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华师大版八年级上册期末模拟培优卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列语句是命题的是（ ）
A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段到，使得 D．邻补角互补
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
3．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD=6m，AB=4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C．m D．m
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．4，5，6
8．估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
9．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
10．数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F= （∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
12．如图，锐角 中， ，若想找一点P，使得 与 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和 的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．三人皆正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲正确，乙、丙错误 D．甲错误，乙、丙正确
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解： ．
14．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
15．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 .
16．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交AC于点，，则BC的长度为 ．
17．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ABC周长为16，AB＝5，则△ACD的周长为 ．
18．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是 ；
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，∠ENC+∠CMG=180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2=∠3．
（2）若∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，则∠B的大小为 ．
20．（6分）如图，在△ABC 中，已知点 D
在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于
E，交 BC 于 G，且
AE∥BC
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．
21．（9分）某中学为丰富综合实践活动，开设了四个实验室如下：A．物理；B．化学；C．信息；D．生物．为了解学生最喜欢哪个实验室，随机抽取了部分学生进行调查，每位被调查的学生都选择了一个自己最喜欢的实验室，调查后将调查结果绘制成了如图统计图，请根据统计图回答下列问题
（1）求这次被调查的学生人数．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）求出扇形统计图中B对应的圆心角的度数．
22．（9分）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形纸片Ⅰ、1张边长为b的正方形纸片Ⅱ和2张宽和长分别为a和b的长方形纸片Ⅲ，拼成了图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 ．（用含a，b的代数式表示）
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a＋b）（a＋2b）的大长方形，则需要Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种纸片各多少张？
（3）如图③，已知点C为线段AB上一动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1＋S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
25．（9分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
26．（9分）学习概念：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念：如图1，在 中， ， ，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ，请根据规定②，求证： 为 的等角分割线；
（3）应用概念：在 中， ， 是 的等角分割线，直接写出 的度数.
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时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列语句是命题的是（ ）
A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段到，使得 D．邻补角互补
【答案】D
【解析】【解答】解：A、“画出两个相等的线段”是叙述作图要求，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
B、“所有的同位角都相等吗”是问句，不是陈述句，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
C、“延长线段AB到C，使得BC=AB”是叙述作图要求，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、邻补角互补是命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般的，数学上，把用语言、符号或式子表达的，可以判断事情真假的陈述句叫做命题，进而逐项分析可得答案.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）
A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BNC的周长是24cm，
∴BN+CN+BC=24cm，
∴AN+CN+BC=24cm，即AC+BC=24cm，
又BC=10cm，
∴AC=14cm，
∵AB=AC，
∴AB=14cm.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AN=BN，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差可得AC+BC=24cm，进而结合已知可得AB的长.
3．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD=6m，AB=4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C．m D．m
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是个正方形的宽，
∴长为米；宽为6米．
∴最短路径为：（米）．
故答案为：B
【分析】先根据题意将木块展开，进而根据勾股定理结合题意进行计算即可求解。
4．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ，A不符合题意；
B. ，B不符合题意；
C. ，C符合题意；
D. ，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据因式分解结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．已知M是含字母的单项式，要使多项式是某一个多项式的平方，则M等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
∴M=，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式结合题意即可得到M的值。
6．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ AB∥ED，AC∥FD ，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等可以得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据三角形全等的判定方法：“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可知判断两个三角形全等，至少有一组边对应相等，据此可判断求解.
7．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，10 D．4，5，6
【答案】C
【解析】【解答】解：A、12+22=5≠32，不是勾股数，A不符合题意；
B、0.3，0.4，0.5，不是正整数，不是勾股数，B不符合题意；
C、62+82＝100=102，是勾股数，C符合题意；
D、42+52≠62，不是勾股数，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据若a2+b2＝c2，且a，b，c是正整数，则a，b，c是勾股数，逐一判断选项，再选择即可.
8．估计的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【解析】【解答】解：因为故，因此
故答案为：C.
【分析】得出的范围进而即可得出答案。
9．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设绳索AC长为x米
在Rt△ADC中
AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=(x-3)m
∵DC=6m，AC=xm
∴，即
解得：
故答案为：B
【分析】设绳索AC长为x米，根据边之间的关系可得AD=(x-3)m，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
10．数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点C表示的数为x
则AB=AC
即，解得：
故答案为：C
【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
11．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F= （∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解： ①∵∠ADG=∠BGF=90°，∠AGD=∠BGH，∴ ∠DBE=∠F，符合题意；
②∵∠BEF=∠C+∠EBC，∠BAF=∠BEF+∠ABE，∴∠BEF+∠BEF+∠ABE=∠C+∠EBC+∠BAF，
即2∠BEF+∠ABE=∠C+∠EBC+∠BAF，∵∠ABE=∠CBE，∴ 2∠BEF=∠BAF+∠C，符合题意；
③ ∠ABD=90 ∠BAC， ∠DBE=∠ABE ∠ABD=∠ABE 90 +∠BAC=∠CBD ∠DBE 90 +∠BAC， ∵∠CBD=90 ∠C， ∴∠DBE=∠BAC ∠C ∠DBE， 由①得，∠DBE=∠F， ∴∠F=∠BAC ∠C ∠DBE， ∴∠F=(∠BAC ∠C)，符合题意；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD=∠FEB， ∴∠BGH=∠ABE+∠C， 符合题意.
故答案为：D.
【分析】 ①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，即可证明结论正确；②根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可证明结论正确；③由余角的性质及角平分线的定义推出∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，结合①的结论，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可．
12．如图，锐角 中， ，若想找一点P，使得 与 互补，甲、乙、丙三人作法分别如下：
甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求；
乙：分别以B，C为圆心，AB，AC长为半径画弧交于P点，则P即为所求；
丙：作BC的垂直平分线和 的平分线，两线交于P点，则P即为所求.
对于甲、乙、丙三人的作法，下列叙述正确的是（ ）
A．三人皆正确 B．甲、丙正确，乙错误
C．甲正确，乙、丙错误 D．甲错误，乙、丙正确
【答案】B
【解析】【解答】解：甲：如图1， ，
，
，
甲正确；
乙：如图2，延长AC交 于E，连接PE，PD，
，
，
，
，
，
即 ，
乙不正确；
丙：如图3，过P作 于G，作 于H，
平分 ，
，
是BC的垂直平分线，
，
≌ ，
，
，
，
，
，
丙正确；
故答案为：B。
【分析】甲的作法可知AB=BP，根据等边对等角得出 ，根据邻补角的定义得出 ，再等量代换即可得出，故甲正确；乙：延长AC交 于E，连接PE，PD，根据圆的内角四边形的对角互补得出，根据等边对等角得出，根据圆周角定理得出，从而即可得出结论 ，故乙不正确；丙：如图3，过P作 于G，作 于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出，从而利用HL判断出 ≌ ， 根据全等三角形对应角相等得出，根据等式的性质得出，进而根据四边形的内角和及等量代换即可得出结论，故丙正确。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．因式分解： ．
【答案】x（x-9）
【解析】【解答】 x（x-9），
故答案是：x（x-9）．
【分析】提取公因式x即可。
14．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
【答案】6
【解析】【解答】解：，，
，，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
15．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 .
【答案】2m+4
【解析】【解答】解：设拼成的矩形的面积的另一边长为x，
则4x=（m+4）2-m2=（m+4+4）（m+4-m），
解得x=2m+4，
故答案为：2m+4.
【分析】根据拼成的矩形的面积等于正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可.
16．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交AC于点，，则BC的长度为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：连结，
垂直平分，
，
，
由三角形外角性质得：，
，
.
故答案为：8．
【分析】根据垂直平分线的性质得，再由等腰三角形的性质及三角形外角性质求得，然后根据直角三角形的性质，即可得到答案．
17．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ABC周长为16，AB＝5，则△ACD的周长为 ．
【答案】11
【解析】【解答】解：根据题意可得：直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵C△ABC=AB+AC+BC=16，AB=5，
∴AC+BC=16-5=11，
∴C△ACD=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=11，
故答案为：11.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再利用三角形的周长公式及等量代换求出答案即可.
18．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是 ；
【答案】11
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，∠ENC+∠CMG=180°，AB∥CD．
（1）求证：∠2=∠3．
（2）若∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，则∠B的大小为 ．
【答案】（1）证明：∵∠ENC+∠CMG=180°，∠CMG=∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN=180°，
∴FG∥ED，
∴∠2=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠D，
∴∠2=∠3；
（2）34°
【解析】【解答】（2）解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
∵∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，
∴∠1+70°+∠1+42°=180°，
∴∠1=34°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠1=34°．
故答案为：34°．
【分析】（1）根据对顶角相等可得出∠ENC+∠FMN=180°，根据平行线的判定可得FG//ED，由平行线的性质可得∠2=∠D，∠3=∠D，等量代换即可得出结论；
（2）由平行线的性质∠A+∠ACD=180°，结合已知可得∠1+70°+∠1+42°=180°，可求得∠1=34°，根据平行线的性质即可求解。
20．（6分）如图，在△ABC 中，已知点 D
在线段 AB 的反向延长线上，过 AC的中点 F 作线段 GE 交∠DAC 的平分线于
E，交 BC 于 G，且
AE∥BC
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC 的周长．
【答案】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：∵F是AC的中点，∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中，∵∠C=∠CAE，AF=FC，∠AFE=∠GFC，
∴△AEF≌△CFG，
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4，
∴BC=12，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质，证出 ∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后结合角平分线的定义，可证出 ∠B=∠C， 故此可证明 △ABC是等腰三角形；
（2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得三角形ABC的周长。
21．（9分）某中学为丰富综合实践活动，开设了四个实验室如下：A．物理；B．化学；C．信息；D．生物．为了解学生最喜欢哪个实验室，随机抽取了部分学生进行调查，每位被调查的学生都选择了一个自己最喜欢的实验室，调查后将调查结果绘制成了如图统计图，请根据统计图回答下列问题
（1）求这次被调查的学生人数．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）求出扇形统计图中B对应的圆心角的度数．
【答案】（1）解：140÷28%＝500（人）．
∴这次被调查的学生人数为500人．
（2）解：A项目的人数为500﹣（75+140+245）＝40（人），
补全图形如下：
（3）解： ×360°＝54°．
∴扇形统计图中B对应的圆心角的度数为54°．
【解析】【分析】（1）根据项目C的人数及其所占百分比即可求得被调查的人数；
（2）总人数减去B、C、D的人数和求出A的人数，补全图形即可；
（3）用360°乘以B项目人数所占百分比即可.
22．（9分）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）
（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．
【答案】（1）a2-b2；(a+b)(a-b)
（2）
（3）解：运用（2）所得的结论可得：
20212﹣2020×2022
＝20212﹣（2021﹣1）×（2021＋1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212＋1
＝1．
【解析】【解答】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S ＝a2﹣b2，S ＝（a＋b）（a﹣b）
故答案是：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）由（1）所得结论和面积相等，则可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案是：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【分析】（1）根据题意求出S ＝a2﹣b2，S ＝（a＋b）（a﹣b）即可作答；
（2）根据（1）所求求解即可；
（3）利用平方差公式计算求解即可。
23．（9分）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形纸片Ⅰ、1张边长为b的正方形纸片Ⅱ和2张宽和长分别为a和b的长方形纸片Ⅲ，拼成了图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图①和图②可以得到的等式为 ．（用含a，b的代数式表示）
（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a＋b）（a＋2b）的大长方形，则需要Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种纸片各多少张？
（3）如图③，已知点C为线段AB上一动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1＋S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（2）解：，
需要纸片Ⅰ，Ⅱ各2张，纸片Ⅲ5张．
（3）解：设，则，
，
，
，
，，
．
【解析】【解答】解：（1）大正方形的边长为：，面积为；
还可以用1张Ⅰ，Ⅱ，两张Ⅲ拼出，
面积还可以为：；
．
故答案为：．
【分析】（1）先求出面积还可以为：，再求解即可；
（2）根据题意求出 ， 即可作答；
（3）先求出 ， 再求出ab=8，最后求解即可。
24．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若P为BC上的中点，求证：；
（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
【答案】（1）证明：连接AP，
∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，；
（2）解：成立． 如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，同理，，∴又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝，∴；
（3）解：． 如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，，在Rt△ADP中，，∴ 又∵BP＝BD＋DP，CP＝DP－CD＝DP－BD，∴BP CP＝（BD＋DP）（DP－BD）＝，∴．
【解析】【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可得AP⊥BC，BP＝CP，再利用勾股定理和等量代换可得；
（2）连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得；
（3）P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC于D，再利用勾股定理和等量代换可得。
25．（9分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4
（3）解：设为x2﹣2x＝t，
则原式=t（t+2）+1
=t2+2t+1
=（t+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4.
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将 看作整体进而分解因式即可．
26．（9分）学习概念：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念：如图1，在 中， ， ，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ，请根据规定②，求证： 为 的等角分割线；
（3）应用概念：在 中， ， 是 的等角分割线，直接写出 的度数.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠CDA=∠CDB=∠ACB=90°
∵∠BCD+∠ACD=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠DCB
又∵∠DCB+∠DBC=90°
∴∠ACD=∠DBC
∴ 与 、 与 和 与 是“等角三角形”.
（2）证明：∵在 中， ，
∴
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ 为 的等角分割线.
（3）111°或84°或106°或92°.
【解析】【解答】（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=42°，
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=69°，∠BCD=∠A=42°，
∴∠ACB=69°+42°=111°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B=46°，
∴∠ACB=92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，
则∠B=180°-2x，
则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+42°=x，
解得，x=74°，
∴∠ACD=180°-2x=32°，
∴∠ACB=106°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.
【分析】（1）先由同角的余角分别得到 ∠DAC=∠DCB ， ∠ACD=∠DBC ，结合题上定义即可；
（2）先通过角平分性质得到 ，结合三角形内角和得到∠ACB、∠BDC的度数，接着根据定义 为 的等角分割线；
(3)先由 是 的等角分割线 ，分类讨论当△ACD、△BCD分别是等腰三角形及等角三角形的情况，最终得到∠ACB的度数.
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