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华师大版九年级上册期末真题冲刺卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x＋3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3
C．（x＋3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
2．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
3．在一幅长，宽的矩形风景画（图中阴影小矩形）的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图（图中虚线边框矩形）的面积是，设白色纸边的宽度为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
7．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投一次骰子，朝上面的点数是
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
8．从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
10．如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
12．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD AF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13． 若有意义，则x的取值范围是 ．
14．如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
15．在中，，，，则的值是 .
16．如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为，则四边形的面积为 ．
17．如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求 AECF的周长．
20．（6分）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，.请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点D到所在直线的距离.
（2）求的长度.
21．（9分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12，求的值.
22．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）求反比例函数的解析式与点的坐标；
（2）连接、，求的面积；
（3）点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标.
23．（9分）“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺（以下分别用、、、表示）这四种不用口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）.
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若有外型完全相同的、、、饺各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（、、）的概率.
24．（9分）如图1，在矩形中，交于点G，E为的中点，的延长线交于点F，连接．
（1）若，证明：；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）如图2，若，M为的中点，连接，﹒已知．
①求证：；
②求k的值．
25．（9分）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且.点F是BC边上的动点.将沿EF折叠得到.直线GF与直线AB的交点为H.
（1）如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
（2）如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长.
（3）在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由.
26．（9分）如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合，
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
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华师大版九年级上册期末真题冲刺卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x＋3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3
C．（x＋3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
【答案】D
【解析】【解答】解：x2﹣6x＝3，
方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12，
写成平方得形式：（x﹣3）2＝12.
故答案为：D．
【分析】方程两边加上9，再把方程左边写成完全平方的形式即可。
2．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵与位似，它们的周长比为
∴
故答案为：C
【分析】根据相似图形的面积比是其周长比的平方即可求出答案.
3．在一幅长，宽的矩形风景画（图中阴影小矩形）的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图（图中虚线边框矩形）的面积是，设白色纸边的宽度为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设白色纸边的宽度为，根据题意得：
．
故答案为：B
【分析】 先确定矩形挂图的长为60+2x，宽为40+2x；再根据面积公式列方程即可。
4．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为个单位长度，如图所示：
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用网格中小正方形对角线的性质，作CE∥AB，连接BE交AC于点D，根据相似三角形的性质和锐角三角函数的定义式求解即可。
5．如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，
∵是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据中位线性质可得DE∥BC，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=6，DF=4，最后利用中位线的性质求解即可。
6．行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故答案为：B
【分析】根据频率估计概率，结合图像可知随着树苗数量上升，树苗成活的频率稳定在0.9，进而可得成活的概率估计值为0.9。
7．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投一次骰子，朝上面的点数是
B．任意画一个三角形，其内角和是
C．从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【答案】D
【解析】【解答】解：
A：投一次骰子，朝上面的点数是，正常的骰子点数是1-6，故为不可能事件，不符合题意
B：任意画一个三角形，其内角和是，描述符合三角形内角和定理，是必然事件，不符合题意
C：从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意
D：随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，页码可能是奇数也可能是偶数，是随机事件，符合题意。
故答案为：D
【分析】了解事件的可能性分类，并了解随机事件的含义，结合生活经验和所学的数学知识判定事件发生的可能性大小。
8．从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现3的倍数的情况有1种，
∴P（牌面是3的倍数）= ；
故答案为：A．
【分析】根据概率公式直接计算即可解答．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．通过少量重复试验，可以用频率估计概率
B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．概率很小的事件不可能发生
【答案】B
【解析】【解答】解：
A：通过少量重复试验，可以用频率估计概率，说法错误，需要通过大量重复试验，故不符合题意
B：事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，说法正确，符合题意
C：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖，说法错误，根据生活常识可知，故不符合题意
D：概率很小的事件不可能发生，说法错误，概率很小的事件也可能发生只是发生的可能性小而已，故不符合题意
故答案为：B
【分析】了解概率的定义，了解事件的可能性，会用频率估算概率的大小。
10．如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，，
，
，
∴，，
∴，
而，，与不相似，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
【答案】B
【解析】【解答】解：点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出c、d、e的值，即得点C、D、E的坐标，从而得出点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，结合题意可得从点D到点C的弧上的点满足，据此即可判断.
12．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD AF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：
∵
四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝ DC＝ AD，
∴tan∠DAE＝ ，∴∠DAE≠30°，故①不符合题意；
设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，
∴ ，∴ ，又∠D＝∠C=90°，
∴△ADE∽△ECF，故②符合题意；
∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，
∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，
∴AE⊥EF．故③符合题意；
∵△ADE∽△ECF，∴ ，∴AE2＝AD AF，故④符合题意.
综上，正确的个数有3个，
故答案为：C.
【分析】根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13． 若有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥1且x≠2
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：x≥1且x≠2，
故答案为：x≥1且x≠2.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
14．如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】-15
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
解分式方程得，，
∵关于的分式方程有正整数解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴符合条件的整数有，
∴为，
故答案为：．
【分析】根据“关于 的一元二次方程有实数根”可求得m的取值范围，再求解分式方程并结合“关于的分式方程有正整数解”可确定m符合条件的取值，将其求和即可求解。
15．在中，，，，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：tanA=，
故答案为：.
【分析】根据正切函数的定义，，代入即可.
16．如图，在中，点是中点，连接，交于点，如果的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】在中，
点是中点，
的面积为，
=2，
四边形的面积为
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质证明由点是中点，的面积为， 利用相似三角形的性质以及面积之间的转化即可求解.
17．如图，随机闭合开关，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意画出树状图，进而得到共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合，从而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
18．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，
∴∠FND=∠FME=90°，
∵∠B=90°，
∴四边形NBEM是矩形，
∴NB=ME，
∵∠BED+∠C=90°，∠C+∠A=90°，
∴∠BED=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵△BED与△FED关于DE对称，
∴△BED≌△FED，
∴∠DFE=∠B=90°，DF=BD，EF=BE，
∴，
∵∠FME=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，
∵∠MFE+∠NFD=90°，
∴∠MEF=∠NFD，
∴△NDF∽△MFE，
∴，
∴设NF=3x，ME=4x，
∵∠ANF=∠B=90°，∠A=∠A，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=1，
∴NF=3，ME=NB=4，
设BD=DF=y，
则ND=NB-BD=4-y，
在Rt△NDF中，NF2+ND2=DF2，
∴32+（4-y）2=y2，
∴y=，
∴BD=，
∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=
∵△BED∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE=.
故答案为：.
【分析】过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，则四边形NBEM是矩形，NB=ME，由同角的余角相等可得∠BED=∠A，证明△BED∽△BAC，根据相似三角形的性质可得，由轴对称的性质可得∠DFE=∠B=90°，DF=BD，EF=BE，证明△NDF∽△MFE，△ANF∽△ABC，根据相似三角形的性质可得NF、ME，设BD=DF=y，则ND=4-y，在Rt△NDF中，根据勾股定理可求出y的值，证明△BED∽△BAC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）已知点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求 AECF的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BC＝12，∠BAC＝90°，E是BC的中点．
∴AE＝CE＝BC＝CE＝6，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴ AECF的周长＝4×6＝24．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，根据线段中点定义得出AF＝AD，CE＝BC，从而得出AF＝CE，即可证出四边形AECF是平行四边形；
（2）根据直角三角形斜边中线定理得出AE＝CE＝BC＝CE＝6，从而得出平行四边形AECF是菱形，再根据菱形的性质即可求出 AECF的周长．
20．（6分）图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，.请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点D到所在直线的距离.
（2）求的长度.
【答案】（1）解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H.
在中，
，，
.
在中，
，，
.
，，
四边形和四边形为矩形，
（2）解：在中，
，，
.
，
在中， ，，
.
.
【解析】【分析】（1）过点D作DN⊥FG于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作CH⊥FG于点H，根据三角函数的概念可得DP、CH的值，由题意可得四边形ABPM、四边形CHNP为矩形，则CH=PN，然后根据DN=DP+PN进行计算；
（2）根据三角函数的概念可得AM、CP的值，然后根据BC=BP-CP进行计算.
21．（9分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12，求的值.
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠DAC=∠CAB，由已知条件可知∠ADC＝∠ACB＝90°，证明△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形的性质可得结论；
（2）由直角三角形斜边上中线的性质可得CE=BE=AE=AB，由等腰三角形的性质可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的概念可得∠DAC=∠CAB，则∠DAC=∠ECA，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由直角三角形斜边上中线的性质可得CE=BE=AE=AB=6，易证△ADF∽△CEF，根据相似三角形的性质可得EF=DF，则DE=EF+DF=DF，据此求解.
22．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点.
（1）求反比例函数的解析式与点的坐标；
（2）连接、，求的面积；
（3）点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标.
【答案】（1）解：点A（-1，n）在一次函数y=2x-3的图象上，
，
点A（-1，-5），
点A（-1，-5）在反比例函数的图象上，
，
；
联立，
解得：，，
点；
（2）解：如图，
设y=2x-3与y轴的交点为点E，
当x=0时，y=2x-3=-3，
∴E（0，-3），
，
∴；
（3）解：设点，
如图， 分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，
∴∠M＝∠N＝90°，
∴∠DAM＋∠ADM＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM，
∴△BAN∽△ADM，
∴，即
，（舍），
.
【解析】【分析】（1）将点A（-1，n）代入y=2x-3算出n的值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数可算出k的值，从而求出反比例函数的解析式，解联立两函数解析式组成的方程组可求出点B的坐标；
（2）设y=2x-3与y轴的交点为点E，令一次函数解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点E的坐标，进而根据三角形面积计算公式，由即可算出答案；
（3）设点，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN， 然后判断出△BAN∽△ADM，然后根据相似三角形对应边成比例即可解决问题.
23．（9分）“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺（以下分别用、、、表示）这四种不用口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）.
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若有外型完全相同的、、、饺各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（、、）的概率.
【答案】（1）600
（2）解：喜欢C类馅水饺的人数为：（人），
喜欢C类馅水饺的人数所占的百分比为：，
喜欢A类馅水饺的人数所占的百分比为：，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）解：列表如下
从上表可知：共有12种可能，符合条件的有6种
所以：.
【解析】【解答】解：（1）（人）
故答案为：600；
【分析】（1）用喜欢B类馅水饺的人数除以所占的百分比即可求出本次参加抽样调查的居民人数；
（2）根据喜欢各类馅的水饺人数之和等于本次参加抽样调查的居民总人数算出喜欢C类馅水饺的人数，据此可补全条形统计图；用喜欢C类馅水饺的人数除以本次参加调查的总人数可得喜欢C类馅水饺的人数所占的百分比，进而根据喜欢各类馅水饺的人数所占百分比之和等于1算出喜欢A类馅水饺的人数所占的百分比，据此可补全扇形统计图；
（3）根据题意用表格列举出所有等可能的结果数，及符合条件的结果数，进而根据概率公式算出答案.
24．（9分）如图1，在矩形中，交于点G，E为的中点，的延长线交于点F，连接．
（1）若，证明：；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）如图2，若，M为的中点，连接，﹒已知．
①求证：；
②求k的值．
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，．
∵E为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵E为的中点，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵E为的中点，M为的中点，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
②设，，则，
∵，
∴，
解得：．
设，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，进而利用三角函数解答即可；
（2）由，得出，推出，，从而得解；
（3）①证明，得出，再证出，得出，即可得解；
②设，，则，得出，在中，，得出，从而得出k的值。
25．（9分）如图1，在矩形ABCD中，，，点E在AB边上，且.点F是BC边上的动点.将沿EF折叠得到.直线GF与直线AB的交点为H.
（1）如图2，点F与点C重合时，求与的面积比；
（2）如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长.
（3）在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图，
∵∠GHE=∠BHC，∠EGH=∠CBH，
∴△HEG∽△HCB，根据面积之比等于相似比的平方，
∴，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴.
.
（2）解：根据题意，EF=EH，
根据折叠性质，等腰三角形三线合一性质，得
FB=FG=GH，
∴∠BHF=30°，
∵EG=BE=AB-AE=2，
∴EH=4.
（3）解：∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==.
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴，
∴，
解得.
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴，
∴，
解得.
当H在下方时，
∵ BC=5，DC=3，四边形ABCD是矩形，
∴BD==.
根据题意，得到CH⊥BD时，△HEG∽△BCD，
∴，
∴，
解得，
∴.
∵△HEG∽△HFB，
∴△HFB∽△BDC，
∴，
∴，
解得.
【解析】【分析】（1）由题意根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△HEG∽△HCB，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可求解；
（2）由折叠的性质和等腰三角形的三线合一可得FB=FG=GH，则∠BHF=30°， 于是EH=2EG=2BE=2（AB-AE）可求解；
（3）在直角三角形BCD中，用勾股定理可求得BD的值，由题意易得△HEG∽△BCD∽△HBF，于是可得比例式，结合已知求出GH和BF的值；当H在下方时，同理可求解.
26．（9分）如图，矩形 的两条边 ， 的长是方程 的两根，其中 ，沿直线 将矩形折叠，使点 与 轴上的点 重合，
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求直线 的解析式；
（3）若点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
可得： 或 ，
∵ ， 的长是方程 的两根，且
∴ ， ，
∴ ，
（2）解：由折叠的性质可得：
，
在 中，
所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得：
，
所以 ，计算得出 ，
所以
设直线 的解析式为 ，
计算得出
直线 的解析式为
（3）解：①当点P在x轴上方时，
若AP为对角线，则有DP⊥DA，如图，连接AP、DQ交于点F，则F为AP、DQ的中点，
∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠BDP=∠CAD，且∠PBD=∠DCA，
∴△BPD∽△CDA，
∴，即，解得BP=，
∴OP=10-=，
∴P（0，），且A（-8，0），
∴F（-4，）
设Q（x，y），且D（-3，10），
∴，，解得x=-5，y=-，
∴Q（-5，-）；
②若AD为对角线时，设AD的中点为M，则有PM=AD，
∵A（-8，0），D(-3，10），
∴AD的中点M（-，5），
∴，解得y=6或y=4，
设Q（x，y），当P（0，6）时，则有，，解得x=-11，y=4，
当P（0，4）时，则同理可求得x=-11，y=6，
∴Q（-11，4）或（-11，6）.
③当 在 轴下方时，则有 ，如图，连接 、 交于点 ，
则 为 、 的中点，
同理可得： ，
则：
即 ，计算得出
所以 且
所以
设 ，且
所以 ， ，
，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（-5，-）或（-11，4）或（-11，6）或（5，6）
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程，代入坐标即可；（2）在 中应用勾股定理求得OE的长，然后在 中根据勾股定理列方程求解D点坐标，然后根据待定系数法代入A、D点坐标求解函数解析式即可；（3）当P在x轴上方时，则PD⊥AD，利用△BPD∽△CDA可求得PB的长，则可求得P点坐标，设DQ、AP交于点F，利用A、P坐标则可求得F点坐标，从而可求得Q点坐标；当点P在x轴下方时，则AP⊥AD，利用可求得OP长，可求得P点坐标，同理可求得Q点坐标.
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