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上海市九年级上册期末模拟汇编卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35° B． C．3cos35° D．3tan35°
2．已知（），则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，若，，则为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（ ）
A．2 cm B． cm C． cm D．1cm
6．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′ D．不能确定
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．小明的身高为1.6 ，他在阳光下的影长为2 ，此时他旁边的旗杆的影长为15 ，则旗杆的高度为 ．
8．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a =9cm，b=4cm，则线段c= .
9．若 是二次函数，则 ＝ ．
10．抛物线 的顶点坐标是 .
11．若 ，则 .
12．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为 m.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A、B、C均落在格点上，则 .
15．已知，那么的值是
16．如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
17．如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
18．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，一艘船正以 海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°.
（1）求小岛C到航线AB的距离.
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
20．（6分）如图，已知点C、D在线段AB上，且AC=4，BD=9，△PCD是边长为6的等边三角形．
（1）求证：△PAC∽△BPD；
（2）求∠APB的度数．
21．（6分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
22．（6分）如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
23．（6分）如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求CD的长．
24．（6分）如图，已知二次函数y＝ax2－8ax＋12（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，M为顶点，P在对称轴上.
（1）当四边形ABPC是平行四边形时，求这个二次函数的表达式；
（2）当点P、M关于x轴对称，且 OMP的面积为8时，求这个二次函数的表达式.
25．（10分）如图， 是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过顶点 作 ，垂足为 ， 交边 于点 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，求 的大小．
（3）过点 作 交 于点 ，求 的值．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的对角线 经过原点 ，与 交于点 轴于点 ，点的坐标 为反比例函数 的图象恰好经过 两点.
（1）求 的值及 所在直线的表达式；
（2）求证： .
（3）求 的值.
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上海市九年级上册期末模拟汇编卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35° B． C．3cos35° D．3tan35°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，cos35°＝ ，∴BC＝3cos35°.
故答案为：C.
【分析】由直角三角形中锐角三角函数的定义，已知斜边，求角的邻边，应用角的余弦函数定义式去求解，由此可得 BC的长 .
2．已知（），则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A：交叉相乘，则3a=2b，错误，不符合题意；
B：，正确，符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：A
【分析】根据比例的性质，逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，若，，则为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，
∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，
∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，
∵，
∴=2.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，即可求解.
4．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴=.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得，代入，，计算即可求解.
5．如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（ ）
A．2 cm B． cm C． cm D．1cm
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过E作EF⊥AC于F，
∵AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AF=CF，
∵此多边形为正六边形，
∴∠AEC= =120°，
∴∠AEF= =60°，
∴∠EAF=30°，
∴AF=AE×cos30°=1× = ，
∴AC= ，
故答案为：B．
【分析】连接AC，过E作EF⊥AC于F，根据正六边形的特点求出∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠EAF的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长．
6．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（ ）
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′
C．3sinA＝sinA′ D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A=∠A′，sinA=sinA′
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据等角的同名三角函数值相等可得答案.
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．小明的身高为1.6 ，他在阳光下的影长为2 ，此时他旁边的旗杆的影长为15 ，则旗杆的高度为 ．
【答案】12
【解析】【解答】设旗杆的高度为xm，由题意可得：
，
解得：x=12。
故答案为：12。
【分析】在同一时刻，阳光下物体的高度与影长的比是定值。
8．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a =9cm，b=4cm，则线段c= .
【答案】6cm
【解析】【解答】∵ 是 、 的比例中项，
∴ ，
解得： 或 (线段为正数，舍去)
故答案为： .
【分析】根据比例的性质，由 是 、 的比例中项，即可得出c2=ab,代入a,b的值，利用直接开平方法求解并检验即可。
9．若 是二次函数，则 ＝ ．
【答案】4
【解析】【解答】∵函数y=xm-2是二次函数，
∴m-2=2，
∴m=4．
故答案为：4．
【分析】根据二次函数的定义，可得出m的值。
10．抛物线 的顶点坐标是 .
【答案】(2，5)
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标是（2，5）.
故答案为：（2，5）.
【分析】抛物线的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
11．若 ，则 .
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ；
故答案是 .
【分析】根据比例的合比性质计算即可；
12．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为 m.
【答案】134
【解析】【解答】据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度 为 ，则可列比例为： ，
解得： 米.
故答案为： .
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案为：6．
【分析】根据位似图形的性质可得AB：DE=OA：OD，再将数据代入计算即可。
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A、B、C均落在格点上，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，作AD⊥BC ，垂足为D ，
，
，
，
，
故答案为：
.
【分析】作AD⊥BC，垂足为D，首先由勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
15．已知，那么的值是
【答案】
【解析】【解答】解：设，则，
.
故答案为：.
【分析】设，则，再将a、b的值代入计算即可。
16．如图，点P是反比例函数上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点A、B，若，，则点P的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图，延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
设点，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】延长PA交x轴于点C，延长PB交y轴于点D，连接CD，设点P(a，b)，用含a、b的代数式表示出A和B两点坐标，证，可得AB∥CD；根据OP=2AB列方程求出k的值，再证得，根据相似三角形的性质求解即可。
17．如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，作于H，于，交AO于．
∵运动时间，
∵，，
∴，
∵，C（1，0），，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
，
∴，
∴，
∵，设，则，
则有：
∴或（舍去），
∴
∴，
故答案为．
【分析】作于H，于，交AO于．运动时间，证，可推出，可得，从而推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，求出此时点D坐标即可.
18．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：过点E作EQ∥AF，EN⊥CD于点N，过点A作AQ∥EF，过Q作QP⊥AB于点P，QG⊥BC于点G，
∴EQ=AF，
∴当点C，E，Q共线时， AF+CE=EQ+CE=CQ最小，
∵AQ=EF，∠APQ=∠ENF=∠G=90°，∠QAP=∠EFN，
∴△AQP≌△FEN，
∴GB=QP=EN=AD=2，AP=FN，
∴CG=BC+BG=4，
∵ EF⊥AC，
∴∠BAC=∠NEF，
∴△ABC∽△ENF，
∴，
∴，
∴FN=1，
∴AP=1，
∴QG=BP=3，
∴CQ=，
∴ AF+CE的最小值是5.
【分析】过点E作EQ∥AF，EN⊥CD于点N，过点A作AQ∥EF，过Q作QP⊥AB于点P，QG⊥BC于点G，得出当点C，E，Q共线时， AF+CE=CQ最小，根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质得出QG和BG的值，再利用勾股定理求出CQ的长，即可得出答案.
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）如图，一艘船正以 海里/小时的速度向正东航行，在A处看小岛C在船北偏东60°，继续航行1小时到达B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°.
（1）求小岛C到航线AB的距离.
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘船继续向东航行，是否有进入危险区的可能？
【答案】（1）解：作CD⊥AB交AB于点D，
由题意可知：∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°
∴∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°
∴∠CAB＝∠ACB
∴AB＝CB＝
在Rt△CBD中，CD=CB sin∠CBD=
∴小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）解：∵CD＝16＜20
∴这艘船继续向东航行会有进入危险区的可能.
【解析】【分析】（1）作CD⊥AB交AB于点D，由题意可知∠CAB＝90°-60°＝30°，∠CBD＝90°-30°＝60°，利用三角形外角的性质可得∠ACB＝∠CBD-∠CAB＝30°，即得∠CAB＝∠ACB，根据等角对等边可得AB＝CB=
， 在Rt△CBD中，由CD=CB×sin∠CBD求出CD即可；
（2）利用（1）结论，若CD＞20，则不会进入危险区；若CD＜20，则会进入危险区.
20．（6分）如图，已知点C、D在线段AB上，且AC=4，BD=9，△PCD是边长为6的等边三角形．
（1）求证：△PAC∽△BPD；
（2）求∠APB的度数．
【答案】（1）证明：∵等边△PCD的边长为6，
∴PC=PD=6，∠PCD=∠PDC=60°，
又∵AC=4，BD=9，
∴，
∵等边△PCD中，∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠PCA=∠PDB=120°，
∴△ACP∽△PDB；
（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由△ACP∽△PDB可得∠APC=∠PBD， 由三角形的内角和可得∠DPB+∠DBP=180°-∠PDB=60°
，即得∠APC+∠BPD=60°， 根据角的和差即可求解.
21．（6分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，）
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
【答案】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为，
由题意可知，，，，米，米，
∵，
∴，
∴（米），
即点距水平地面的高度为6米；
（2）解：在中，
∴（米），
（米），
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
在中，，米，
∴（米），
∴
（米）
答：广告牌的高约8.4米．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出BM=6米，最后求解即可；
（2）根据题意先求出ME的值，再利用锐角三角函数求出DE的值，最后求出CD即可。
22．（6分）如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．
（1）若AE＝3，求ED的长．
（2）求EF的长．
【答案】（1）解：，
，
，
，，，
，
解得：；
（2）解：，
，
，
同理：，
，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得，，再将数据代入计算可得，最后计算即可。
23．（6分）如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求CD的长．
【答案】（1）解：∵ 是 的直径， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
由三角形的面积公式得： ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°解得∠ACB=90°，再由勾股定理解得AB的长，继而根据正弦的定义求解即可；（2）由垂径定理得到CE=DE，再结合三角形的面积公式解答即可。
24．（6分）如图，已知二次函数y＝ax2－8ax＋12（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，M为顶点，P在对称轴上.
（1）当四边形ABPC是平行四边形时，求这个二次函数的表达式；
（2）当点P、M关于x轴对称，且 OMP的面积为8时，求这个二次函数的表达式.
【答案】（1）解：∵四边形ABPC是平行四边形，
∴CP∥AB，CP=AB，
∵P在对称轴上.
∴抛物线的对称轴x= ，
∴AB=CP=4，
∴OA=4- =4-2=2，
∴A（2，0），
∴ ，
∴ ，
∴y＝x2－8x＋12；
（2）解：∵二次函数y＝ax2－8ax＋12（a＞0）=a(x-4)2+12-16a，
∴M(4，12-16a)，
∵由点P与点M关于x轴对称，
∴P（4，16a-12），
∴PM=32a-24，
∵ OMP的面积为8，
S△OMP= ，
，
y＝ x2－ x＋12.
【解析】【分析】 （1）利用二次函数的性质可得对称轴为直线x=4，则PC=4，再根据平行四边形的性质得PC=AB=4，然后利用抛物线的对称性可得A（2，0），B（6，0），然后把把点 A（2，0）代入得y=ax2-8ax+12求出a=1，所以二次函数解析式为y=x2-8x+12，根据图象可得y＞0时x的取值范围；
（2）配方，求得顶点M的坐标为（ 4，12-16a ），根据对称的性质把P点坐标表示出来，则PM长可求，然后根据△OMP的面积为8列方程求出a值，则可得出结果.
25．（10分）如图， 是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过顶点 作 ，垂足为 ， 交边 于点 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，求 的大小．
（3）过点 作 交 于点 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△AGC∽△BGF，
∴∠ACB=∠BFA.
∵四边形 为正方形， 为对角线，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△AMC∽△BFC.
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）求证出 ，即可得出 ；
（2）连接 ，因为 ，得出 ，证出△AGC∽△BGF，∠ACB=∠BFA.四边形 为正方形， 为对角线，得出 ；
（3） 因为 ，得出 ，证出△AMC∽△BFC.因为 ，可得出 ，从而求得 的值．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的对角线 经过原点 ，与 交于点 轴于点 ，点的坐标 为反比例函数 的图象恰好经过 两点.
（1）求 的值及 所在直线的表达式；
（2）求证： .
（3）求 的值.
【答案】（1）解：∵在菱形 中，对角线 与 互相垂直且平分，
，
经过原点 ，且反比例函数 的图象恰好经过 两点，
由反比例函数 图象的对称性知： ，
.
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
，则 ；
设直线 的表达式为 ，将点 代入得 ，
∴直线 的表达式为 ，
设直线 的表达式为 ，
于点 ，
将点 及 ，代入 ，
得： ，
直线 的表达式为
（2）证明：由条件得， ，
，
（3）解： ，
又 与 关于原点 对称，
在 中， ，从而 .
则
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及反比例函数的对称性可以推出 ，再根据点D的坐标即可得到点P的坐标，从而得出k的值；根据点P的坐标可以得出直线 的表达式，最后根据OP和AC的关系即可得出直线 的表达式；（2）由 己等边对等角即可推出 ；（3）由已知可求得点B的坐标，根据勾股定理可求得OB的值，最后根据同角的余弦即可得出答案.
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