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苏科版八年级上册期末提优突破卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 平面直角坐标系中，在第一象限的点为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝b＝5，
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝3，b＝12，c＝15
3．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，∠ABC＝∠DCB．下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）.
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BM＝CM D．AC＝DB
6．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．
8．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+ ∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
10．甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校。已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离y(米)与甲步行时间x（分钟）的函数关系图像，则（ ）
A．乙骑自行车的速度是180米/分
B．乙到还车点时，甲、乙两人相聚850米
C．自行车还车点距离学校300米
D．乙到学校时，甲距离学校200米
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 cm．
12．如图，已知P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥BA，垂足分别是E、F，如果PE＝3，那么PF＝ ．
13．如图，中，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，分别交于点D和于点E ，连接，若，，则 ．
14．如图，已知，要使全等，则应添加的条件是 ．
15．已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则 ．
16．如图，数轴上的点表示的实数是 ．
17．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是 .
18．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2019的位置，则点P2019的横坐标为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：
（1）写出方程组的解；
（2）写出不等式的解集．
20．（6分）如图，在四边形中， 分别是边上一点，，，.
（1）求证：；
（2）连接AC，若AC平分，求证：.
21．（9分）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）求证：ED＋EF＝2EM．
22．（9分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
23．（9分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
24．（9分）在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是 ．
25．（9分）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
26．（9分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 中，点 分别在 上，设 相交于点 ，若 ， ．请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在 中，如果 是不等于 的锐角，点 分别在 上，且 ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
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苏科版八年级上册期末提优突破卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． 平面直角坐标系中，在第一象限的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、∵点（1，3）的横坐标为正数，纵坐标是正数，∴点（1，3）在第一象限，∴A符合题意；
B、∵点（-1，3）的横坐标为负数，纵坐标是正数，∴点（-1，3）在第二象限，∴B不符合题意；
C、∵点（-1，-3）的横坐标为负数，纵坐标是负数，∴点（-1，-3）在第三象限，∴C不符合题意；
D、∵点（1，-3）的横坐标为正数，纵坐标是负数，∴点（1，-3）在第四象限，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用点坐标与象限的关系逐项分析判断即可.
2．在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝9，b＝41，c＝40 B．a＝b＝5，
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝3，b＝12，c＝15
【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵，故能构成直角三角形；
B.∵，故能构成直角三角形；
C.∵，设，则，，
∴，故能构成直角三角形；
D.∵，不能构成三角形，故不能构成直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a，b，b满足，那么这个三角形是直角三角形.逐项判断，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
3．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
4．以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和函数y=-2x-1的图象一样.
∵k=-2<0，函数图象过二四象限；b=-1<0，图象与y轴的交点在y轴负半轴上，故函数图象经过二三四象限.
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的解的关系得到一次函数，再根据一次函数图象与系数的关系得一次函数的大概图象.
5．如图，∠ABC＝∠DCB．下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）.
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．BM＝CM D．AC＝DB
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在和中
∴则本项符合题意，
B、在和中
∴则本项符合题意，
C、∵
∴
在和中
∴则本项符合题意，
D、∵"SSA"无法证明三角形全等，则本项符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定定理逐项进行判断即可.
6．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由折叠知：∠A'=∠A=α，
∴∠EFD=∠A'EF+∠A'=α+β，
∴∠BDF=∠A+∠AFD，
∴=α+α+β=2α+β.
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质可得∠A'=∠A=α，再利用三角形外角的性质即可求解.
7．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，
∴，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
设，
∴，解得：，即．
故答案为：D
【分析】先根据折叠的性质得到，，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
8．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
9．如图，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，连AF，则下列结论：①DE＝BD+CE；②∠BFC＝90°+ ∠ABC；③△ADE的周长为10；④S△ABF：S△ACF：S△BCF＝6：4：5．正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①符合题意；
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC＝ ∠ABC， ，
∵∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，
∴∠FBC+∠FCB
＝ （∠ABC+∠ACB）
＝ （180°-∠BAC）
＝90°- ∠BAC，
∴∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）
＝180°-（90°- ∠BAC）
＝90°+ ∠BAC，故②不符合题意；
∵BD＝DF，CE＝FE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，
∵AB＝6，AC＝4，
∴△ADE的周长是
AD+DE+AE
＝AD+BD+AE+CE
＝AB+AC
＝6+4
＝10，故③符合题意；
过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，
∴FM＝FN，FN＝FQ，
∴FM＝FN＝FQ，
设FM＝FN＝FQ＝R，
∵AB＝6，BC＝5，AC＝4，
∵S△ABF：S△ACF：S△BCF
＝（ ）：（ ）：（ ）
＝AB：AC：BC
＝6：4：5，故④符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，根据平行线的性质得出∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠BCF，从而得出∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，利用等角对等边可得BD＝DF，CE＝FE，据此判断①；根据角平分线的定义得出∠FBC＝ ∠ABC， ，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB＝180°-∠BAC，从而求出∠FBC+∠FCB＝90°- ∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠BFC＝180°-（∠FBC+∠FCB）＝90°+ ∠BAC，据此判断②；求得DE＝DF+EF＝BD+CE，从而得出△ADE的周长是AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC，据此判断③；过F作FM⊥AB于M，FN⊥BC于N，FQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质得出FM＝FN＝FQ，利用三角形的面积公式可求出S△ABF：S△ACF：S△BCF＝AB：AC：BC，据此判断⑤.
10．甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校。已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离y(米)与甲步行时间x（分钟）的函数关系图像，则（ ）
A．乙骑自行车的速度是180米/分
B．乙到还车点时，甲、乙两人相聚850米
C．自行车还车点距离学校300米
D．乙到学校时，甲距离学校200米
【答案】C
【解析】【解答】解：A、甲步行的速度=960÷12=80米/分，设乙的速度为x， 则（x-80）×（20-12）=960，解得x=200， 不符合题意；
BC、乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙全程：200×（c-12）-75×（31-c）=2700，
解得：c=27， ∴乙骑自行车的路程为： 200×（27-12）=3000（米），自行车还车点距离学校为：3000-2700=300（米），乙到达还车点，乙的路程为3000米，甲步行的路程为：80×27=2160（米），∴此时两人相距：3000-2160=840（米），∴C符合题意，B不符合题意；
D、乙到学校时，甲的路程为：80×31=2480（米），此时甲距离学校：2700-2480=220（米），不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象中的数据可求甲步行的速度，乙骑自行车的速度，乙总共所用的时间，自行车还车点与学校的距离，求出乙到还车点时，甲、乙所用的时间，即可得出路程差，根据乙到学校所用时间为19分，此时甲所用的时间为31分，则可求出甲距离学校的路程.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 cm．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴MA=MB，
同理可得：NA=NC，
则的周长=MA+NA+MN=BM+MN+NC=BC=10cm，
故答案为：10.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，NA=NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
12．如图，已知P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥BA，垂足分别是E、F，如果PE＝3，那么PF＝ ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥BA，垂足分别是E、F，PE=3，
∴PF=PE=3.
故答案为：3.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PF=PE=3.
13．如图，中，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，分别交于点D和于点E ，连接，若，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，
∴为的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到，进而进行角的运算即可求解。
14．如图，已知，要使全等，则应添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加的条件“”，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
故答案为：（答案不唯一） .
【分析】利用三角形全等的判定方法分析求解即可.
15．已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则 ．
【答案】5∶3
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，
设点D到AB、AC的距离为h，
则：，
∵点E是AC边上的中点，
∴，
∴；
故答案为：5∶3．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等及等高三角形的面积之比等于底之比得S△ABD∶S△DAC=AB∶AC=5∶6，根据等底同高三角形面积相等可得根据三角形的中线平分面积，则，从而即可得出结果．
16．如图，数轴上的点表示的实数是 ．
【答案】
【解析】【解答】由图有
点A表示的数为，
故答案为； .
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，从而求解.
17．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是 .
【答案】5
【解析】【解答】解：分三种情况：如图1，
，
如图2，
，
如图3，
，
，
它爬行的最短路程为5，
故答案为：5.
【分析】分三种情况将长方体展开，然后利用勾股定理分别求出AP的长，再比较结果去最短距离即可.
18．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1、P2、P3、…、P2019的位置，则点P2019的横坐标为 .
【答案】2018.5
【解析】【解答】解：由题意可知P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…
依此类推下去，P2017、P2018的横坐标是2017，P2019的横坐标是2018.5，
故答案为2018.5.
【分析】根据图形的翻转，分别得出P1、P2、P3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答：
（1）写出方程组的解；
（2）写出不等式的解集．
【答案】（1）解：，
当时，；当时，；
故直线过点，
作图如下：
由图可知：与交于点，
∴方程组的解为：；
（2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方，
∴不等式的解集为：．
【解析】【分析】（1）根据两个一次函数图象的交点坐标即是方程组的解求解即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
20．（6分）如图，在四边形中， 分别是边上一点，，，.
（1）求证：；
（2）连接AC，若AC平分，求证：.
【答案】（1）证明：∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴(AAS)，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵
∴(SAS)，
∴.
【解析】【分析】（1）根据AAS证明，可得BE=DF；
（2）根据SAS证明，可得AB=AF.
21．（9分）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）猜想EF和EG的数量关系并证明；
（3）求证：ED＋EF＝2EM．
【答案】（1）解：根据题意，如图：
（2）解：EF=EG；
理由如下：如图，
∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：
则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：EF=EG，欲证明EF=EG，只要证明∠EFG=∠EGF=67.5°即可；
（3）过点G作OD的垂线，垂足为N，证明GN=EG=EF，ON=OE=ED，可得结论。
22．（9分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝ °；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，
∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF）=60°-α；
（3）解：①30
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
【解析】【解答】解：(3)①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）由CE平分∠ACD，得出∠BAC=∠ACE，即可得出结论；
（2）先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得出AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，得出BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180° ∠BCF）=（180° ∠ACB ∠ACE ∠ECF），代入求解即可；
（3）①根据角之间的转化得出∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；②过C作CN⊥BF于N，得出∠NCQ=∠AFB=30°，从而得出QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得出QB=QF+2QN，从而得出结论。
23．（9分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．
（1）求证：BD=CE．
（2）求证：AP平分∠BPE．
（3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，
∴BD×AH=CE×AF，
∴AH=AF，
又∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE；
（3）解：PE=AP+PD，理由如下：
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
又∵OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP=AO，
∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，
∴∠NPD=∠DAE=α=60°，
∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，
又∵AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，
又∵AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD．
【解析】【分析】（1）由SAS证出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出S△BAD=S△CAE，BD=CE，由三角形面积公式得出AH=AF，由角平分线的性质即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得出∠BDA=∠CEA，由SAS证出△AOE≌△APD，得出AP=AO，可证出△APO是等边三角形，推出AP=PO，得出PE=AP+PD。
24．（9分）在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．
（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．
（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是 ．
【答案】（1）DF=DC
（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：
，，
，
在和中，
，
，，
．
（3）AF-EF=2AD
【解析】【解答】（1）解：
，，
，
在和中，
，
．
（3）解：，如下图所示：
，，
，
在和中，
，
，，
．
【分析】（1）先求出，再利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出，再利用AAS证明，最后求解即可。
25．（9分）如图，已知为的角平分线，延长到，使得，连接，若，且．
（1）求证：平分；
（2）求的取值范围；
（3）若延长，相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明：在上截取，
平分，
，且，，
≌，
，
，
，
，，
，
∵CD=CD，
≌，
，
平分；
（2）解：由得≌，≌，
，，
，
，
，
，
，
，
的取值范围为；
（3）解：由知，，，
，
，
，
，
，
，
，
由得≌，≌，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）在上截取，根据角平分线的定义和三角形全等（边角边），求出AD=DF，利用BC=AB+EC，通过等量代换求出CF=CE，在最后根据边边边推出△CDF和△CDE全等，从而求出∠DCF=∠DCE，结合角平分线的判定即可证明。
（2）利用第一问的两个三角形全等和∠BAD的度数，通过等量代换用表示∠CED，再根据的取值范围即可求出∠CED取值范围。
26．（9分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在 中，点 分别在 上，设 相交于点 ，若 ， ．请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在 中，如果 是不等于 的锐角，点 分别在 上，且 ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
【答案】（1）解：平行四边形，等腰梯形，矩形等．
（2）解：与 相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠A＝60°， ，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），
猜想：四边形BDEC是等对边四边形，
（3）解：存在等对边四边形，是四边形BDEC，
证明：如图作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延长线于F，
在△BCF和△CBG中，
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF＝CG，
∵ ， ，
∴ ，
在△BDF和△CEG中，
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD＝CE
∴四边形BDEC是等对边四边形．
【解析】【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）先求出 OBC＝∠OCB＝30°， 再求出 ∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°， 最后求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
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