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北师大版九年级上册期末名师优题卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
2．某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
5．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x-1）x=6 210 B．3（x-1）=6 210
C．（3x-1）x=6 210 D．3x=6 210
7．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：时，移项得，两边平方得，所以，即．仿照上述构造方法，当时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A． B． C． D．
8． 下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分对角
D．矩形的对角线相等且互相平分
9．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
10．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．某款正方形地砖如图所示，其中AE＝BF＝CG＝DH，且∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，若四边形MNPQ的面积为S1，四边形AFQE面积为S2，当AF＝5，且时，AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
12．如图，平行于x轴的直线与函数y＝ （k1＞0，x＞0），y＝ （k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
14．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是 ．
15．如图，M为反比例函数的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k的值为 ．
16．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，．如果，那么 ．
17．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
18．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，已知四边形是菱形，且于点E，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．
20．（6分）为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，某中学即将举办“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动，学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，九年级（1）班的王磊和李欣同学都准备参加此次活动，但不知选择哪一种活动方案，于是他们制定了A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），如图，将四张卡片背面朝上洗匀后，王磊先从中任意抽取一张，记录下卡片上的内容并放回，李欣再从中任意抽取一张．
（1）王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的概率．
21．（9分）为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ；
（3）为了共同进步，郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率，
22．（9分）如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，点 .
（1）求 和 的值；
（2）求 的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 的取值范围.
23．（9分）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 和 摆放在一起，A为公共顶点， ，它们的斜边长为2，若 固定不动， 绕点A旋转， 、 与边 的交点分别为F、G（点F不与点C重合，点G不与点B重合），设 ， .
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求b与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围.
（3）以 的斜边 所在的直线为x轴， 边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图（2），若 ，求出点G的坐标，猜想线段 、 和 之间的关系，并通过计算加以验证.
24．（9分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时，为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）．请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A 0≤t＜0.5 20 0.05
B 0.5≤t＜1 a 0.3
C l≤t＜1.5 140 0.35
D 1.5≤t＜2 80 0.2
E 2≤t＜2.5 40 0.1
25．（9分）已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
26．（9分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
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北师大版九年级上册期末名师优题卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．若函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：函数的图象经过点，
，
.
故答案为：D.
【分析】将点代入即可求解.
2．某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：从上面看到的平面图形为正方形内有一个圆.
故答案为：D.
【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，即可得到答案.
3．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
4．如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ）
A．转盘甲 B．转盘乙 C．无法确定 D．一样大
【答案】D
【解析】【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的 ，转盘的指针停在白色区域的概率为 ；
转盘乙，白色区域占该圆总面积的 ，转盘的指针停在白色区域的概率为 ；
因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为
故答案为：D．
【分析】利用几何概率求解即可。
5．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点
∴y1＜y2，则 ﹣1＜x＜0或x＞1
故答案为：D
【分析】由题意可得，当正比例函数的图象在反比例函数的图象下方时，有y1＜y2，结合函数图象即可求出答案.
6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x-1）x=6 210 B．3（x-1）=6 210
C．（3x-1）x=6 210 D．3x=6 210
【答案】A
【解析】【解答】解： 设这批椽的数量为x株，则可列方程为 3（x-1）x=6 210 ，
故答案为：A.
【分析】设这批椽的数量为x株，根据这批椽的价钱为6 210文 ，每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，利用列出方程，从而求解.
7．利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：时，移项得，两边平方得，所以，即．仿照上述构造方法，当时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
可变形为：，
则，
故，
则可以构造出一个整系数方程是：．
故答案为：B．
【分析】参照题干中的定义及计算方法可得，再求出即可.
8． 下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分对角
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【解析】【解答】解：A：对角线相等的四边形不一定是矩形，错误，不符合题意；
B：对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，错误，不符合题意；
C：平行四边形的对角线不平分对角，错误，不符合题意；
D：矩形的对角线相等且互相平分，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据矩形，平行四边形的判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
9．如图，中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似；
③两三角形虽两边所夹的角不一定相等，故两三角形不一定相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
∴正确的有①②④，
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定结合题意对①②③④逐一判定即可求解。
10．10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设参赛队伍有x支，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】结合“乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支”列出方程即可求解。
11．某款正方形地砖如图所示，其中AE＝BF＝CG＝DH，且∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，若四边形MNPQ的面积为S1，四边形AFQE面积为S2，当AF＝5，且时，AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：连接EF，FG，
∵正方形ABCD，AE=CG，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∴AF=BG，
∵∠AFQ=∠BGM=∠DEP=45°，
∴∠AEQ=180°-45°=135°，
∴∠EQF=360°-∠A-∠AEQ-∠AFQ=360°-90°-135°-45°=90°，
∴∠MQF=90°，
同理可知∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形PQMN是矩形；
在△AEF和△BFG中
∴△AEF≌△BFG（SAS）
∴EF=FG，∠AFE=∠BGF，
∵∠AFQ=∠BGM，
∴∠EFQ=∠FGM，
在△FEQ和△GFM中
∴△FEQ≌△GFM（AAS），
∴EQ=FM，FQ=MG，；
∴MQ=MN，
∴四边形PQMN是正方形；
过点Q作QK⊥AF于K，过点E作ER⊥KQ于R，
∴∠AFQ＝∠DEP＝45°，
∴∠AFQ＝∠KQF＝∠REQ＝∠RQE＝45°，
∴KF＝KQ，ER＝RQ，
∵QK⊥AF，ER⊥KQ，∠A＝90°，
∴四边形AKRE是矩形，
∴AK＝ER＝QR，AE＝KR；
∴
∴
；；
∵，
∴（舍去） ，，
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】连接EF，FG，利用正方形的性质可证得∠A=∠B=90°，AD=BC，可证得AF=BG，同时可求出∠AEQ=135°，利用四边形的内角和为360°，可求出∠MQF=90°，同理可证∠QPN=∠PNM=90°，可证得四边形PQMN是矩形；再证明△AEF≌△BFG，利用全等三角形的性质可证得EF=FG，∠AFE=∠BGF，同时可证得∠EFQ=∠FGM；利用AAS可证得△FEQ≌△GFM，可推出EQ=FM，FQ=MG，由此可得到MQ=MN，利用有一组邻边相等的矩形是正方形，可得到四边形PQMN是正方形；过点Q作QK⊥AF于K，过点E作ER⊥KQ于R，再证明四边形AKRE是矩形，可得到AK＝ER＝QR，AE＝KR；同时可得到；分别用含KF的代数式表示出S1和S2，利用，可得到关于KF的方程，解方程求出KF的长，可得到AK的值，然后根据AE=KR=KF-AK，代入计算求出AE的长.
12．如图，平行于x轴的直线与函数y＝ （k1＞0，x＞0），y＝ （k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【答案】A
【解析】【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（ ，m）、B（ ，m），
则：△ABC的面积＝ AB yA＝ （ ﹣ ） m＝6，
则k1﹣k2＝12．
故答案为：A．
【分析】△ABC的面积＝ AB yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
即，整理得，解得，
又，解得，
m的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】根据二次方程的定义及有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案
14．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是 ．
【答案】300步
【解析】【解答】∵点G、E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，
∴DG=AD，DE=CD，
∴DG=DE，
∵∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°，
∴△DFE∽△HDG，
∴，
∵EF=30步，GH=750步，DE×DG=EF×HG，
∴DE2=30×750=22500，
解得：DE=150，
∴CD=2DE=300步，
故答案为：300步.
【分析】先证出△DFE∽△HDG，可得，再将EF=30步，GH=750步代入可得DE2=30×750=22500，再求出DE的长，最后求出CD的长即可.
15．如图，M为反比例函数的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k的值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】∵△AOM的面积为3，
∴|k|=3×2=6，
∴k=±6，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k>0，
∴k=6，
故答案为：6.
【分析】利用反比例函数k的几何意义可得|k|=3×2=6，再结合反比例函数图象在第一象限，求出k的值即可.
16．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，．如果，那么 ．
【答案】30
【解析】【解答】解：EF∥AB，所以，
所以，，
因为， ，
所以四边形DBFE是平行四边形，所以DE=BF，
所以，
所以
又因为，
所以，
所以，
故填：30.
【分析】根据题意可知，借助相似三角形的面积比等于边长比的平方，可知与，可求出三角形ABC的面积，再由即可求出答案.
17．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
【答案】1
【解析】【解答】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，
整理，得x2-35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，依题意列出方程，解之即可。
18．如下图，在平面直角坐标系中有一边长为l的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OBl为边作第三个正方形OBlB2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，B2点坐标为（-2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（-4，0），
B4点坐标为（-4，-4），B5点坐标为（0，-8），
B6（8，-8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8=252…4，
∴B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，
∴B2020的坐标为（21010，21010）.
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质先求出B1——B9的坐标，可得规律每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，由2020÷8=252…4，可得B2020的纵横坐标符号与点B4的相同，横坐标为负值，纵坐标是负值，据此即得结论.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，已知四边形是菱形，且于点E，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得BC=CD，再利用菱形的面积公式可证得AE=AF.
（2）利用菱形的性质可知AB=BC=10，利用勾股定理求出AE的长，再利用菱形的面积公式求出菱形ABCD的面积.
20．（6分）为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，某中学即将举办“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动，学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，九年级（1）班的王磊和李欣同学都准备参加此次活动，但不知选择哪一种活动方案，于是他们制定了A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），如图，将四张卡片背面朝上洗匀后，王磊先从中任意抽取一张，记录下卡片上的内容并放回，李欣再从中任意抽取一张．
（1）王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法求王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的情况有4种，
∴王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）一共有4张卡片，王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的只有1种情况，
∴ 王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的概率为.
故答案为：
【分析】（1）根据题意可知一共有4种结果数，王磊抽取的卡片上的活动方案是文艺汇演的只有1种情况，然后利用概率公进行计算.
（2）根据题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，可得到所有的可能的结果数及王磊和李欣所抽取卡片上的活动方案相同的情况数，再利用概率公式可求出其概率.
21．（9分）为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ；
（3）为了共同进步，郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率，
【答案】（1）3；1
（2）解：360°×（1﹣50%﹣25%﹣15%）＝36°， 答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°； 故答案为：36°
（3）解：由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）＝ ．
【解析】【解答】（1）解：C类学生人数：20×25%＝5（名）
C类女生人数：5﹣2＝3（名），
D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，
D类学生人数：20×10%＝2（名），
D类男生人数：2﹣1＝1（名），
故C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图，
故答案为：3，1
【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，利用总人数乘以对应的比例即可求得C类的人数，然后求得C类中女生人数，同理求得D类男生的人数；（2）利用360°×课前预习不达标百分比，即可解答；（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
22．（9分）如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，点 .
（1）求 和 的值；
（2）求 的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 的取值范围.
【答案】（1）解：把A点（1，4）分别代入反比例函数y=k/x，一次函数y=x+b，得k=1×4，1+b=4，解得k=4，b=3，
∴反比例函数的解析式是y=4/x，一次函数解析式是y=x+3
（2）解：如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
当x=-4时，y=-1，∴B（-4，-1），当x=0时，y=+3，∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×3×4+ ×3×1=15/2
（3）解：∵B（-4，-1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或-4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【解析】【分析】（1）将A（1，4）分别代入 y=k/x 与 y=x+b中，求出k、b即可.
（2）利用一次函数坐标特征，先求出B与C的坐标，由
S△AOB=S△AOC+S△BOC ，利用三角形面积公式计算即得.
（3）利用图象就是一次函数图象在上方而反比例函数在下方所对应的x的范围.
23．（9分）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 和 摆放在一起，A为公共顶点， ，它们的斜边长为2，若 固定不动， 绕点A旋转， 、 与边 的交点分别为F、G（点F不与点C重合，点G不与点B重合），设 ， .
（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求b与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围.
（3）以 的斜边 所在的直线为x轴， 边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图（2），若 ，求出点G的坐标，猜想线段 、 和 之间的关系，并通过计算加以验证.
【答案】（1）解：△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA.
∵∠GAF=∠C=45°，
∠AGF=∠AGC，
∴△ACG∽△FAG.类似证明△FAG∽△FBA；
（2）解：∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，
∴∠CAG=∠BFA.
∵∠B=∠C=45°，
∴△ACG∽△FBA，
∴ = .
由题意可得CA=BA= .
∴ = .∴b= .
自变量a的取值范围为1＜a＜2.
（3）解：由BG=CF可得BF=CG，即a=b.
∵b= ，
∴a=b= .
∵OB=OC= BC=1，
∴OF=OG= ﹣1.
∴G（1－ ，0）.
线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2；
∵BG=OB﹣OG=1－( －1)=2－ =CF，
FG=BC﹣2BG= 2－2(2－ )=2 －2.
∵BG2+CF2=2(2－ )2=12－8 ，FG2=(2 －2)2=12－8 .
∴BG2+CF2=FG2 .
【解析】【分析】(1)找到有公共角的和45°角的两个三角形即可； (2)证明△ACG∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可得b与a的函数关系式，根据点F与点C重合时a为2，点G与点B重合时a为1，可得a的取值范围(3)先求得a=b= ，可求点G（1－ ，0）；根据BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2 －2，即可得到线段 、 和 之间的关系.
24．（9分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时，为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）．请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝ ，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？
（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
组别 时间（小时） 频数（人数） 频率
A 0≤t＜0.5 20 0.05
B 0.5≤t＜1 a 0.3
C l≤t＜1.5 140 0.35
D 1.5≤t＜2 80 0.2
E 2≤t＜2.5 40 0.1
【答案】（1）120；解：补全图形如下：
（2）解：每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有8000×（0.05+0.3）＝2800（名）；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种．
∴P（抽到1名男生和1名女学生）＝ ＝ ．
【解析】【解答】（1）解：∵被调查的学生总人数为20÷0.05＝400，
∴a＝400×0.3＝120，
故答案为：120，
【分析】（1）根据A组的频数与频率可求出总人数，乘以B组的频率即可得a值，根据a值补全频数分布直方图即可；（2）用8000乘以每天户外体育活动的时间不足1小时的学生的频率和即可得答案；（3）画树状图得出所有可能的情况数和抽到1名男生和1名女生的情况数，利用概率公式即可得答案．
25．（9分）已知，如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数图象交于A点（3，2），
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答：在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围？
（3）M（m，n）是反比例函数上一动点，其中0大于m小于3，过点M作直线MN平行x轴，交y轴于点B．过点A作直线AC平行y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵将分别代入，中，
得，，∴，，
∴反比例函数的表达式为：，
正比例函数的表达式为．
（2）解：∵
观察图象，得在第一象限内，
当时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）解：
理由：∵轴，轴，∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴轴，∴是矩形．
∵M和A都在双曲线上，
∴，，
∴，又∵，
∴，
即，
∵，∴，即
∴，∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入，中，求出k、a的值即可；
（2）结合函数图象直接求解即可；
（3）利用割补法可得，所以，再结合，求出，即，再求出，即可得到 ，，从而可得。
26．（9分）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 沿DE翻折，点A的对应点为 ，延长 交直线DC于点F，再把 折叠，使点B的对应点 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
（1）求证： ；
（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 恰好落在直线MN上，试判断 的形状，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为 内一点，且 ，试探究DG，EG，FG的数量关系.
【答案】（1）证明：由折叠的性质可知： ， ， ， ，
.
又 ，
，
；
（2）解：结论： 是等边三角形，理由如下：
直线MN是矩形ABCD的对称轴，
点 是EF的中点，即 ，
在 和 中
，
，
， ，
又 ， .
，
，
是等边三角形；
（3）解：DG，EG，FG的数量关系是 ，理由如下：
由(2)可知 是等边三角形；将 逆时针旋转 到 位置，如解图(1)，
， ， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，可得结果；
（2）由 点 恰好落在直线MN上 可得 点 是EF的中点，即 ， 由SAS易证，可得结果；
（3） 将 逆时针旋转 到 位置，由(2)可知 是等边三角形 ，由旋转可得
△DGG’是等边三角形，由勾股定理可得结果.
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