一次函数的复习专题培训
大纲对一次函数要求：
一次函数的教学内容：
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式，
2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。
3.体会一次函数与二元一次方程的关系。
4.能用一次函数解决简单实际问题
（二）一次函数学习要求
能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
重视单元整体教学设计
改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。
单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题一单元一课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。
三、本单元思维导图：(见PPT第三页）
四、一次函数知识点及教学建议。
（一）定义：了解并识记一次函数的定义：y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
注意：
1.kx+b是整式，对b没有具体要求。当b=0时，即y=kx此时一次函数为正比例函数。
2.自变量x和因变量y的次数为“1”。
例1. 下列函数哪些是y关于x的一次函数？哪些是y关于x的正比例函数？
是一次函数，求m的值。
（二）一次函数的图象教学。
1.理解函数图象上的点的坐标与对应函数中两变量的值的关系是一一对应关系。
2.掌握一次函数图象的画法：①列表，②描点，③连线。通过让师生一起画一次函数的图象让学生知道一次函数的图象是一条直线。进一步指导学生画一次函数图象只需要找出两点即可，因为两点确定一条直线。通常我们找（0，b）和（）两点来画一次函数的图象。
3.利用几何画板来帮助学生理解一次函数的图象是一条直线，并进步使用几何画板来探究一次函数的图象与系数k，b之间的关系，从而得出以下结论：
（1）当k＞0时，图象一定经过第1、3象限，函数图像从左往右成上升趋势，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象一定过2、4象限，函数图象从左往右成下降趋势，y随x的增大而减小。
（2）当b＞0时，图象一定经过第1、2象限，当b=0时，图象过原点，当b＜0时，图象一定过第3、4象限。
（3）当k变b不变时，两函数的图象与y轴的交点不变，即截距不变。且|k|越大，直线越陡，即与x轴的夹角越大。
（4）当b变k不变时，两函数的图象平行。进一步得出一次函数平移的规律：上“+”下“-”常数项变化。左“+”右“-”自变量改变。
关于x的一次函数的图象可能正确的是（ ）
已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
变式训练：已知正比例函数与一次函数的交点在第 象限。
已知点M和点N在直线上，且该直线经过第一、二、四象限，当时，与的大小关系为： 。
如图y＝﹣x+2向上平移m个单位后，与直线y＝﹣2x+6的交点在第一象限，则m的取值范围是 ．
（三）一次函数的应用：
1.求直线的解析式
（1）已知两点求一次函数的解析式。（步骤如下）
①设函数表达式 ②列方程或列方程组
③解方程或方程组 ④把求出的值代入回表达式。
已知两直线的解析式分别为，当两直线平行时有：，当两直线垂直时有：。
例1.已知某一次函数的图象经过A（0,2），B（1,3），C（a，1）则a的值是 。
例2.如图，已知直线y＝kx+2与x轴、y轴分别相交于点A、点B，∠BAO＝30°，若将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求直线CD的表达式．
2.一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。
（1) 一次函数与一元一次方程的关系：
一次函数通常表示为y=kx+b（k≠0），而一元一次方程可以转化为ax+b=（a≠0的形式。可以看出，一次函数与一元一次方程在形式上有很大的相似性。是当y=0时，x的值。所以方程ax+b=0的解就是直线与x轴交点的横坐标。
（2）二元一次方程组的解与一次函数的关系：
每一个二元一次方程组都可以化为的形式，所以二元一次方程组的解可以看做是同一直角坐标系中两个一次函数图象的关系，即两直线的关系，当两直线相交时，交点的坐标即为方程组的解。当两直线平行时，原方程组无解，当两直线重合时，原方程组有无数个解。反之，两直线的交点坐标也可以通过联立两函数的关系式建立方程组来求交点的坐标。
例1.若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣0.5 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4
例.2如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+1与直线y＝﹣3x+m相交于点P，若点P的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
利用一次函数解决问题:
①解决生活中的实际问题
读图方法：
A.读懂图象中X轴和Y轴的具体含义；
B.找到具体点的坐标，如交点，图象中射线、线段的端点等。
C.观察函数的变化趋势。
D.当两个函数图象在同一平面直角坐标系中是，那个函数图象在上方，对应函数的函数值就越大，图象交点就是对应函数的函数值相等处。
例1.2014年10月，四川天府新区正式获批成为第11个国家级新区．近十年来，天府新区全面践行新发展理念，努力推进公园城市先行区建设，为庆祝四川天府新区获批国家级新区10周年，甲、乙两个服装厂特推出以“奋楫扬帆启新程 喜迎新区十周年”为主题的文化衫，设甲服装厂的销售总费用为y1（元），乙服装厂的销售总费用为y2（元），销售量为x（件），y1，y2与x的函数关系式如图所示：
（1）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）若当甲、乙服装厂的销售量相同且销售总费用相差150元时，则销售量是多少件？
②与几何相联系求面积，最值，存在性问题
用割补法求面积
用平行线法求面积
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+6与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与y轴交于点B，与l1相交于C（﹣3，3），AO＝2BO．
求直线l2：y＝kx+b的解析式；
求△ABC的面积．
例2如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
总结
一次函数是初中所学的第一种函数，也是函数中最简单的函数，只有我们真正掌握了一次函数的学习方法与技巧，才能更好地为我们以后学习其他函数打下良好的基础。教学中我们不仅要教给学生一次函数的基本知识与基本技能，基本思想，基本活动经验，更要让他们注意平时生活中的函数模型，从而更好学好函数，用好函数。(共16张PPT)
一次函数专题复习培训
2024年12月10日
大纲对一次函数的要求：
(一)一次函数的教学内容：
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式，
2.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。
3.体会一次函数与二元一次方程的关系。
4.能用一次函数解决简单实际问题
一次函数学习要求
能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式;会画出一次函数的图象;会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标;会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。
一次函数思维导图
定义：在某个变化过程中，有两个变量x、y，且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量，y是因变量
表示法：列表法、
图象法、
解析式法
自变量取值范围：
（1）分式的分母不为0;
（2）偶次方根的被开方数为非负数;
（3）零指数幂或负整数指数幂的底数不为0;
（4）实际问题中自变量的取值要符合实际情况.
函数
一般表达式：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
正比例函数：
y=kx（k≠0）可见正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。
一次函数
图象
k＞0
b＞0
b=0
第1.2.3象限
第1.3象限
b＜0
第1.3.4象限
图象从左往右呈上升趋势，y随x的增大而增大
k＜0
b＞0
b=0
b＜0
第1.2.4象限
第2.4象限
第2.3.4象限
图象从左往右呈下降趋势，y随x的增大而减小
数学思想：数形结合，分类思考，方程思想。
一次函数的应用
求函数解析式：
k变b不变时，图象过定点（0，b），且|k|越大时，直线越陡，与x轴所成锐角越大，函数值变化的更快。
b变k不变时，新函数与原函数的图象平行。
当两函数的斜率积为-1时，两直线垂直。
与一元一次方程的关系
生活中的问题：如销售、行程问题
与几何联系，求面积、最大值，存在性问题。
一次函数
一次函数的定义
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数
注意：
1.kx+b是整式，对b没有具体要求。当b=0时，即y=kx此时一次函数为正比例函数。
2.自变量x和因变量y的次数为“1”。
常见题型
例1. 下列函数哪些是y关于x的一次函数？哪些是y关于x的正比例函数？
答案：一次函数有:(1),(3),(6)正比例函数有:(1)
解：∵是一次函数
∴
∴m=-5
例2.
是一次函数，求m的值。
一次函数的图象教学
教学步骤：
例题展示
归纳总结
例1.关于x的一次函数 的图象可能正确的是（ ）
例2. 已知正比例函数
与一次函数
的交点在第 象限。
和点N
在直线
上，且该直线经过
时，
与
的大小关系为： 。
例3. 已知点M
第一、二、四象限，当
数形结合、分类思考
一次函数的图象教学
一次函数的应用（求解析式）
1.已知两点求一次函数的解析式。
①设函数表达式
②列方程或列方程组
③解方程或方程组
④把求出的值代入回表达式。
2.已知两直线的解析式分别为
当两直线平行时有： ，
当两直线垂直时有： 。
，
（1）答案：a=-1
一次函数的应用（与方程和方程组的关系）
1) 一次函数与一元一次方程的关系：
一次函数通常表示为y=kx+b（k≠0），而一元一次方程可以转化为ax+b=（a≠0的形式。可以看出，一次函数与一元一次方程在形式上有很大的相似性。是当y=0时，x的值。所以方程ax+b=0的解就是直线与x轴交点的横坐标。
（2）二元一次方程组的解与一次函数的关系：
每一个二元一次方程组都可以化为两个一次函数的形式，所以二元一次方程组的解可以看做是同一直角坐标系中两个一次函数图象的关系，即两直线的关系，当两直线相交时，交点的坐标即为方程组的解。当两直线平行时，原方程组无解，当两直线重合时，原方程组有无数个解。反之，两直线的交点坐标也可以通过联立两函数的关系式建立方程组来求交点的坐标
一次函数的应用（生活中的函数）
解决生活中的实际问题
读图方法：
A.读懂图象中X轴和Y轴的具体含义；
B.找到具体点的坐标，如交点，图象中射线、线段的端点等。
C.观察函数的变化趋势。
D.当两个函数图象在同一平面直角坐标系中是，那个函数图象在上方，对应函数的函数值就越大，图象交点就是对应函数的函数值相等处。
2014年10月，四川天府新区正式获批成为第11个国家级新区．近十年来，天府新区全面践行新发展理念，努力推进公园城市先行区建设，为庆祝四川天府新区获批国家级新区10周年，甲、乙两个服装厂特推出以“奋楫扬帆启新程 喜迎新区十周年”为主题的文化衫，设甲服装厂的销售总费用为y1（元），乙服装厂的销售总费用为y2（元），销售量为x（件），y1，y2与x的函数关系式如图所示：
（1）请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）若当甲、乙服装厂的销售量相同且销售总费用相差150元时，则销售量是多少件？
一次函数的应用（求面积、最值、存在性问题）
例2如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
例2如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
数以形而直观，
形以数而入微.
华罗庚名言
感谢各位领导及教师的指正！
再见
