内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考试题 数学（含答案）

1
2024-2025学年第一学期高三七诊考试（数学试卷）
考试时间：120分钟；试卷分值：150分
一、单选题（共8小题，每小题5分）
1. 集合，集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为（）
A. B. C. D.
4. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则S13=（）
A. 78 B. 91 C. 39 D. 26
5. 若、且，则下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
6. 若向量的夹角为，，若，则实数（）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则（）
A. 它的最小值为 B. 它的最大值为2
C. 它的图象关于直线对称 D. 它的图象关于点对称
8. 设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，每小题6分）
9. 年，是中国共产主义青年团成立周年.为庆祝建团周年，某中学全体学生参加了主题为“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在分至分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
A. 直方图中的值为
B. 成绩在区间内的学生最多
C. 估计全校学生的平均成绩为分
D. 估计全校学生成绩样本数据的分位数约为分
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（）
A.
B平面
C. 的面积与的面积相等
D. 三棱锥的体积为定值
11. 抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为4
C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D. 存在直线，使得两点关于对称
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12. 记为递增等比数列的前项和，若，，则___．
13. 为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设三门德育校本课程，现有甲 乙 丙 丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有_____________.
14. 设函数是定义在上奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题：
①函数是以4为周期周期函数；
②当时，；
③函数的图象关于对称；
④函数的图象关于对称.
其中正确的命题是_______．
四、解答题（共77分）
15. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角余弦值．
17. 设函数.
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：至多只有一个零点.
18. 已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与椭圆C相交于两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D，且满足，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
19. 已知数列的前项和为，点在函数图象上；
（1）证明是等差数列；
（2）若函数，数列满足，记，求数列前项和；
（3）是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由.
2024-2025学年第一学期高三七诊考试（数学试卷）
一、单选题（共8小题，每小题5分）
1.
【答案】C
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】A
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、多选题（共3小题，每小题6分）
9.
【答案】ABC
10.
【答案】ABD
11.
【答案】BCD
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12.
【答案】
13.
【答案】36
14.
【答案】①②③④
四、解答题（共77分）
15.
【解析】
【详解】试题分析：
(1)利用正弦定理边化角，然后结合同角三角函数基本关系可得，则.
(2)利用余弦定理可求得边长，则△ABC的面积为.
试题解析：
（1）由正弦定理得
∵，∴， ∵，∴.
（2）∵， ，∴，
即，则，∵，∴
由（1）得，∴的面积.
16.
【解析】
【分析】（1）由得四边形为菱形，则，由已知的数据结合勾股定理逆定理得，而，则平面，所以，再由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取的中点，连结BM，则两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，故，
又因为，故为等边三角形，
故．
在中，，,
所以，故
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，因此．
又因为，平面，
所以平面；
【小问2详解】
解：取中点，连结BM，因为为等边三角形，
所以，
因为‖，所以，
因为平面，平面，
所以，
故两两垂直，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则
，令，得；
设平面的法向量为，则
,令，得．
设平面与平面所成角为，
则．
17.
【解析】
【分析】（1）当时，，得到，进而可求出，，再根据导数的几何意义，即可求出结果；
（2）将的零点个数转化成与交点个数，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可证明结果.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由，得到，整理得到，
令，则，
当时，，当时，，
所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
故在区间上单调递减，则与最多有一个交点，
即至多只有一个零点
18.
【解析】
【分析】（1）由可得，利用，把点代入椭圆方程，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）设，联立，得到根与系数的关系，利用，得到，即可得出结论.
【详解】（1）由题意椭圆的离心率，
∴，即，∴
∴椭圆方程为
又点在椭圆上，于是，
得
∴椭圆的方程为.
（2）设，
由得，
，
又，
∴，
∵，∴
又椭圆的右顶点，
∴，则，
，
，
解得，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，)，直线过定点．
综上可知，直线l过定点，定点坐标为.
19.
【解析】
【分析】（1）首先确定，由与关系可得，进而由定义证得数列为等差数列；
（2）结合（1）中结论可求得，采用错位相减法即可得到；
（3）将恒成立的式子变为，可求得，由此可得，解不等式即可求得的值.
【小问1详解】
点在函数图象上，，
当时，；
当时，，
则，
数列是以为首项，为公差的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得：；又，，
，，
，
.
【小问3详解】
假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
，，
，解得：或，
则存在最大的实数，使得对任意恒成立.
PAGE
第11页