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湘教版九年级上册期末模拟严选卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
7．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
8．点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限
B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象过点
9．如图，矩形ABCD中，AD=2， AB=4， AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为E，EG⊥CD，垂足为点G，则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE=AF；④ ；⑤ ，其中正确的的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，已知边长为 的正方形 ， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于 ， 和 相交于 ．则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ．
12．如图，在中，于点，点在上，且，，，，则点到的距离是 ．
13．已知，则的值为 ．
14．计算：= ．
15．长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是 ．
16．点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为 ．
17．如图，以点为位似中心，将放大得，已知，若，则的坐标为 ．
18．已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于，两点在的右侧.是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点.若，则 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(-2，1)、点B(1，n)．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足不等式kx+b-<0的解集．
20．（6分）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
21．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点.
（1）求k与m的值；
（2）点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值.
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由.
22．（9分）根据相似形的定义可以知道， 如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等， 且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形. 对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点， 以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边， 对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）
（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时， 得到如下两个命题， 请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；
②有一个内角对应相等的两个菱形相似；
（2）已知：如图1， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 以 为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形．
求证：四边形 与四边形 相似．
（3）已知：如图2，在中，点分别在边上，相交于点F，点在的延长线上，联结如果四边形与四边形相似，且点分别对应．
求证：．
23．（9分）如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB=90°，PA=PB，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF=45°，连接EF．
（1）求证：△APE∽△BFP；
（2）当∠PEF=90°，AE=2时，
①求AB的长；
②直接写出EF的长；
（3）直接写出线段AE、BF、EF之间的数量关系．
24．（9分）如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．
（1）求证：Rt△ABE∽Rt△ECF；
（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；
（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．
25．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴于，求；
（3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
26．（9分）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC ，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P.
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当 时，求OE的长.
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A是一元二次方程，符合题意；
B是二元二次方程，不符合题意；
C是一元一次方程，不符合题意；
D是分式方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
2．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】将点P（3，2）代入，
可得：k=3×2=6，
故答案为：D.
【分析】将点P（3，2）代入，再求出k的值即可.
3．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，由题意得，
故答案为：A
【分析】设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，进而根据题意即可列出一元二次方程。
4．如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数 和 的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：设P（x，0），有，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】设P（x，0），求出横坐标为x时两个反比例函数的纵坐标即为AP，BP的长，相减求出AB的长，再结合三角形的面积计算公式即可求出 △ABC的面积 .
5．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 设共有个队参加比赛 ，
则 ： .
故答案为：D.
【分析】共有个队参加比赛 ，每队参加 (x-1)场比赛，所以共进行 x(x-1) 场比赛，列方程即可.
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、四象限
【答案】B
【解析】【解答】解：∵若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象在第二、四象限；
故答案为：B
【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到，进而得到，再根据反比例函数的图象即可求解。
7．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 米，则斜坡AB的长度为（ ）
A． B． C． D．24
【答案】C
【解析】【解答】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD= 米，
∴CF=DF= CD=6（米），∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= ，∴AE=2BE=12（米），
∴AB= （米），
故答案为：C．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，利用坡面CD的长度为 米，求出CF的长，再利用斜坡AB的坡比i=1：2，求出AE的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
8．点在函数图象上，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在二、四象限
B．当时，y的值随x的增大而增大
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．它的图象过点
【答案】C
【解析】【解答】解：把点代入，得
，
解得：，
∴，
A、∵，∴的图象分布在二、四象限，原说法正确，A不符合题意；
B、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法正确，B不符合题意；
C、∵，∴当时，的值随的增大而增大，原说法错误，C符合题意；
D、∵把代入，得，∴它的图象过点，原说法正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先将点代入可得，根据反比例函数的性质，当，图像位于第二、第四象限，在每个象限中随的增大而增大，据此逐一判断每个选项即可求解。
9．如图，矩形ABCD中，AD=2， AB=4， AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为E，EG⊥CD，垂足为点G，则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE=AF；④ ；⑤ ，其中正确的的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=90°，
∴∠CEA=∠D，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠ECF=∠FAD，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD=∠CAF，
∴∠ECF=∠CAF，
∵∠CEF=∠CEA，
∴△EFC∽△ECA；
故①正确；
②∵AD=2， AB=4，∠B=90°，
∴∠BAC≠30°，
∴∠BAC≠∠CAE，
∴△ABC与△ACE不全等，
故②错误；
③如图2，分别延长CE和AD交于H，
∵AE平分∠DAC，
∴∠FAD=∠CAF，
∵CE⊥AE，
∴∠CEA=∠HEA=90°，
∴∠AHE=∠ACE，
∴AH=AC，
∴△ACH是等腰三角形，
∴E是CH的中点，
∵EG⊥CD，∠ADC=90°，
∴EG∥DH，
∴G是CD的中点，
∴CG= CD=2=AD，
前面已证∠ECF=∠DAF，∠ADF=∠EGC=90°，
∴△ADF≌△CEG，
∴CE=AF，
故③正确；
④∵△ADF≌△CEG，
∴DF=EG，
∵AB=4，BC=2，
∴AC= ，
∴AH= ，
∴DH= -2，
∴EG= ，
∴DF= ，
∴S△AFC= S△ADC- S△ADF
= ，
=
= ，
故④正确；
⑤在Rt△FEC中，EG⊥FC，
∴∠EFG+∠FEG=90°，∠CEG+∠FEG=90°，
∴∠EFG =∠CEG，
∴△EFG∽△EGC，
∴ ，
∴EG2=FG CG，
∵CG=DG，
∴EG2=FG DG，
故答案为：⑤正确；
本题正确的结论有4个.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得∠D=90°，由对顶角的性质可得∠AFD=∠CFE，结合内角和定理可得∠ECF=∠FAD，由角平分线的概念可得∠FAD=∠CAF，则∠ECF=∠CAF，然后结合相似三角形的判定定理可判断①；易得∠BAC≠30°，则∠BAC≠∠CAE，据此判断②；分别延长CE和AD交于H，由角平分线的概念可得∠FAD=∠CAF，由垂直的概念可得∠CEA=∠HEA=90°，则∠AHE=∠ACE，△ACH是等腰三角形，易得EG∥DH，则CG=CD=2=AD，证明△ADF≌△CEG，据此判断③；由全等三角形的性质可得DF=EG，由勾股定理求出AC，进而得到DH、EG、DF，由S△AFC= S△ADC- S△ADF求出△AFC的面积，据此判断④；证明△EFG∽△EGC，由相似三角形的性质可判断⑤.
10．如图，已知边长为 的正方形 ， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于 ， 和 相交于 ．则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形
∴BC∥AD，AD=BC=AB=2
∵ 是 的中点，
∴
∴△BFH∽△DAH，
∴相似比为
∴△BFH与△DAH相似比为1：2，
∴△BFH与△DAH对应高的比1：2，
∴△BFH的BF边上的高为 ，△DAH的AD边上的高为 ，
∴△ADH的面积为 ，△FBH的面积为 ；
∵ 是 的中点，
∴
∴
在△ABF和△DAE中
∵
∴△ABF≌△DAE，（SAS）
∴∠BAF=∠ADE，AF=DE
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AIE=90°=∠DAB，
∵∠ADE=∠IDA
∴△AEI∽△EDA，
∴
∵AF=DE=
∴
∴
∴△AEI的面积=
∴四边形BEIH的面积=
故答案为：C．
【分析】根据BC//AD，可证明△BFH∽△DAH，计算出△ADH的面颊，再根据△AEI∽△EDA，求出△AEI的面积，最后相加即可。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴m≤1，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到，进而即可求解。
12．如图，在中，于点，点在上，且，，，，则点到的距离是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
过点A作于H点，过点E作于G点，
在中，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
．
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质.过点A作于H点，过点E作于G点，根据平行四边形的性质，再利用勾股定理可求出，根据等面积法，利用三角形的面积可求出，根据已知条件可证明，利用相似三角形的性质可求出答案．
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以
故答案为： .
【分析】设，用k分别表示出a，b，c，再代入求值 .
14．计算：= ．
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为： .
【分析】 先计算开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
15．长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据题意，可列出的方程，
故答案为： .
【分析】设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据月份营业额=月份营业额（1平均增长率）2，代入数据即可求解.
16．点A是反比例函数y＝（k＞0）上的点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为8，则一元二次方程x2﹣4x+k＝0的根的情况为 ．
【答案】无实数根
【解析】【解答】解：∵ △AOB的面积为8
∴k=8
∴x2﹣4x+8＝0
∵
∴二次方程无实数根
故答案为：无实数根
【分析】根据反比例函数k的几何意义可得k=8，再根据二次方程判别式，可得方程无实数根.
17．如图，以点为位似中心，将放大得，已知，若，则的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，将放大得，且，
∴与的位似比为，
∴当时，则的坐标为，
故答案为：
【分析】根据坐标-位似变换结合题意即可求解。
18．已知过原点的一条直线与反比例函数的图象交于，两点在的右侧.是反比例函数图象上位于点上方的一动点，连接并延长交轴于点，连接交轴于点.若，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
，
，
，
则，
根据对称性可得
∴
故答案为：2.
【分析】过点A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，则CF∥AG∥BH，证明△DFC∽△DGA，△FCE∽△HBE，根据相似三角形的性质可得BH=(n-1)CF，根据平行线分线段成比例的性质可得AG=(m+1)CF，根据对称性可得BH=AG=(m+1)CF，联立化简可得m与n的关系.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(-2，1)、点B(1，n)．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足不等式kx+b-<0的解集．
【答案】（1）解：点A (-2，1)在反比例函数y=的图象上，
∴m= -2×1=-2，
∴反比例函数解析式为y=
∵点B (1， n)在反比例函数y=的图象上，
∴-2=n，即点B的坐标为(1，-2)．
将点A (-2， 1)、点B (1，-2)代入y=kx+b中得：
解得：
∴一次函数的解析式为y=-x-1
（2）解：-21
【解析】【解答】(2)观察两函数图象，发现：当-21时， 一次函数图象在反比例图象下方，
∴满足不等式kx+b-<0的解集为-21
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数m，从而得出反比例函数解析式；由点B在反比例函数图象上，即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集
20．（6分）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，
（1）解方程x2+2x-8=0，
（2）方程x2+2×-8=0 (填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”
【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0， 可化为(x+4) (x-2) =0，解得x=-4或2
（2）解：不是；x2+9x+18=0． (答案不唯一)
【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x-2）＝0，
则x+4＝0或x-2＝0，
∴x1＝-4，x2＝2；
（2）解：∵x1＝-4，x2＝2，
∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，
“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝-3，x2＝-6，满足x2＝2x1．
故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．
21．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点.
（1）求k与m的值；
（2）点为x轴正半轴上的一点，且的面积为，求a的值.
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将代入一次函数得，
，解得：，
∴，
将代入得，
，
将代入反比例函数得，
，
故答案为：3，6；
（2）解：当时，，
∴，
由题意可得，
，
解得：；
（3）解：存在，坐标为或或
【解析】【解答】解：（3）由（2）得，，，，
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
当是对角线时，根据对角线互相平分可得，
，
，
∴；
综上所述Q的坐标为：或或.
【分析】（1）将C（-4，0）代入y=kx+2中可求出k的值，据此可得一次函数的解析式，然后将A（2，n）代入求出n的值，得到点A的坐标，再代入反比例函数解析式中就可求出m的值；
（2）令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系就可求出a的值；
（3）易得点A、B、P的坐标，然后分AB是对角线、AP是对角线、BP是对角线，根据对角线互相平分进行解答.
22．（9分）根据相似形的定义可以知道， 如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等， 且它们各有的四边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形. 对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形的对应顶点， 以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边， 对应边的比叫做这两个相似多边形的相似比．（我们研究的四边形都是指凸四边形）
（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时， 得到如下两个命题， 请判断它们是真命题还是假命题（直接在横线上填写“真”或“假”）
①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；
②有一个内角对应相等的两个菱形相似；
（2）已知：如图1， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 以 为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形．
求证：四边形 与四边形 相似．
（3）已知：如图2，在中，点分别在边上，相交于点F，点在的延长线上，联结如果四边形与四边形相似，且点分别对应．
求证：．
【答案】（1）解：①梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形，两个小梯形的四个角相等，并且其对应的腰相等，但是两个小梯形的上底不相等，故对应边不成比例，因此是假命题
②有一个内角对应相等的两个菱形相似，有一个内角的相等的两个菱形的四个角相等，并且菱形四条边相等，故对应的边之比相等，因此是真命题
（2）证明：由题意可知：、、是等腰直角三角形，
，，
，，，
故有，，
设，
在，由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
在中，由勾股定理可知：，
在四边形 与四边形 中，，，，，且，
四边形 与四边形 相似．
（3）证明：四边形与四边形相似，
，，
在与中，，，
，
，
在与中，，，
，
，，
，
，
在与中，，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据相似多边形的定义分别从对应边和对应角两个方面判断即可；
（2）由等腰直角三角形的性质可知，两个四边形符合相似四边形的定义；
（3）根据相似四边形对应角相等得出，，再证明，则，等量代换即可证明结论。
23．（9分）如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB=90°，PA=PB，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF=45°，连接EF．
（1）求证：△APE∽△BFP；
（2）当∠PEF=90°，AE=2时，
①求AB的长；
②直接写出EF的长；
（3）直接写出线段AE、BF、EF之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∵∠APB=90°，PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠PAE=∠FBP=135°，
∴∠APE+∠AEP=45°，
∵∠EPF=45°，∠APB=90°，
∴∠APE+∠BPF=45°，
∴∠AEP=∠BPF，
∴△APE∽△BFP；
（2）解：①∵∠PEF=90°，∠EPF=45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴，
∵△APE∽△BFP，
∴，
∴BP=2，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB=PB=4；
②
（3）AE2+BF2＝EF2
【解析】【解答】解：（2）②作FH⊥AD于H，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AH=BF，
∵BF=AP=4，
∴EH=2，
在Rt△EFH中，由勾股定理得，
EF=2；
（3）解：AE2+BF2=EF2，理由如下：
如图，延长AB到G，使BG=AE，连接PG，FG，
∵∠PBA=45°，
∴∠PBG=135°，
∵∠PAE=135°，
∴∠PBG=∠PAE，
∵PA=PB，BG=AE，
∴△PBG≌△PAE（SAS），
∴PG=PE，∠BPG=∠APE，
∵∠APE+∠BPF=90°-∠EPF=45°，
∴∠BPG+∠BPF=∠EPF=45°，
∴∠GPF=∠EPF，
又∵PF=PF，PG=PE，
∴△PGF≌△PEF（SAS），
∴GF=EF，
∵∠ABC=90°，
∴∠GBF=90°，
由勾股定理得：
BG2+BF2=GF2，
即AE2+BF2=EF2．
【分析】（1）利用∠APE+∠AEP=45°，∠APE+∠BPF=45°，从而得出∠AEP=∠BPF，即可证明结论；
（2）①由△PEF是等腰直角三角形，得到，由（1）可知△APE∽△BFP，从而，求出BP的长，即可得出答案；②作FH⊥AD于H，利用相似三角形的性质得到BF=AP=4，则EH=2，再运用勾股定理求出EF即可；
（3）延长AB到G，使BG=AE，连接PG，FG，利用“SAS”证明△PBG≌△PAE，得到PG=PE，∠BPG=∠APE，再证明△PGF≌△PEF，得到GF=EF，从而证明结论。
24．（9分）如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．
（1）求证：Rt△ABE∽Rt△ECF；
（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；
（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．
【答案】（1）证明：如图，
四边形是正方形，
，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）解：正方形是的边长为6，
，
四边形的面积等于20，
，即，
解得，
设，则，
由（1）已证：，
，即，
解得，
经检验，均是所列分式方程的根，
故的长为或；
（3）3或或
【解析】【解答】解：（3）和能相似，求解过程如下：
①如图，当点E在线段上，
由上已得：，
不平行，
，
则当时，，
由（1）已证：，
，，
，即，
，即，
解得；
②如图，当点E在的延长线上时，设与的交点为H，
，
当时，，
∴，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
；
③如图，当点E在的延长线上时，设与的交点为H，
，
当时，，
同理可得：，
，
综上，的长为3或或．
【分析】（1）利用同角的余角相等可得出 ， 从而得出证明；
（2） 设，则， 由 ，得出CF的值，再由四边形ABCF的面积为20，得出， 解得 ， 得出BE的长；
（3）当点E在线段上，当点E在的延长线上时，当点E在的延长线上时，分三种情况分类讨论即可。
25．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作轴于，求；
（3）过点作轴于，问：是否在轴上存在一点，使得的值最小，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：∵一次函数与反比例函数的图像相交于点和点，
∴
解得：，，
∴，
又∵轴，
∴点，
设、分别为点、的横坐标，、分别为点、的纵坐标，
∴，
即；
（3）解：存在，理由为：
如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，
∴，此时最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，
当时，得：，
∴．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式列出算式求解即可；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，先求出直线的解析式，再求出点D的坐标即可.
26．（9分）已知在矩形ABCD中，tan∠DBC ，BC＝8，点E在射线OD上，连接EC，在射线BC上取点F，使得EF＝EC，射线EF与射线AC交于点P.
（1）如图，当点E在线段OD上（不包括O、D），求证：△CPF∽△BEC；
（2）在（1）的条件下，设CF＝x，△PFC的面积为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（3）当 时，求OE的长.
【答案】（1）证明：∵EF＝EC，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴ ，
∴△CPF∽△BEC；
（2）在Rt△DBC中，∵tan∠DBC ，BC＝8，
∴ ，
由（1）可知△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
过点E作EH⊥BC于点H，如图所示：
∵EF＝EC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点E在线段OD上（不包括O、D），
∴ ；
（3）①当点E在线段OD上时，过点O作OG⊥BC于点G，如图：
∵在矩形ABCD中，OB=OC，BC=8，
∴BG=GC=4，
∵tan∠DBC ，
∴ ，
∴
∵EF＝EC， ，
∴
∵△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
由（2）可得 ，
∴ ， ，
∵OG⊥BC，EH⊥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点点E在线段OD外时，过点E作EN⊥BC，过点O作OM⊥BC，如图所示：
同理（1）可知△CPF∽△BEC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵OM⊥BC，EN⊥BC，
∴ ，
由①可知OM=2， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：当 时， 或 .
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠PFC=∠ECB，由矩形的性质可得OB=OC，由等腰三角形的性质可得∠EBC=∠PCF，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据∠DBC的正切函数可得DC，过点E作EH⊥BC于点H，则FH=CH=x，BH=8-x，EH=4-x，表示出S△BEC，然后根据相似三角形的性质可得S△PFC，据此解答；
（3）①当点E在线段OD上时，过点O作OG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质可得BG=GC=4，根据∠DBC的正切函数可得OG，由勾股定理求出OB，由相似三角形的性质可得FC，由（2）可得CH=FH=2，进而求出BH、EH，证明△BGO∽△BHE，由相似三角形的性质求出BE，进而可得OE；②当点点E在线段OD外时，过点E作EN⊥BC，过点O作OM⊥BC，同理（1）可知△CPF∽△BEC，△BMO∽△BNE，由相似三角形的性质可得CN=FN=2，BE，进而求出BN、EN、OE.
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