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上海市八年级上册期末质量检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．121 B．144 C．169 D．196
3．给出下列命题：
每个命题都有逆命题；
任意一个无理数的绝对值都是正数；
没有立方根；
有一个角是的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
5．在中，斜边，则的值为（ ）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
6．在中，，边长为4，边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．式子 有意义时 的取值范围是 .
8． 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 .
10．计算： ．
11．如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
12． 如图， 将 绕点 A 旋转一定角度得到 ， 则 的长度是 .
13．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，延长AD至点E，连接BE，CE，∠ABD∠3＝90°，∠1＝∠2＝∠3，有以下几个结论：①△ABD为等腰三角形；②AE＝AC；③BE＝CE＝CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论是 （填序号）．
14．中. 是的平分线，交于，且，则点到的距离为 .
15．某公司一月份的产值为80万元，计划三月份的产值达到100万元，如果每月产值的增长率相同，设增长率为，可列方程 .
16．如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
17．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为 .
18．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 .
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）E是底边BC的延长线上一点，M是BE的中点，连接DE、DM．若CE=CD，求证：DM⊥BE．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N，
（1）请直接写出∠MFN= °，∠EFD= °．
（2）求证：FM=FN．
（3）求证：EM=DN．
22．（6分）已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求对应的函数值y．
23．（6分）计算与证明．
（1）如图，在中，CD平分，且．求证：．
（2）如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度，，求滑道AC的长．
24．（6分）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标；
（2）在轴上作出一点，使的值最小，求出该最小值.（保留作图痕迹）
25．（10分）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
26．（12分）如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
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上海市八年级上册期末质量检测卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是真命题，故A不符合题意；
B、同旁内角互补是假命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应边相等是真命题，故C不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.是真命题，故D不符合题意；、
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质，可对A作出判断；利用两直线平行，同旁内角互补，可对B作出判断；利用全等三角形的性质，可对C作出判断；利用角平分线的性质，可对D作出判断，由此可得到是假命题的选项.
2．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（ ）
A．121 B．144 C．169 D．196
【答案】C
【解析】【解答】设直角三角形较长直角边长为a，较短边长为b，则a=12，
∵S小正方形=（a-b）2，
∴（a-b）2=49，
解得：b=5，
∴S大正方形=a2+b2=122+52=169，
故答案为：C.
【分析】设直角三角形较长直角边长为a，较短边长为b，则a=12，再利用小正方形的面积求出b，最后求出大正方形的面积即可.
3．给出下列命题：
每个命题都有逆命题；
任意一个无理数的绝对值都是正数；
没有立方根；
有一个角是的三角形是等边三角形．
其中真命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】【解答】（1）∵任何一个，命题都有逆命题，∴（1）正确，符合题意；
（2）∵任意一个无理数的绝对值都是正数，∴（2）正确，符合题意；
（3）∵任何数都有立方根，∴（3）不正确，不符合题意；
（4）∵有一个角是的等腰三角形是等边三角形，∴（4）不正确，不符合题意；
综上，正确的是（1）和（2），共有2个，
故答案为：B.
【分析】利用真命题的定义、立方根的定义及计算方法、等边三角形的判定方法逐项分析判断即可.
4．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：且，
故答案为：B。
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，再求解即可.
5．在中，斜边，则的值为（ ）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，且斜边BC=5，
∴AB2+AC2=BC2=52=25，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB2+AC2=BC2=52=25，再将其代入计算即可.
6．在中，，边长为4，边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】【解答】解：作AC⊥BC，如图，
∵ ∠ABC=30°，AB=4，
∴ AC=2，
∵ 垂线段最短，
∴ AC≥2，
∴ AC=2， 3，4， 5，
当AC=2时，只有一个这样的三角形；
当AC=3时，有两个这样的三角形；
当AC=4时，只有一个这样的三角形；
当AC=5时，只有一个这样的三角形；
∴ 一共有5个互不全等的三角形.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形中30°所对的对边是斜边的一半和垂线段最短可得AC≥2，再逐一分析即可求得.
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．式子 有意义时 的取值范围是 .
【答案】a≥4
【解析】【解答】解：若二次根式 有意义，则 ，
解得：a≥4
故答案为：a≥4.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可.
8． 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ ，
∴m＋1＝2，
∴m＝1．
故答案为1．
【分析】先把 化为最简二次根式 ，再根据同类二次根式的定义得到m＋1＝2，然后解方程即可．
9．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长是 .
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，连结AF.
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD.
∵在Rt△ACF中， ，E是AC的中点，EF=2，
∴AC=2EF=4.
故答案为：4.
【分析】连结AF.由AB=AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD，在Rt△AFC中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4.
10．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】原式=
=
=
=
=
【分析】先利用积的乘方与平方差公式进行计算，再利用二次根式的除法法则进行计算即可求解.
11．如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
12． 如图， 将 绕点 A 旋转一定角度得到 ， 则 的长度是 .
【答案】
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得：∠D＝∠B＝90°，∠E＝∠C＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2AD＝2，
∴DE＝，
∴DE的长度是，
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得：∠D＝∠B＝90°，∠E＝∠C＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可.
13．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，延长AD至点E，连接BE，CE，∠ABD∠3＝90°，∠1＝∠2＝∠3，有以下几个结论：①△ABD为等腰三角形；②AE＝AC；③BE＝CE＝CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：①作AF平分∠BAD，交BC于点F，
∵∠BAD＝∠3，∠ABD∠3＝90°，
∴∠BAF∠3＝∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，
∴AF⊥BD，
∴AB＝AD，故①正确；
②∵∠ABE＝∠ABD+∠3，∠ADC＝∠1+∠ABD，∠1＝∠3，
∴∠ABE＝∠ADC，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（ASA），
∴AE＝AC，故②正确，
③∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠BCE+∠ACB（180°﹣∠2）＝90°∠2，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE＝∠ADB＝∠ABD（180°﹣∠1）＝90°∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDE＝∠AEC＝90°∠1，
∴CE＝CD，∠BCE＝180°﹣∠CDE﹣∠AEC＝180°﹣2×（90°∠1）＝∠1，
∵∠1＝∠3，
∴∠BCE＝∠3，
∴BE＝CE，
∴BE＝CE＝CD，故③正确；
④∵∠ABC＝90°﹣∠2∠1＝90°∠2，∠BCE＝∠3＝∠2，
∴∠ABC与∠BCE不一定相等，
∴CB不一定平分∠ACE，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【分析】结合图形，根据角平分线，全等三角形的判定与性质等计算求解即可。
14．中. 是的平分线，交于，且，则点到的距离为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，
∵，BC=16，
∴CD=6，
∵ AD是的平分线 ，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD=6，
∴点到的距离为6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DE⊥AB，由，BC=16可求出CD的长，再利用角平分线的性质可得DE=CD，得出DE的长即可.
15．某公司一月份的产值为80万元，计划三月份的产值达到100万元，如果每月产值的增长率相同，设增长率为，可列方程 .
【答案】80(1+x)2=100
【解析】【解答】解：设增长率为，由题意可得：
80(1+x)2=100
故答案为：80(1+x)2=100
【分析】根据增长后产值=增长前产值×(1+x)，即可求出答案.
16．如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
【答案】直角
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
17．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝4，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝4，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝4，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝4，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝ ×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝4，
∴DM＝2，
∴由勾股定理可得C'M＝ DM＝2 ，
∴BM＝BD﹣DM＝6﹣2＝4，
在Rt△BMC'中，
BC'＝ ，
∵ ＝ BC' DH＝ BD C'M，
∴2 ×DH＝6×2 ，
∴DH＝ ，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为 .
故答案为： .
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用含30°直角三角形的性质求出DM＝2，C'M＝ DM＝2 ，BM＝4，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案.
18．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是 .
【答案】66
【解析】【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66.
故答案是：66.
【分析】 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够推导出正方形A、B、C、D的面积和即为最大正方形的面积．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，
∴CE= AB，DE= AB
∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；
（2）∵AD=BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
已知DE=4，EF=3，
∴DF=5，
过点E作EH⊥CD，
∵∠FED=90°，EH⊥DF，
∴EH= = ，
∴DH= = ，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD=2DH= ．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 CE= AB，DE= AB ，故 CE=DE，即△ECD是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出 DE⊥AB， 在Rt△DEF中，利用勾股定理算出DF的长， 过点E作EH⊥CD， 根据三角形的面积法得出 EH= ，从而算出EH的长，在Rt△DEH中，利用勾股定理算出DH的长，进而根据等腰三角形的三线合一得出 CD=2DH ，从而得出答案。
20．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）E是底边BC的延长线上一点，M是BE的中点，连接DE、DM．若CE=CD，求证：DM⊥BE．
【答案】（1）解：如图所示，射线BD即为所求；
（2）解：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC= ∠ABC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠E= ∠ACB，
∴∠E=∠DBC，
∴BD=DE，
又∵M是BE的中点，
∴DM⊥BE
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，适当的长为半径作弧，交∠ABC于两点，分别以这两点为圆心，适当的长为半径画弧，交于一点，最后过该点与点B作射线，交AC于点D即可；（2）先根据角平分线的定义以及三角形外角性质，求得∠E=∠DBC，进而得出BD=DE，再根据M是BE的中点即可得出结论．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N，
（1）请直接写出∠MFN= °，∠EFD= °．
（2）求证：FM=FN．
（3）求证：EM=DN．
【答案】（1）120；120
（2）证明：∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF=FN；
（3）证明：∵∠MFN=∠EFD，
∴∠MFN-∠MFD=∠EFD-∠MFD，
∴∠EFM=∠DFN，
∵∠EMF=∠FND，FM=FN，
∴△EFM≌△DFN（ASA），
∴EM=DN．
【解析】【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=45°，∠EAF=15°，
∴∠AEC=∠EAC+∠ACE=105°，
∴∠EFD=∠EAF+∠AEC=15°+105°=120°；
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴∠FMB=∠FNB=90°，
∵∠B+∠BMF+∠BND+∠MFN=360°，
∴∠MFN=180°-∠B=120°；
故答案为：120，120；
【分析】（1）先求出∠ACE=45°，∠EAF=15°，再求出∠FMB=∠FNB=90°，最后计算求解即可；
（2）先求出 BF也是角平分线， 再根据 FM⊥AB，FN⊥BC， 证明即可；
（3）根据题意先求出 ∠EFM=∠DFN， 再利用全等三角形的判定与性质证明即可。
22．（6分）已知y与x+3成正比例，且x=3时，y=12．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求对应的函数值y．
【答案】（1）解：∵y与x+3成正比例，
∴可设 ，
∵x=3时，y=12，
∴，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为
（2）解：当x=-2时， ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将x=-2代入计算求解即可。
23．（6分）计算与证明．
（1）如图，在中，CD平分，且．求证：．
（2）如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度，，求滑道AC的长．
【答案】（1）证明：
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为．
在中，，
由勾股定理得，
即，
解得．
故滑道AC的长度为5m．
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得出，由，得出，即可得出结论；
（2）设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为．在中，，由勾股定理得，代入数值求解即可。
24．（6分）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标；
（2）在轴上作出一点，使的值最小，求出该最小值.（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：
点坐标关于x轴对称的变化规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数
则；
（2）解：由轴对称的性质得：则
由两点之间线段最短得：连接与x轴的交点P即为所求，最小值即为的长
由两点之间的距离公式得：.
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化特征“横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数”求得每一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并顺次连接即可求解；
（2）由（1）中的作图可知，连接AB1与x轴的交点P即为所求作的P点，然后用勾股定理计算即可求解.
25．（10分）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC AH，
∴AB BD＋AG＝AC AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB BD＝25 10＝15，
∴△ADF的面积＝
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
26．（12分）如图
（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ， ，求证： .
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： .
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： .
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ， ，
∴ ： =AB：AC；
（2）解：如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；
（3）解：如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，进而根据等高三角形的面积之比等于底之比即可得出 ： =AB：AC；
（2）在AB延长线上取点E，使得AE=AC，根据SAS可证△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出 CD=DE且∠ADC=∠ADE， 根据全等三角形的面积相等及等高三角形的面积之比等于底之比得出 ，再等量代换得出 ，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据SAS可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即 ，即可得出答案.
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