A：，由题意得AC=AD， ， 故△ADC是等边三角形；
B：，不满足等边三角形的判定，不符合题意；
C：，不满足等边三角形的判定，不符合题意；
D：，不满足等边三角形的判定，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据作图利用等边三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
4．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵∠C=60°，∠CNG=90°，
∴∠G=30°，
∵CM=7，
∴CG=2CM=14，
∴NG=8，
∴BN=GB=4，
∴AC=BC=10，
故答案为：C.
【分析】作点N关于直线BD的对称点G，过点G作GM⊥AC于点M，交BD于点P，则此时MP+PN的值最小，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CG=2CM=14，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
5．某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设规定的工期为x天，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设规定的工期为x天，根据“学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成”列出方程即可.
6．如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）
A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选D．
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
7．用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵OM=ON，OP=OP
∴( )
∴∠AOP=∠BOP
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（ ）
A．x2﹣4 B．x3﹣4x2﹣12x
C．x2﹣2x D．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 x2﹣4 =(x+2)(x-2)含有因式（x﹣2），故A错误；
B、x3﹣4x2﹣12x =x(x2-4x-12)=x(x+2)(x-6) 不含有因式（x﹣2） ，故B正确；
C、x2﹣2x =x(x-2)故C错误；
D、（x﹣3）2+2（x﹣3）+1 =(x-3+1)2=(x-2)2故D错误；
故答案为：B.
【分析】用提公因式，公式法，十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底.
9．如图， 的外角 的平分线 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ，其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点P在 的平分线上；故（2）正确；
∵ ，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到 ，可判断（1）（2）正确；由 ， ，得到 ，可判断（3）错误；即可得到答案.
10．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，所以 不唯一，所以①不符合题意．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以②符合题意．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以 唯一，所以③符合题意．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出 ，发现左边位置的Q不符合题意，所以 唯一，所以④符合题意．
综上：②③④符合题意．
故答案为：C．
【分析】以点P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM由1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的，根据此观点进行解答即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在的纸片中，，沿剪开得四边形，则的度数为 °．
【答案】270
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。四边形ADEB的内角和为（4-2）×180°=360°，即∠A+∠B+∠1+∠2=360°，因此∠1+∠2=360°-90°=270°。
故答案为：270.
【分析】在直角三角形中，除直角之外的两个内角之和为90°；而任意四边形的内角和为360°，当然任意n边形的内角和计算公式为（n-2）×180°。利用这两个条件，就可以计算出∠1+∠2的度数。
12．若点关于y轴的对称点是点，则a= ．
【答案】-2
【解析】【解答】解： ∵点关于y轴的对称点是点，
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得到答案.
13．因式分解： ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可。
14．如图，直角坐标系中，已知A(－2，－1)，B(3，－1)，C(1，2)，请你在y轴上找一点P．使 ABP和 ABC全等，则点P的坐标是 ．（写出一个即可）
【答案】（0，2）或（0，-4）
【解析】【解答】解：设点P的坐标为（0，m），
在y轴上找一点P．使 ABP和 ABC全等，
点P在y轴正半轴上， ABP≌ BAC，
∴AP=BC，即m+1=2+1，
∴m=2，
点P（0，2），
点P在y轴负半轴时，P与点（0，2）关于y=-1对称，
∴2+1=-1-m
∴m=-4
P（0，-4）．
点P的坐标为（0，2）或（0，-4）．
故答案为（0，2）或（0，-4）．
【分析】根据全等三角形的判定定理，确定点P的坐标即可。
15．如图，在等边 中， ，点O在线段 上，且 ，点 是线段 上一点，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交线段 于一个点 ，连接 ，如果 ，那么 的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，
∵ ，
∴△ADP是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OPD=∠B=∠A=60°，AB=AC=10，
∵∠APD=∠APO+∠OPD=∠BDP+∠B，
∴∠APO=∠BDP，
∴△APO≌△BDP，
∴BP=AO=3，
∴AP=AB BP=10 =7；
故答案为：7.
【分析】连接OD，则由 得到△ADP是等边三角形，则∠OPD=∠B=∠A=60°，由三角形外角性质，得到∠APD=∠BDP，则△APO≌△BDP，即可得到BP=AO=3，然后求出AP的长度.
16．如图，有5个形状大小完全相同的小长方形构造成一个大长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为32，则每个小长方形的对角线为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，
则大长方形的宽为(2a+b)，长为(2b+a)，
根据题意可得：(2a+b)(2b+a)-5ab=32，
整理得：2a2+2b2=32，即a2+b2=16，
∴每个小长方形的对角线为，
故答案为：4．
【分析】设小长方形的宽为a，长为b，则大长方形的宽为(2a+b)，长为(2b+a)，根据题意列出式子求解即可。
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）已知 在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）直接写出三个顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ）
（2）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘 ，得到点 、 、 ，在图中描出点 、 、 ，并画出 ；
（3） 边上的高为 ．
【答案】（1）（3，4）；（4，2）；（1，1）
（2）解：如图，△ 即为所求；
（3）
【解析】【解答】解：（1）由图可知， 、 ， ．
故答案为： 、 ， ；
（3） ，
，
设 边上的高为h，
∵ ，
∴ ．
【分析】（1）根据平面直角坐标系求点的坐标即可；
（2）根据题意作三角形即可；
（3）利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
18．（9分）已知关于x的方程
（1）当时，求方程的解；
（2）当m取何值时，此方程无解；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
当时，，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：分式方程去分母得：，
整理得：，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
当时，，
∴时该分式方程无解；
（3）解：解关于x的分式方程得：，
∵方程有解，且解为正数，
∴ ，
解得：且．
【解析】【分析】（1）将代入，再求出分式方程的解即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解可得，求出x的值，最后将x的值代入方程求出m的值即可；
（3）先求出方程的解，再根据题意列出不等式组，最后求出m的取值范围即可。
19．（9分）在等边中，D是的中点，，的两边分别交直线、于E、F．
（1）问题：如图1，当E、F分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；
（2）探究：如图2，当E落在边上，F落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；
（3）应用：如图3，当E落在射线上， F落在射线上时，，，则 ．
【答案】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，，
，
，
（2）解：结论成立．．
理由：如图1，过点D分别作于G点，于H点，
由（1）可得：，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）6
【解析】【解答】解：（3）如图2中，过D作交于M点，
，
同理可证，
，．
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：6
【分析】（1）先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）过点D分别作于G点，于H点，先利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过D作交于M点，先利用“SAS”证明，可得，再求出，最后求出即可。
20．（9分）问题背景
如图，图1，图2分别是边长为，a的正方形，由图1易得．
类比探究
类比由图1易得公式的方法，依据图2中的已知条件推导出完全平方的另一个公式．
解决问题
（1）计算： ；
（2）运用完全平方公式计算：；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
．
【解析】【解答】解：（1）．
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案；
（2）将代数式变形为，再利用完全平方公式计算即可；
（3）将代数式变形为，再将，xy=2代入计算即可。
21．（9分）学方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子
①化简：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝ ；
②计算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝ ；
（2）【公式运用】已知：＋x＝5，求的值：
（3）【公式应用】如图，将两块棱长分别为a、b的实心正方体橡皮泥揉合在一起，重新捏成一个高为的实心长方体，问这个长方体有无可能是正方体，若可能，a与b应满足什么关系？若不可能，说明理由.
【答案】（1）a3-b3；100
（2）解：∵，
∴原式
=5-1
=4.
（3）解：假设长方体可能为正方体，由题意：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴7a2-10ab+7b2=0不成立，
∴该长方体不可能是边长为的正方体.
【解析】【解答】解：(1)①原式=a3+(-b)3=a3-b3.
②原式=（99+1）（992-99×1+12）÷（992-99+1）=100.
故答案为：a3-b3，100.
【分析】（1）①将a-b看着a+（-b），利用立方和公式可求出（a－b）（a2＋ab＋b2）的结果；②利用立方和公式将993＋1转化为（99+1）（992-99×1+12），然后进行计算可求出结果.
（2）先将括号里的运算通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，将其转化为，然后代入求值.
（3）假设长方体可能为正方体，利用立方体和长方体的体积公式可得到 ，再利用立方和公式将等式转化为 ，去分母可得到7a2-10ab+7b2=0，利用配方法可得到 ＞0，可推出7a2-10ab+7b2=0不成立，由此可做出判断.
22．（9分）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
【答案】（1）解：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADF=∠BCF， 再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）根据角平分线先求出 ∠ABE= ∠ABC，再求出∠E=∠ABE ，即可作答；
（3）先求出 ∠DAB+∠CBA=180°， 再求出 ∠EOF=∠AOB=90°， 即可证明。
23．（9分）在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上截取一点E使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）证明：如图所示，在射线上取一点H，使得，连接，
∴
由（1）同理可证明，
又∵，
∴，
∴点H和点D重合，
∴．
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和判定得到三条边相等，进而证明结论；
（2）从结论出发看出需要通过截长补短来进行证明，添加辅助线之后，利用全等和等腰三角形，证明结论；
（3）借助第一轮的结论，利用同一法来证明D，H重合.
24．（9分）
（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB的度数是 ；
（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB= （用含，的代数式表示）；
（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，，应该满足怎样的数量关系？请说明理由；
（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论.
【答案】（1）40°
（2）
（3）解：若AG∥BH，则α+β=180°.理由如下：
若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE.
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，
∴∠DAB=∠CBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；
（4）解：
【解析】【解答】解：（1）∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE=∠CBE，∠FAB=∠DAB.
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB
=360°-120°-140°=100°.
又∵∠F+∠FAB=∠FBE，
∴∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE ∠DAB
= (∠CBE ∠DAB)
= (180° ∠ABC ∠DAB)
=×(180° 100°)
=40°.
故答案为：40°；
（2）由（1）得：∠AFB= (180° ∠ABC ∠DAB)，
∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB.
∴∠AFB= (180° 360°+∠D+∠DCB)
=∠D+∠DCB 90°
=α+β 90°.
故答案为：；
（4）如图：
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=∠DAB，∠NBE=∠CBE，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β，
∴∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β，
∴∠DAB-∠CBE=180°-α-β，
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF=∠NBE，
又∵∠F+∠ABF=∠MAB，
∴∠F=∠MAB-∠ABF，
∴∠F=∠DAB ∠NBE
=∠DAB ∠CBE
= (∠DAB ∠CBE)
= (180° α β)
=90°-α β.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠FBE=∠CBE，∠FAB=∠DAB，由四边形的内角和可得
∠DAB+∠ABC=100°，根据三角形的外角和定理可得∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE ∠DAB= (∠CBE ∠DAB)= (180° ∠ABC ∠DAB)即可求解；
（2）同（1）方法即可求解；
（3）若AG∥BH，则α+β=180°，理由：由平行线的性质可得∠GAB=∠HBE， 由角平分线的定义可得 ∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE， 即得∠DAB=∠CBE， 可得AD∥BC， 根据平行线的性质即得结论；
（4）如图，由（1）可求∠BAM=∠DAB，∠NBE=∠CBE，∠DAB-∠CBE=180°-α-β，利用三角形外角的性质可得∠F=∠MAB-∠ABF=∠F=∠DAB ∠NBE=∠DAB ∠CBE= (∠DAB ∠CBE)
= (180° α β).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
